Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

olek182

Rejestracja: 06 Dec 2010
Offline Ostatnio: Jan 18 2013 18:53
-----

#88940 ciąg rekurencyjny 3

Napisane przez olek182 w 19.09.2011 - 12:33

Na początek monotoniczność:
1. a_1=\sqrt{2}
 a_2=\sqrt{2\sqrt{2}}
2. Z: a_{n+1}>a_n
T: a_{n+2}>a_{n+1}
D: a_{n+2}=\sqrt{2a_{n+1}}> \sqrt{2a_n}=a_{n+1} ,zatem ciąg jest monotoniczny.
Ograniczoność
Powiedzmy, że jest ograniczony od góry przez 2, od dołu wiadomo.

Z:a_n<2
T:a_{n+1}<2
D: a_{n+1}=\sqrt{2a_n}<\sqrt{2\cdot 2}=2 więc jest ograniczony.

Korzystając \lim_{n\to \infty}a_n=\lim_{n\to \infty}a_{n+1}=g

g=\sqrt{2q} \; \wedge \; a_n&gt;0 \Rightarrow q&gt;0

g^2=2g
g(g-2)=0
więc g=2
  • 1


#88938 kapitalizacja ciągła

Napisane przez olek182 w 19.09.2011 - 11:55

K=K_0e^{pn}
O=K-K_0=K_0e^{pn}-K_0=1000(e^{0,24}-1)\approx 271,25
  • 1


#88927 indukcja matematyczna

Napisane przez olek182 w 19.09.2011 - 11:23

1. 1-1=0
8-2=6

2. Z: 6 \; |\; n^3-n
T: 6\; |\; (n+1)^3-(n+1)
D:  (n+1)^3-(n+1)=n^3+3n^2+3n+1-n-1=n^3-n+3n(n+1)

Zgodnie z założeniem indukcyjnym n^3-n jest podzielne przez 6. Wyrażenie 3n(n+1) to iloczyn 3 i kolejnych 2 liczb naturalnych, zatem jest podzielne przez 6. W rezultacie dostajemy sumę dwóch wyrażeń podzielnych przez 6, więc  n^3-n +3n(n+1) jest podzielne przez 6.
  • 1


#88922 indukacja

Napisane przez olek182 w 19.09.2011 - 10:49

1. |x_1| \leq |x_1|

2. Z: |x_1+x_2+...+x_n| \leq |x_1|+|x_2|+...|x_n|
T: |x_1+x_2+...+x_n+x_{n+1}| \leq |x_1|+|x_2|+...+|x_n| + |x_{n+1}|
D: |x_1+x_2+...+x_n+x_{n+1}| - |x_{n+1}| \leq |x_1|+|x_2|+...+|x_n|

Teraz wystarczy, aby zaszło:
|x_1+x_2+...+x_n| \geq |x_1+x_2+...+x_n+x_{n+1}| - |x_{n+1}|
|x_1+x_2+...+x_n| + |x_{n+1}| \geq |x_1+x_2+...+x_n+x_{n+1}|co jest prawdą, gdyż |a|+|b| \geq |a+b|

Dodatkowo
|a|+|b| \geq |a+b|
(|a|+|b|)^2 \geq (|a+b|)^2
a^2+2|ab|+b^2 \geq a^2+2ab+b^2
  |ab| \geq ab
  • 2


#88249 Metoda obrazów ładunków - elektrostatyka

Napisane przez olek182 w 07.09.2011 - 18:38

Metoda obrazów ładunków, niegdyś nazywana metodą odbić, jest bardzo pożytecznym narzędziem w rozwiązywaniu problemów dotyczących statyki pól elektrycznych.Nazwa bierze się z faktu tworzenia pewnego fikcyjnego ładunku, który, można powiedzieć, jest obrazem, odbiciem ładunku rzeczywistego.Zagadnienie omówię dokładniej na przykładzie problemu:
Oblicz siłę oddziaływania uziemionej przewodzącej kuli o promieniu R i ładunku punktowego Q umieszczonego w odległości d>R od środka kuli.

