Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

slavek

Rejestracja: 04 Dec 2010
Offline Ostatnio: Apr 10 2011 15:56
-----

#76533 Układ równań z parametrem

Napisane przez tadpod w 04.12.2010 - 21:34

Dany jest układ równań: \{ mx+4y=2m\\  x+my=m+2\  .Wyznacz wszystkie wartości parametru m, aby para liczb (x,y) spełniająca ten układ była parą liczb o przeciwnych znakach.

... otóż, metodą wyznaczników lub inną dobrze ci znaną znajdujesz rozwiązanie tego układu

\bl  (x,y)=\(\frac{2(m^2-2m-4)}{m^2-4},\ \frac{m^2}{m^2-4}\)\ i \ \re (*)  \bl m\in {\mathb R}-\{2,-2,\ 0\} , a warunki zadania spełniają takie wartości \re m=?,
że iloczyn
\re  x\cdot y<0  \ \bl \Leftrightarrow\  \frac{2(m^2-2m-4)}{m^2-4}\ \cdot\ \frac{m^2}{m^2-4} <0  \ \bl \Leftrightarrow\  \frac{2m^2(m^2-2m-4)}{(m^2-4)^2} <0  \ \bl \Leftrightarrow\  m^2-2m-4<0  \ \bl \Leftrightarrow\

 \bl \Leftrightarrow\  m^2-2m+1-5<0  \ \bl \Leftrightarrow\  (m-1)^2-\sqrt5^2<0  \ \bl \Leftrightarrow\  (m-1-\sqrt5)\cdot (m-1+\sqrt5)<0\ , to stąd i z \re (*) masz

\fbox{\re m\in (1-\sqrt5;\ 0)\cup (0;\ 2)\cup (2;\ 1+\sqrt5)}\ - szukany zbiór wartości parametru \re  m . ... :rolleyes: ^{^{*R}}
  • 1


#76531 Układ równań z parametrem

Napisane przez Tomalla w 04.12.2010 - 21:17

Gdybyś przeczytał regulamin forum, a do tego jest zobowiązany każdy rejestrujący się tutaj użytkownik, wiedziałbyś co one oznaczają :shifty:

W każdym razie, najpierw wypadałoby rozwiązać ten układ, np. ze wzorów Cramera:

W=\|{m\quad 4\\ 1\quad m}\|=m^2-4

W_x=\|{2m\quad\quad  4\\ m+2\quad m}\|=2m^2-4m-8

W_y=\|{m\qquad\quad 2m\\ 1\quad m+2}\|=m^2

x=\frac{W_x}{W}=\frac{2m^2-4m-8}{m^2-4}

y=\frac{W_y}{W}=\frac{m^2}{m^2-4}

Teraz pora uwzględnić fakt, że obie te liczby muszą być przeciwnych znaków. Normalnie bym ułożył nierówność xy\lt0, ale podejrzewam że autorowi zadania chodzi o to, że x=-y. Wtedy bowiem:

\frac{2m^2-4m-8}{m^2-4}=-\frac{m^2}{m^2-4}\text{ 	} \backslash \cdot (m^2-4)\not= 0

2m^2-4m-8=-m^2

\fbox{m_{1\backslash 2}=\frac{2\pm 2\sqrt{7}}{3}}\bl
  • 1