1) obniżanie rzędu równania liniowego
2) równanie Eulera - zamiana zmiennej niezależnej sprowadzi równanie do równania o stałych współczynnikach
Napisane przez Mariusz M w 26.02.2023 - 09:59
1) obniżanie rzędu równania liniowego
2) równanie Eulera - zamiana zmiennej niezależnej sprowadzi równanie do równania o stałych współczynnikach
Napisane przez Mariusz M w 28.07.2021 - 01:56
Pomysł jest taki aby sprowadzić równanie liniowe drugiego rzędu do układu dwóch równań pierwszego rzędu z których jedno jest równaniem Riccatiego a drugie jest np równaniem o rozdzielonych zmiennych
Teraz przykład że to może się czasem przydać podczas rozwiązywania równań rożniczkowych
Jak widać sposób ten nie zawsze upraszcza rozwiązanie równań liniowych drugiego rzędu
choć czasem znalezienie całki szczególnej równania Riccatiego jest łatwiejsze niż znalezienie całki szczególnej równania liniowego drugiego rzędu
Zastanówcie się dlaczego akurat tak zostało dobrane to drugie równanie
Pobawcie się tym sposobem sprowadzania równania liniowego drugiego rzędu
To nie jest jedyna możliwość przekształcenia równania liniowego drugiego rzędu w układ równań różniczkowych pierwszego rzędu z których jedno jest równaniem Riccatiego
Spróbujcie znaleźć inne
Napisane przez Mariusz M w 19.01.2021 - 18:59
Na wikipedii są podane konstrukcje przy podanej długości promienia
Ja bazując na konstrukcjach dostępnych w tablicach Mizerskiego
wyprowadziłem dwie konstrukcje gdy dana jest długość boku
Skrótowy opis konstrukcji
Konstrukcja pięciokąta foremnego o danym boku
Sposób pierwszy
Wykorzystanie tego że
kąt 108 jest przyległy do kąta 72
trójkąta prostokątnego o kątach 18 72 90
wartości cosinusa kąta 72 do ustalenia przykładowych długości boków trójkąta prostokątnego o kątach 18 72 90
1. Konstrukcja odcinka o długości
i przyjęcie go jako przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o kątach 18 72 90
2. Przeciwprostokątna i przedłużenie przyprostokątnej przyległej do kąta 72 tworzy kąt 108
3. Przyjęcie odcinka danej długości jako boku trójkąta
(okrąg o środku w wierzchołku kąta 108 i promieniu równym odcinkowi danej długości)
4. Środkowe odcinków wyznaczają środek okręgu
5. Na okręgu odmierzyć pozostałe odcinki o danej długości
Sposób drugi
Konstrukcja trójkąta równoramiennego o kątach 54 54 72
i danym boku będącym również bokiem pięciokąta
Wykorzystanie
wartości sinusa kąta 54 do ustalenia prostych zawierających ramiona trójkąta równoramiennego
Konstrukcja odcinka o długości
i opuszczene go na symetralną odcinka o długości a prostopadłego do prostej zawierającej odcinek o długości a
Proste zawierające odcinek o długości poprowadzony z obydwu końców boku pięciokąta przecinają się w punkcie
który jest brakującym wierzchołkiem trójkąta równoramiennego a zarazem środkiem okręgu opisanego na pięciokącie
Teraz opiszę kroki jakie wykonałem w programie Geogebra
Sposób 1.