Dołączona grafika








Zaindukowany przez ładunek Q na powierzchni kuli o promieniu R ładunek Q' może być zastąpiony punktowym ładunkiem Q' umieszczonym w pewnym punkcie P wewnątrz kuli w odległości c od jej środka.Punkt P oraz wielkość ładunku Q' należy przy tym tak dobrać, aby pole wytworzone przez rzeczywisty ładunek i ładunek zaindukowany miało powierzchnię ekwipotencjalną o potencjale V=0 pokrywającą się z powierzchnią uziemionej kuli.A zatem w dowolnym punkcie C tej powierzchni spełniona jest zależność:

V_C=0=\frac{1}{4\pi \epsilon _0}(\frac{Q}{a}+\frac{Q'}{b}) \Rightarrow \frac{Q}{a}=-\frac{Q'}{b}

W tym przypadku, aby wyznaczyć wielkość ładunku Q' wygodnie jest rozpatrzyć dwa punkty powierzchni kuli, leżące na prostej łączącej środek kuli z ładunkiem Q.

W punkcie A : V_A=0=\frac{1}{4\pi \epsilon _0}(\frac{Q}{d-R}+\frac{Q'}{R-c})

W punkcie B: V_B=0=\frac{1}{4\pi \epsilon _0}(\frac{Q}{d+R}+\frac{Q'}{R+c})

 \begin{cases} \frac{Q}{d-R}=-\frac{Q'}{R-c} \\ \frac{Q}{d+R}=-\frac{Q'}{R+c} \end{cases}

Rozwiązanie układu prowadzi do Q'=-Q\frac{R}{d} przy c=\frac{R^2}{d} zatem mamy wszystko do policzenia siły oddziaływania F={k\frac{QQ'}{(d-c)^2}

W tym miejscu można zadać pytanie jak wyglądałaby sytuacja w przypadku izolowanej kuli?
I tutaj można posłużyć się metodą obrazów.W takim przypadku ładunek na powierzchni kuli wynosi zero, zaś potencjał jest stały, lecz różny od zera.Zatem różnica pomiędzy rozwiązaniem przypadku, gdy kula jest uziemiona, polega na tym, że należy dodać polego pewnego punktowego ładunku fikcyjnego, które powodowałoby zaindukowanie ładnuku q, który neutralizuje indukowany ładunek Q'.Mianowicie q=-Q'.Położenie ładunku q, tzw. drugiego odbicia, należy wybrać tak, aby wytwarzanye przez niego potencjały w różnych punktach powierzchni kuli były jednakowe.Miejscem, w którym można umieścic ów ładunek, jest środek kuli.

Dołączona grafika







Siłę oddziaływania punktowego ładunku Q i izolowanej kuli wyznaczamy z superpozycji pół F=k\frac{QQ'}{(d-c)^2} + k\frac{Qq}{d^2}
  • 3


#84467 parametr

Napisane przez olek182 w 26.04.2011 - 12:53

Można zrobić wykres g(x)=|x^2-6x+8|+|x^2-6x+5| i przeanalizować liczbę rozwiązań.
Ale można też tak: na początek niech m>0

|(x-4)(x-2)|+|(x-1)(x-5)|=m \Rightarrow \begin{cases}2x^2-12x+13-m=0\; , x\in(-\infty,1> \cup <5, +\infty) \\ m=3 \; , x \in (1,2> \cup <4,5) \\ -2x^2+12x-13-m=0 \; ,x\in(2,4) \end{cases}
Rozpatrując deltę 2x^2-12x+13-m=0:
-brak rozwiązań dla m<-5
-1 rozwiązanie dla m=-5
-2 rozwiązania dla m>-5 i m>0, zatem m>0.Należy tutaj uwzględnić przedział dotyczący tej części:
\begin{cases} x_w<1 \\ f(1) \ge 0 \end{cases}  \vee  \begin{cases} x_w>5 \\ f(5) \ge 0 \end{cases} \; \vee  \; \begin{cases} x_w\in (1,5) \\ f(5)  \le 0 \\ f(1) \le 0 \end{cases}Dwa pierwsze warunki są sprzeczne, z trzeciego wynika m \ge 3. Całościowo otrzymujemy m\in <3,+\infty)
Rozpatrując deltę -2x^2+12x-13-m=0:
-brak rozwiązań dla m>5
-1 rozwiązanie dla m=5 (x_w=3 zatem przedział się zgadza)
-2 rozwiązania dla m<5, i dalej:
\begin{cases} x_w\in (2,4) [x_w=3] \\ f(2)<0 \\f(4)<0 \end{cases}\; \;  \Rightarrow m>3, całościowo m \in (3,5)

