Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

irena_1

Rejestracja: 21 Sep 2010
Offline Ostatnio: Mar 28 2015 09:55
*****

#111006 równanie 4 stopnia- liczby zepolone- wartość trygonometryczna

Napisane przez irena_1 w 15.11.2013 - 13:13

z^4-1=0\\z^4=1=cos0+i sin0

 

z_1=cos0+i sin0=1\\z_2=cos{\frac{\pi}{2}}+i sin{\frac{\pi}{2}}=i\\z_3=cos\pi+i sin\pi=-1\\z_4=cos{\frac{3}{2}\pi}+i sin{\frac{3}{2}\pi}=-i


  • 1


#109806 Równanie paraboli przechodzącej

Napisane przez irena_1 w 07.10.2013 - 11:30

y=ax^2+bx+c

 

\{3=a\cdot(-5)^2+b\cdot(-5)+c\\5=a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+c\\-3=a\cdot1^2+b\cdot1+c

 

\{25a-5b+c=3\\a-b+c=5\\a+b+c=-3

 

Po odjęciu drugiego równania od trzeciego:

 

2b=-8\\b=-4

 

Stąd:

a-4+c=-3\\a+c=1\\c=1-a

 

25a-5\cdot(-4)+1-a=3\\24a+21=3\\24a=-18\\a=-\frac{3}{4}

 

c=1-(-\frac{3}{4})=1\frac{3}{4}

 

 

y=-\frac{3}{4}x^2-4x+1\frac{3}{4}


  • 1


#107251 prostopadłościan

Napisane przez irena_1 w 18.03.2013 - 11:27

d- przekątna podstawy

p- przekątna ściany bocznej

 

E- środek przekątnej podstawy AC

 

ACB_1D_1 to ostrosłup, w którym

|AB_1|=|CB_1|=|AD_1|=|CD_1|=p\\|B_1D_1|=d

 

Szukana odległość to wysokość tego ostrosłupa poprowadzona na podstawę ACD_1.

Oznaczyłam ją k.

 

c=|EB_1|=|ED_1|

 

Rozważ trójkąt równoramienny B_1D_1E. o ramionach c i podstawie d.

Wysokość tego trójkąta opuszczona na podstawę B_1D_1 jest równa b, a wysokość opuszczona na ramię ED_1 to szukana odległość punktu B_1 od płaszczyzny ACD_1.

 

d=a\sqrt{2}\\p^2=a^2+b^2\\p=\sqrt{a^2+b^2}\\c^2=b^2+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2=b^2+\frac{a^2}{4}=\frac{4b^2+2a^2}{4}\\c=\frac{\sqrt{4b^2+2a^2}}{2}

 

Z pola trójkąta EB_1D_1

 

\frac{1}{2}db=\frac{1}{2}ck\\a\sqrt{2}\cdot b=\frac{\sqrt{4b^2+2a^2}}{2}\cdot k\\k=\frac{2ab\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{a^2+2b^2}}=\frac{2ab}{\sqrt{a^2+2b^2}}

 

 


  • 1


#107097 Trójkąt.

Napisane przez irena_1 w 07.03.2013 - 09:24

Oznacz:
K, L, M- punkty podziału boku BC licząc od C
N, P, R- punkty podziału boku AC licząc od C

|AB|=x

Trójkąty:
NKC, PLC, RMC są podobne do trójkąta ABC

|CK|=\frac{1}{4}|CB|\\|NK|=\frac{1}{4}|AB|=\frac{1}{4}x

|CL|=\frac{2}{4}|CB|\\|PL|=\frac{1}{2}|AB|=\frac{1}{2}x

|CM|=\frac{3}{4}|BC|\\|RM|=\frac{3}{4}|AB|=\frac{3}{4}x

\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}x=x+6\\\frac{3}{2}x=x+6\\\frac{1}{2}x=6\\x=12\\|AB|=12dm
  • 2


#107095 Okręgi styczne zewnętrznie

Napisane przez irena_1 w 07.03.2013 - 09:11

Oznacz:
K- punkt styczności prostej stycznej k z okręgiem o promieniu 6
L- punkt styczności stycznej z okręgiem o promieniu 2

|O_1A|=x\\|O_1O_2|=8\\|O_2A|=x-8

Trójkąty AKO_1 i ALO_2 są podobne

\frac{6}{x}=\frac{2}{x-8}\\6x-48=2x\\4x=48\\x=12\\|AO_1|=12
  • 1


#106288 podzielność sumy cyfr

Napisane przez irena_1 w 23.01.2013 - 09:32

Najtrudniejsze tu właśnie jest obliczenie sumy cyfr liczby.