Konstrukcja pięciokąta foremnego o danej długości boku
Pierwszy etap - konstrukcja trójkąta prostokątnego
gdzie jeden z kątów ostrych jest kątem przyległym do kąta wewnętrznego pięciokąta
Z wartości cosinusa 72 stopni wnosimy że przeciwprostokątna tego
pomocniczego trójkąta ma długość
1. Przez dane punkty A oraz B kreślimy prostą np f
2. Kreślimy okrąg c o środku w punkcie B i promieniu AB
3. Niech punkt C będzie punktem przecięcia okręgu c i prostej f (różnym od A)
4. Kreślimy symetralną g odcinka BC
5. Niech punkt D będze środkiem odcinka BC
6. Kreślimy okrąg d o środku w punkcie D i promieniu AB
7. Niech punkt E będzie punktem przecięcia okręgu d i prostej g
8. Przez punkty B oraz E kreślimy prostą h
9. Kreślimy okrąg e o środku w punkcie E i promieniu BD
10. Niech punkt F będzie przecięciem okręgu e i prostej h na przedłużeniu odcinka BE
11. Kreślimy okrąg k o środku w punkcie B i promieniu BF
12. Niech punkt G będzie punktem przecięcia okręgu k i prostej G (punkty G oraz E leżą po tej samej stronie prostej F)
13. Przez punkty B oraz G kreślimy prostą i
Trójkąt BGD jest pomocniczym trójkątem prostokątnym gdzie GBD jest kątem przyległym do kąta wewnętrznego pięciokąta
Drugi etap - konstrukcja środka okręgu opisanego na pięciokącie
14. Niech punkt H będzie punktem przecięcia okręgu c i prostej h (punkty G oraz H jeżą po tej samej stronie prostej f)
Teraz mamy dwa boki pięciokąta
15. Kreślimy symetralną j odcinka BH
16. Kreślimy symetralną l odcinka AB
17. Niech punkt I pęcie punktem przecięcia symetralnych j oraz l
Punkt I jest środkiem okręgu opisanego na pięciokącie
Trzeci etap - wyznaczenie dwóch pozostałych wierzchołków pięciokąta
18. Kreślimy okrąg p o środku w punkcie I oraz promieniu AI
19. Kreślimy okrąg q o środku w punkcie A i promieniu AB
20. Niech punkt J będzie punktem przecięcia okręgu p oraz okręgu q
21. Kreślimy okrąg r o środku w punkcie H i promieniu AB
22. Niech punkt K będzie punktem przecięcia okręgu p oraz okręgu r
23. Punkty A,B,H,K,J są wierzchołkami poszukiwanego pięciokąta foremnego
Sposób 2.
Przez punkty A i B prowadzimy prostą p1
Prowadzimy prostą p2 prostopadła do prostej p1 i przechodzącą przez punkt B
Kreślimy okrąg o środku w B i promieniu AB
Niech punkt C będzie punktem przecięcia okręgu O(B,AB) i prostej p2
Niech prosta p3 będzie symetralną odcinka BC
Punkt D środek odcinka BC (przecięcie prostych p2 oraz p3)
Przez punkty A i D prowadzimy prostą p4
Kreślimy okrąg o środku w D i promieniu BD
Niech punkt E będzie punktem przecięcia okręgu O(D,BD) i prostej p4
Kreślimy okrąg o środku w A i promieniu AE
Kreślimy okrąg o środku w B i promieniu AE
Niech punkt F będzie punktem przecięcia okręgu O(A,AE) i prostej p3
Niech punkt G będzie punktem przecięcia okręgu O(B,AE) i prostej p3
Przez punkty A i F prowadzimy prostą p5
Przez punkty B i G prowadzimy prostą p6
Niech punkt H będzie punktem przecieęcia prostych p5 i p6
Kreślimy okrąg o środku w H i promieniu AH
Na okręgu O(H,AB) odkładamy odcinek AB
Ktoś chętny aby wyedytować wikipedię aby dodać opis konstrukcji dla danej długości boku ?