Podsumowując:
-brak rozwiązań dla m<3
-nieskończenie wiele rozwiązań dla m=3
-2 rozwiązania dla m\in (5, +\infty)
-3 rozwiązania dla m=5
-4 rozwiązania dla m \in (3,5)
  • 1


#84352 tozsamości trygonometryczne

Napisane przez olek182 w 22.04.2011 - 10:25

a) cos{\frac{2\pi}{7}}=\frac{sin{\frac{4\pi}{7}}}{2sin{\frac{2\pi}{7}}
cos{\frac{4\pi}{7}}=-cos{\frac{3\pi}{7}=\frac{sin{\frac{8\pi}{7}}}{2sin{\frac{4\pi}{7}}}=\frac{-sin{\frac{\pi}{7}}}{2sin{\frac{4\pi}{7}}
cos{\frac{6\pi}{7}}=-cos{\frac{\pi}{7}}=\frac{-sin{\frac{2\pi}{7}}}{2sin{\frac{\pi}{7}}

Zatem:

cos{\frac{\pi}{7}}cos{\frac{2\pi}{7}}cos{\frac{3\pi}{7}}=\frac{1}{8}


\frac{cos(x+y-z)+cos(y+z-x)+cos(z+x-y)+cos(x+y+z)}{4}=cosxcosycosz

Jeżeli y=2x \; i \; z=3x \; i \; x=\frac{\pi}{7} to:

cos(0)+cos2x+cos4x+cos6x=4cos{\frac{\pi}{7}}cos{\frac{2\pi}{7}}cos{\frac{3\pi}{7}}

więc:
cos{\frac{2\pi}{7}}+cos{\frac{4\pi}{7}}+cos{\frac{6\pi}{7}}=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}<br />\\

b)Na początek:
tg\frac{x}{2}=\frac{1-cosx}{sinx} \Rightarrow tg^2\frac{x}{2}=\frac{(1-cosx)^2}{1-cos^2x}=\frac{1-cosx}{1+cosx}

Zatem :
tg^236tg^272=\frac{1-cos72}{1+cos72}\cdot\frac{1-cos144}{1+cos144}=\frac{1-cos72}{1+cos72}\cdot\frac{1+cos36}{1-cos36}=\frac{1+cos36-cos72-cos36cos72}{1-cos36+cos72-cos36cos72}=\frac{1+2cos72cos36-cos72cos36}{1-2cos72cos36-cos72cos36}=<br />\\=\frac{1+cos72cos36}{1-3cos72cos36}=\frac{2sin36+sin72cos72}{2sin36-3sin72cos72}=\frac{4sin36+sin144}{4sin36-3sin144}=\frac{5sin36}{sin36}=5

c) Tutaj już dużo łatwiej:

\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}

\frac{5\pi}{12}=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}

tg{\frac{\pi}{4}=1 \; , \; tg{\frac{\pi}{3}}=\sqrt{3} \; , \;tg{\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{3}


Trzeba skorzystać z : tg(x+y)=\frac{tgx+tgy}{1-tgxtgy} \;  i \; tg(x-y)=\frac{tgx-tgy}{1+tgxtgy}
  • 1


#84182 Przyspieszenie wynikające z działania siły odśrodkowej

Napisane przez olek182 w 18.04.2011 - 21:23

Przyśpieszenie na równiku : mg'=\frac{GMm}{R_{z}^2}-m\omega^2R_{z}\Rightarrow g'=\frac{GM}{R_{z}^2}-\frac{4\pi ^2}{T^2}R_{z}-minimalne
  • 1


#84154 Ile wynosi liczba krawędzi ostrosłupa jeśli ma 170 wierzchołków?