Ta liczba to:
246810121416...98100

Najlepiej chyba pogrupować tę sumę tak:

Suma cyfr liczb jednocyfrowych:
2+4+6+8=20

Suma cyfr liczb dwucyfrowych od 10 do 18:
0+2+4+6+8+5\cdot1=20+5

Suma cyfr liczb od 20 do 28:
0+2+4+6+8+5\cdot2=20+10

Suma cyfr liczb od 30 do 38:
0+2+4+6+8+5\cdot3=20+15

.

.

.

Suma cyfr liczb od 90 do 98:
0+2+4+6+8+5\cdot9=20+45

I jeszcze suma cyfr liczby 100:
1+0+0=1

Otrzymujemy sumę:
20+20+5+20+10+20+15+...+20+40+20+45+1=10\cdot20+(5+10+15+...+45)+1=\\=201+\frac{5+45}{2}\cdot9=201+225=426

Suma cyfr tej liczby jest równa 426. Liczba 426 dzieli się przez 3, ale nie dzieli się przez 9.

Nasza liczba jest więc liczbą podzielną przez 3, ale nie dzieli się przez 9.

Jeśli kwadrat liczby naturalnej n dzieli się przez 3, to liczba n musi dzielić się przez 3, ale wtedy kwadrat liczby n musi dzielić się przez 3^2=9.

Ponieważ nasza liczba dzieli się przez 3 i nie dzieli się przez 9, nie jest kwadratem żadnej liczby naturalnej.
  • 1


#105913 Równania i nierówności

Napisane przez irena_1 w 09.01.2013 - 10:43

Przy rozwiązywaniu nierówności wielomianowych wyższych stopni (nie liniowych), trzeba naszkicować wykres wielomianu, czyli tzw. wężyk.
W rozwiązywaniu równań- nie, bo tu chodzi tylko o znalezienie miejsc zerowych wielomianu.
  • 1


#105910 Rozwiąż układ kongruencji

Napisane przez irena_1 w 09.01.2013 - 10:30

W=\begin{vmatrix}2&1&-1\\1&2&1\\1&1&-1\end{vmatrix}\equiv-4+1-1+2-2+1\equiv-3\equiv2\ (mod5)

W_x=\begin{vmatrix}1&1&-1\\2&2&1\\-1&1&-1\end{vmatrix}\equiv-2-1-2-2-1+2\equiv-6\equiv4\ (mod5)

W_y=\begin{vmatrix}2&1&-1\\1&2&1\\1&-1&-1\end{vmatrix}\equiv-4+1+1+2+2+1\equiv3\ (mod5)

W_z=\begin{vmatrix}2&1&1\\1&2&2\\1&1&-1\end{vmatrix}=\equiv-4+2+1-2-4+1\equiv-6\equiv4\ (mod5)

\{x\equiv\frac{4}{2}\equiv2\ (mod5)\\y\equiv\frac{3}{2}\equiv\frac{8}{2}\equiv4\ (mod5)\\z\equiv\frac{4}{2}\equiv2\ (mod5)
  • 2


#105907 Rozwiąż nierówność

Napisane przez irena_1 w 09.01.2013 - 10:12

6x^2(x+3)^2(x+1)(x-2)<0\\x_1=0\ \vee\ x_2=-3\ \vee\ x_3=-1\ \vee\ x_4=2\\x\in(-1;\ 0)\ \cup\ (0;\ 2)
  • 1


#105906 Rozwiąż nierówność

Napisane przez irena_1 w 09.01.2013 - 10:09

x^3-13x+12\le0\\x^3-x-12x+12\le0\\x(x^2-1)-12(x-1)\le0\\x(x-1)(x+1)-12(x-1)\le0\\(x-1)[x(x+1)-12]\le0\\(x-1)(x^2+x-12)\le0\\x-1=0x_1=1\\x^2+x-12=0\\\Delta=1+48=49\\x_2=\frac{-1-7}{2}=-4\ \vee\ x_3=\frac{-1+7}{2}=3\\x_1=1\ \vee\ x_2=-4\ \vee\ x_3=3\\x\in(-\infty;\ -4>\ \cup\ <1;\ 3>
  • 2