Napisane przez Mariusz M w 09.02.2020 - 13:13
@Jarekzulus to podaj jakiś przykład całki tej postaci to pokażę jak przedstawić tę całkę w postaci sumy trzech całek
Wtedy będzie jasne dlaczego wolałbym znaleźć taki rozkład drogą algebraiczną
W powyższych całkach podstawienia Eulera bardzo dobrze pasują ale gdyby chciał rozbić te całki na sumę całek to
W ostatniej linijce skorzystałem z tego że funkcję można rozbić na
Teraz jak dla każdej z tych całek wykonamy z powrotem podstawienie
To otrzymamy sumę całek
i teraz do pierwszej całki można zastosować podstawienie
a do drugiej całki można zastosować podstawienie
W przypadku całki
rozkład wygląda podobnie
i teraz do pierwszej całki można zastosować podstawienie
a do drugiej całki można zastosować podstawienie
Sam widzisz że ten sposób uzyskania tego rozkładu nie jest zbyt efektywny
i dlatego szukam innego sposobu na znalezienie tego rozkładu
Przekształcenia algebraiczne mogłyby być ok
Napisane przez Mariusz M w 29.07.2019 - 22:47
Mariusz nie widzę błędu
Podział na części który zaproponowałeś nie doprowadzi do poprawnego wyniku
Przy twoim podziale na części stopień wielomianu w mianowniku wzrośnie zamiast zmaleć
Poprawny podział na części to
Napisane przez Mariusz M w 22.05.2019 - 18:57
Jarek przez części można ale źle je dobrałeś
Napisane przez Mariusz M w 21.12.2018 - 18:12
Po dodaniu minus powinien być tylko przed
a nie przed całą kreską ułamkową
wtedy po skorzystaniu z jedynki trygonometrycznej cosinus z mianownika się skróci
Na samym początku liczenia przy dobieraniu części zapomniałeś usunąć znaku całki
Napisane przez Mariusz M w 19.12.2018 - 06:32
Teraz koleś w jednym z komentarzy chciał użyć wzoru
zatem musiał mieć
Zaproponował więc podstawienie
Jeżeli chodzi o moje podejście to było to całkowanie przez części
Na początku policzyłem
zatem chcemy mieć w liczniku
stąd pomysł na części
i koleś co kręcił filmiki wybrał moją propozycję obliczenia tej całki
jednak ci co wymyślają dziwne podstawienia nie byli z tego zadowoleni
Napisane przez Mariusz M w 17.12.2018 - 23:35
Pomysł na całkę pojawił się w komentarzu do filmiku pewnego Kitajca znajdującego się w USA
Moim pomysłem na policzenie tej całki było dobranie tak części aby w liczniku pojawiła się pochodna wnętrza mianownika
Gdy koleś wybrał moją propozycję policzenia tej całki pojawiły się w komentarzach kolejne propozycje fanów różnych dziwnych podstawień
np wiemy że
i koleś próbował dopasować wnętrze mianownika pod ten wzór
Napisane przez Mariusz M w 27.09.2018 - 13:01
Ostrogradskim też można
możesz liczyć na dwa sposoby
1. Korzystając z rozkładu na czynniki
2. Korzystając z algorytmu kolejnych dzieleń
Bierzesz reszty z kolejnych dzieleń
Przypomina to algorytm Euklidesa dla liczb
Napisane przez Mariusz M w 17.09.2018 - 19:49
Jeżeli nic nie zgubiłem podczas obliczeń to wynik powinien być dobry
Nawet jeśli pomyliłem się w obliczeniach to sposób jest dobry
Napisane przez Mariusz M w 17.09.2018 - 11:39
Nie lepiej było zastosować pierwsze podstawienie Eulera
Po zastosowaniu liniowości mielibyśmy całkę z potęgi
Ale tak jest modnie po amerykańsku
Po scałkowaniu dostaniemy liczbę
Napisane przez Mariusz M w 16.07.2018 - 09:10
Jakiś czas temu na innym forum widziałem całkę
Wiem jak ją obliczyć ale jestem ciekawy czy wam sprawi kłopot jej policzenie
Dodatkowo dodam że Wolfram ma kłopoty z jej policzeniem a także pewni użytkownicy
forum twierdzili że nie da się jej elementarnie policzyć
Dodajmy do funkcji podcałkowej pewne zero i skorzystajmy z liniowości całki
Pierwszą całkę dość łatwo policzyć
Pomnóżmy funkcję podcałkową przez pewną jedynkę
Gdy wymnożymy licznik w funkcji podcałkowej tej drugiej całki łatwo zauważymy że pasuje do niej podstawienie
Napisane przez Mariusz M w 26.11.2017 - 03:43
Metoda Ostrogradskiego też będzie wymagała ośmiu współczynników , (po zastosowaniu wystarczy pobawić się licznikiem aby uzyskać dalszy rozkład)
Tutaj można pobawić się częściami aby uprościć sobie całkę
Community Forum Software by IP.Board
Właściciel: matma4u.pl