Napisane przez olek182 w 17.04.2011 - 22:31

338
  • 1


#84142 Równia, bloczki jeden ciągnie drugi

Napisane przez olek182 w 17.04.2011 - 20:16

Rozpatrujesz po kolei siły działające na klocki pomijając bezwładność bloczka.
Dla _{m_1}:

m_1a=N-m_1g

Dla _{m_2}:

m_2a=m_2gsin{\frac{\pi}{3}}-N-m_2gfcos{\frac{\pi}{3}}

Łącząc:
(m_2+m_1)a=m_2gsin{\frac{\pi}{3}}-m_2gfcos{\frac{\pi}{3}}-m_1g

a=g\frac{m_2sin{\frac{\pi}{3}}-m_2fcos{\frac{\pi}{3}}-m_1}{m_2+m_1}
  • 1


#84095 wysokość ostrosłupa?

Napisane przez olek182 w 16.04.2011 - 20:26

Wówczas cos(180-2\alpha)=-cos2\alpha, co tutaj daje błędy wynik gdyż dany kąt jest kątem ostrym i dlatego te kąty leżą po 'lewej'.
  • 1


#84092 wysokość ostrosłupa?

Napisane przez olek182 w 16.04.2011 - 19:43

Skoro wszystkie krawędzie boczne są równe to spodek wysokości ostrosłupa znajduje się w środku okręgu opisanego na podstawie.

Przekątna DB : |DB|^2=49+25-56=18

Korzystając z twierdzenia o kącie wpisanym i kącie środkowym opartych na tym samym łuku:

|DB|^2=2R^2-2R^2cos2\alpha=2R^2(1-2cos^2\alpha+1)=4R^2(1-cos^2\alpha)

18=4R^2\cdot\frac{9}{25}

R^2=\frac{25}{2}

Z Pitagorasa:
R^2+H^2=\frac{27}{2} \Rightarrow H^2=\frac{27}{2}-\frac{25}{2}=1

H=1
  • 1


#84088 uzasadnienie nierównośći

Napisane przez olek182 w 16.04.2011 - 18:34

no ale jeden warunek tutaj mi się nie zgadza... log_ba=0 czyli a=1 co jest sprzeczne.

Zauważ, że jest to alternatywa warunków dla tego przypadku.Ważne jest to, że równość zachodzi dla pewnego przypadku, niekoniecznie dla każdego.

(log_ba + 2)^2=0 \; \vee \; log_ba=0

Dodam jeszcze, że log_ab\neq 0 ze względu na mianownik.
  • 1


#84058 wielomian

Napisane przez olek182 w 16.04.2011 - 13:46

 \begin{cases} P(x)=Q(x)(x+4)(x-7)+ax+b\\ P(-4)=-31 \\ P(7)=24 \end{cases} \; \Rightarrow \;  \begin{cases} -4a+b=-31 \\ 7a+b=24 \end{cases} \; \Rightarrow \;  \begin{cases} a=5 \\ b=-11\end{cases}
  • 1


#84057 uzasadnienie nierównośći

Napisane przez olek182 w 16.04.2011 - 13:38

Wykaż, że jeśli a należy do przedziału (0,1) i b>1 to prawdziwa jest nierówność.

log_ab + \frac{1}{4} lob_ba+1 \le 0

doszedłem do czegoś takiego:

\frac{(log_ba + 2)}{4log_ba}^2 \le0 i może być taki wniosek: licznik zawsze nieujemny a mianownik zawsze jest ujemny, ale jak to precyzjniej uzasadnić?


I dalej
(log_ba + 2)^2log_ba <0 \; \vee \; (log_ba + 2)^2log_ba=0

<br />log_ba = -2 \Rightarrow log_ba=log_b(\frac{1}{b^2}) \Rightarrow a=\frac{1}{b^2} -równanie prawdziwe dla danych przedziałow a i b

log_ba < 0 \Rightarrow log_ba < log_b1 \Rightarrow a<1
  • 1