#105905 Rozwiąż równanie

Napisane przez irena_1 w 09.01.2013 - 10:04

x^4+2x^3-x-2=0\\x^3(x+2)-(x+2)=0\\(x+2)(x^3-1)=0\\(x+2)(x-1)(x^2+x+1)=0\\x+2=0\ \vee\ x-1=0\ \vee\ x^2+x+1=0\\x_1=-2\ \vee\ x_2=1\\\Delta=1-4<0\\x_1=-2\ \vee\ x_2=1
  • 2


#105198 Trudna nierówność, z równaniem kwadratowym pod pierwiastkiem

Napisane przez irena_1 w 03.12.2012 - 08:27

Wartość pierwiastka jest nieujemna, więc dla
2x+2<0\\x<-1
nierówność jest spełniona dla x\in(-\infty;\ -1)

Niech więc będzie x\ge-1
Ponieważ tutaj obie strony nierówności są liczbami nieujemnymi, więc można podnieść stronami do kwadratu i masz:

x^2+7>4x^2+8x+4\\3x^2+8x-3<0\\\Delta=64+36=100\\x_1=\frac{-8-10}{6}=-3\ \vee\ x_2=\frac{-8+10}{2}=\frac{1}{3}\\x\in(-3;\ \frac{1}{3})\ \ \wedge\ \ x\ge-1\\x\in<-1;\ \frac{1}{3})

Wniosek:
x\in(-\infty;\ \frac{1}{3})
  • 1


#103492 Równanie liniowe

Napisane przez irena_1 w 15.10.2012 - 09:47

Rząd macierzy głównej
\(\begin{matrix}3&1&2&4\\-1&-2&1&1\\2&4&-2&0\end{matrix}\)
jest równy 3

Czyli można układ zapisać:
\{3x+y+2z=3-4t\\-x-2y+z=1-t\\-2x+4y-2x=1

W=\begin{vmatrix}3&1&2\\-1&-2&1\\-2&4&-2\end{vmatrix}=12-2-8-8-12-2=-20

W_x=\begin{vmatrix}3-4t&1&2\\1-t&-2&1\\1&4&-2\end{vmatrix}=4(3-4t)+1+8(1-t)+4-4(3-4t)+2(1-t)=-10t+15

W_y=\begin{vmatrix}3&3-4t&2\\-1&1-t&1\\-2&1&-2\end{vmatrix}-6(1-t)-2(3-4t)-2+4(1-t)-2(3-4t)-3=18t-19

W_z=\begin{vmatrix}3&1&3-4t\\-1&-2&1-t\\-2&4&1\end{vmatrix}=-6-2(1-t)-4(3-4t)+4(3-4t)-12(1-t)+1=14t-19

\{x=\frac{-10t+15}{-20}=\frac{2t-3}{4}\\y=\frac{18t-19}{-20}=\frac{19-18t}{20}\\z=\frac{14t-19}{-20}=\frac{19-14t}{20}
  • 1


#103490 Wyznaczanie parametru m

Napisane przez irena_1 w 15.10.2012 - 09:03

Wielomian
W(x)=(m+3)x^4-2mx^2+m-1
ma 2 pierwiastki, jeśli:
1)
m+3=0\\m=-3\\W(x)=6x^2-4

m=-3

2)
\Delta=4m^2-4(m+3)(m-1)=-8m+12\\\Delta=0\\m=1,5\\x^2=\frac{2m}{2(m+3)}=\frac{1,5}{4,5}=\frac{1}{3}\\m=1,5

3)
\{\Delta>0\\\frac{m-1}{m+3}<0

\{m<1,5\\(m-1)(m+3)<0

\{m<1,5\\m\in(-3;\ 1)
m\in(-3;\ 1)

Reasumując:
x\in<-3;\ 1)\cup\{1,5\}
  • 2


#103319 Funkcja homograficzna

Napisane przez irena_1 w 08.10.2012 - 20:55

Wykres funkcji y=\frac{5}{x-3} powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji y=\frac{5}{x} o wektor [3; 0].
Osie symetrii wykresu y=\frac{5}{x} to proste y=x oraz y=-x
Zatem osie symetrii wykresu funkcji danej w zadaniu są proste
y=x-3 oraz y=-x+3.

Wierzchołki hiperboli y=\frac{5}{x};
\{y=x\\y=\frac{5}{x}
x=\frac{5}{x}\\x^2=5\\x=\sqrt{5}\ \vee\ x=-\sqrt{5}\\y=\sqrt{5}\ \vee\ y=-\sqrt{5}

Po przesunięciu wierzchołki;
(3+\sqrt{5};\ \sqrt{5});\ \ (3-\sqrt{5};\ -\sqrt{5})
  • 1