Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

Horpyn

Rejestracja: 03 Nov 2010
Offline Ostatnio: May 13 2011 12:01
-----

#74532 Ilość punktów na odcinku

Napisane przez Ereinion w 05.11.2010 - 23:09

Automatycznie rodzi się pytanie:Prosta czy odcinek ma więcej pkt.? :whistle:

Pokażę, że odcinek obustronnie domknięty i prosta są równoliczne, w tym celu najpierw skonstruuję bijekcję z odcinka obustronnie domkniętego na obustronnie otwarty i potem z obustronnie otwartego na prostą, chociaż pewnie można od razu.

Niech f(x)=\{ \frac{1}{n+1} , \ \ \text{dla} \ x=\frac{1}{n}, \, n \ge 1 \\ \frac{3}{4}, \ \ \text{dla} \ x=0  \\ \frac{n+1}{n+2}, \ \ \text{dla} \ x=\frac{n}{n+1}, \, n \ge 3 \\ x, \ \ \text{dla pozostalych } x


Wtedy f \, : \, \<0,1\> \ \to_{\text{na}}^{\text{1-1}} \ (0,1). (oczywiście nie ma znaczenia, że ja akurat od 0 do 1 wziąłem te odcinki).

Teraz bijekcja z obustronnie otwartego na prostą jest już łatwa, bo mamy g(x)=\tan(x) dla x\in \(-\frac{\pi}{2}, \, \frac{\pi}{2} \) jest bijekcją z odcinka \(-\frac{\pi}{2}, \, \frac{\pi}{2} \) na \mathbb{R}

A więc odcinek i prosta mają "tyle samo punktów", nie trzeba tu mieszać żadnych nieskończoności itp :)
  • 4