Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

Mariusz M

Rejestracja: 11 Sep 2010
Offline Ostatnio: Dec 12 2023 12:00
*****

Moje tematy

Rozwiń funkcję w szereg

06.12.2023 - 14:45

f\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}

 

Zastosujmy teraz dwukrotnie dwumian Newtona

Za pierwszym razem będzie to uogólniony dwumian Newtona

a za drugim razem będzie to ten znany ze szkoły średniej

 

\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \left(1+t\left(t-2x\right)\right)^{-\frac{1}{2}}\\</p>\\<p>\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} =\sum_{n=0}^{\infty}{{-\frac{1}{2} \choose n} \cdot t^n\left(t-2x\right)^{n}}\\</p>\\<p>\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} =\sum_{n=0}^{\infty}{{-\frac{1}{2} \choose n} \cdot t^n\left(\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}t^{k}\left(-1\right)^{n-k}\left(2x\right)^{n-k}\right)}\\</p>\\<p>\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} =\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\sum_{k=0}^{n}{{-\frac{1}{2} \choose n} \cdot {n \choose k} \cdot\left(-1\right)^{n-k}\left(2x\right)^{n-k}} t^{n+k}\right)}</p>\\<p>

Rozpiszmy ten symbol Newtona aby pozbyć się ułamkowego argumentu

 

{-\frac{1}{2} \choose n} = \frac{-\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2} - 1\right)\left(-\frac{1}{2} - 2\right)\cdot _\cdots\cdot\left(-\frac{1}{2} - \left(n-1\right)\right)}{n!}</p>\\<p>{-\frac{1}{2} \choose n} =\frac{\left(-1\right)^n}{2^{n}}\cdot\frac{1\cdot 3\cdot 5 \cdot_\cdots\left(2n-1\right)}{n!}\\</p>\\<p>{-\frac{1}{2} \choose n} =\frac{\left(-1\right)^n}{2^{n}}\cdot\frac{1\cdot 3\cdot 5 \cdot_\cdots\cdot\left(2n-1\right)\cdot 2\cdot 4\cdot 6 \cdot_\cdots \cdot 2n}{n!\cdot 2\cdot 4\cdot 6 \cdot_\cdots 2n}\\</p>\\<p>{-\frac{1}{2} \choose n} =\frac{\left(-1\right)^n}{2^{n}}\frac{\left(2n\right)!}{n!\cdot 2^{n}\cdot n!}\\</p>\\<p>{-\frac{1}{2} \choose n} =\frac{\left(-1\right)^n}{2^{2n}}\cdot\frac{\left(2n\right)!}{n!\cdot n!}\\</p>\\<p>{-\frac{1}{2} \choose n} =\frac{\left(-1\right)^n}{2^{2n}}\cdot {2n \choose n}\\</p>\\<p>

 

 

Wstawiając to do wcześniej otrzymanego rozwinięcia

 

</p>\\<p>\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} =\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\sum_{k=0}^{n}{{-\frac{1}{2} \choose n} \cdot {n \choose k} \cdot \left(-1\right)^{n-k}\left(2x\right)^{n-k}}\right) t^{n+k}}\\</p>\\<p>\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} =\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\sum_{k=0}^{n}{{2n \choose n} \cdot {n \choose k}\cdot\frac{\left(-1\right)^n}{2^{2n}} \cdot\left(-1\right)^{n-k}\left(2x\right)^{n-k}}\right) t^{n+k}}\\</p>\\<p>\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} =\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\sum_{k=0}^{n}{{2n \choose n} \cdot {n \choose k}\cdot\frac{\left(-1\right)^k}{2^{2n}} \cdot \frac{2^{n}}{2^{k}}\cdot x^{n-k}}\right) t^{n+k}}\\</p>\\<p>\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} =\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\sum_{k=0}^{n}{{2n \choose n} \cdot {n \choose k}\cdot\frac{\left(-1\right)^k}{2^{n+k}} \cdot x^{n-k}}\right) t^{n+k}}\\</p>\\<p>

 

 

Teraz zauważmy że w wykładniku potęgi t mamy n+k

a chciałbym aby ten wykładnik zależał tylko od zmiennej indeksującej zewnętrzną sumę

 

Jeżeli przyjmiemy że

m=n+k\\</p>\\<p>n=m-k\\</p>\\<p>

to otrzymamy oczekiwany wynik

 

</p>\\<p>\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} =\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\sum_{k=0}^{n}{{2n \choose n} \cdot {n \choose k}\cdot\frac{\left(-1\right)^k}{2^{n+k}} \cdot x^{n-k}}\right) t^{n+k}}\\</p>\\<p>m=n+k\\</p>\\<p>n=m-k\\</p>\\<p>\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} =\sum_{m=0}^{\infty}{\left(\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{m}{2}\rfloor}{{2m-2k \choose m-k} \cdot {m-k \choose k}\cdot\frac{\left(-1\right)^k}{2^{m}} \cdot x^{m-2k}}\right) t^{m}}\\</p>\\<p>\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} =\sum_{m=0}^{\infty}{\left(\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{m}{2}\rfloor}{\frac{\left(2m-2k\right)!}{\left(m-k\right)!\left(m-k\right)!} \cdot \frac{\left(m-k\right)!}{k!\left(m-2k\right)!}\cdot\frac{\left(-1\right)^k}{2^{m}} \cdot x^{m-2k}}\right) t^{m}}\\</p>\\<p>\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} =\sum_{m=0}^{\infty}{\left(\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{m}{2}\rfloor}{\frac{\left(2m-2k\right)!}{\left(m-k\right)!} \cdot \frac{1}{k!\left(m-2k\right)!}\cdot\frac{\left(-1\right)^k}{2^{m}} \cdot x^{m-2k}}\right) t^{m}}\\</p>\\<p>\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} =\sum_{m=0}^{\infty}{\left(\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{m}{2}\rfloor}{\frac{\left(2m-2k\right)!}{\left(m-2k\right)!} \cdot \frac{1}{k!\left(m-k\right)!}\cdot\frac{\left(-1\right)^k}{2^{m}} \cdot x^{m-2k}}\right) t^{m}}\\</p>\\<p>\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} =\sum_{m=0}^{\infty}{\left(\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{m}{2}\rfloor}{\frac{\left(2m-2k\right)!}{m!\left(m-2k\right)!} \cdot \frac{m!}{k!\left(m-k\right)!}\cdot\frac{\left(-1\right)^k}{2^{m}} \cdot x^{m-2k}}\right) t^{m}}\\</p>\\<p>\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} =\sum_{m=0}^{\infty}{\left(\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{m}{2}\rfloor}{{2m-2k \choose m} \cdot {m \choose k}\cdot\frac{\left(-1\right)^k}{2^{m}} \cdot x^{m-2k}}\right) t^{m}}\\</p>\\<p></p>\\<p>

 

Niby otrzymałem wynik taki jakiego oczekiwałem jednak mam wątpliwości co do poprawności przejścia

 

</p>\\<p>\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} =\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\sum_{k=0}^{n}{{2n \choose n} \cdot {n \choose k}\cdot\frac{\left(-1\right)^k}{2^{n+k}} \cdot x^{n-k}}\right) t^{n+k}}\\</p>\\<p>m=n+k\\</p>\\<p>n=m-k\\</p>\\<p>\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} =\sum_{m=0}^{\infty}{\left(\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{m}{2}\rfloor}{{2m-2k \choose m-k} \cdot {m-k \choose k}\cdot\frac{\left(-1\right)^k}{2^{m}} \cdot x^{m-2k}}\right) t^{m}}\\</p>\\<p></p>\\<p>