Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

Mariusz M

Rejestracja: 11 Sep 2010
Offline Ostatnio: Dec 12 2023 12:00
*****

#132365 Równanie różniczkowe drugiego stopnia

Napisane przez Mariusz M w 26.02.2023 - 09:59

1) obniżanie rzędu równania liniowego

 

</p>\\<p>x^2\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)\cdot y''\left(x\right) + x\cdot y'\left(x\right) -y\left(x\right) = 0 \qquad y\left(1\right) = 2 \qquad y'\left(1\right) = 1<br>\\y_{1}\left(x\right) = x\\</p>\\<p>x^2\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)\cdot 0 + x\cdot 1 -x = 0\\</p>\\<p>0 + x - x = 0\\</p>\\<p>0 = 0\\</p>\\<p>y\left(x\right) = x\int{u\left(x\right)\mbox{d}x}\\</p>\\<p>y'\left(x\right) = \int{u\left(x\right)\mbox{d}x} + xu\left(x\right)\\</p>\\<p>y''\left(x\right) = u\left(x\right) + u\left(x\right) + xu'\left(x\right)\\</p>\\<p>y''\left(x\right) = 2u\left(x\right) + xu'\left(x\right)\\</p>\\<p>x^2\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)\cdot\left(2u\left(x\right) + xu'\left(x\right)\right)+x\left(\int{u\left(x\right)\mbox{d}x} + xu\left(x\right)\right) - x\int{u\left(x\right)\mbox{d}x} = 0\\</p>\\<p>x^3\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)u'\left(x\right)+2x^2\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)u\left(x\right)+x^2u\left(x\right)+x\int{u\left(x\right)\mbox{d}x} - x\int{u\left(x\right)\mbox{d}x} = 0\\</p>\\<p>x^3\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)u'\left(x\right)+x^2\left(3-2\ln{\left(x\right)}\right)u\left(x\right) = 0\\</p>\\<p>x\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)u'\left(x\right)+\left(3-2\ln{\left(x\right)}\right)u\left(x\right) = 0\\</p>\\<p>x\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)u'\left(x\right) = \left(2\ln{\left(x\right)} - 3\right)u\left(x\right) \\</p>\\<p>\frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)} = \frac{2\ln{\left(x\right)} - 3}{x\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)}\\</p>\\<p>t = 1-\ln{\left(x\right)}\\</p>\\<p>\mbox{d}t = -\frac{\mbox{d}x}{x}\\</p>\\<p>-2t-1 = 2\ln{\left(x\right)}-3\\</p>\\<p>\int{\frac{2\ln{\left(x\right)} - 3}{x\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)}\mbox{d}x}= \int{\frac{2t+1}{t}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{2\ln{\left(x\right)} - 3}{x\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)}\mbox{d}x} = 2t + \ln{\left(t\right)}\\</p>\\<p>\frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)} = - 2\ln{\left(x\right)} + \ln{\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)} + C\\</p>\\<p>\ln{\left(u\left(x\right)\right)} = \ln{\left(\frac{1-\ln{\left(x\right)}}{x^2}\right)} +C\\</p>\\<p>u\left(x\right) = \frac{1-\ln{\left(x\right)}}{x^2}\\</p>\\<p>y = x\left(C_{1}\int{\frac{1-\ln{\left(x\right)}}{x^2}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>y = C_{1}x\left(-\frac{1}{x}+\frac{\ln{\left(x\right)}}{x} - \int{\frac{1}{x^2}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>y = C_{1}x\left(-\frac{1}{x}+\frac{\ln{\left(x\right)}}{x} + \frac{1}{x} + C_{2}\right)\\</p>\\<p>y = C_{1}x\left(\frac{\ln{\left(x\right)}}{x} + C_{2}\right)\\</p>\\<p>y = C_{1}\ln{\left(x\right)} + C_{2}x\\</p>\\<p>y' = \frac{C_{1}}{x}+C_{2}\\</p>\\<p>C_{2} = 2\\</p>\\<p>C_{1}+C_{2}=1\\</p>\\<p>C_{1} = -1\\</p>\\<p>y = 2x - \ln{\left(x\right)}</p>\\<p>

 

2) równanie Eulera - zamiana zmiennej niezależnej sprowadzi równanie do równania o stałych współczynnikach

 

 

</p>\\<p>x^2y''-2xy'+2y = 0 \qquad y\left(1\right) = 3 \qquad y'\left(1\right) = 1</p>\\<p>x=e^{t}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t} = e^{t}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\cdot\frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}e^{-t}\\</p>\\<p>x\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = e^{t}\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}e^{-t}\\</p>\\<p>x\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\left(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\cdot\frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}x}\right)\frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\left(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\cdot e^{-t}\right)e^{-t}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} = \left(\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2}\cdot e^{-t} - \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t} \cdot e^{-t}\right)e^{-t}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} = \left(\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2} -\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t} \right)e^{-2t}\\</p>\\<p>x^2\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} = e^{2t}\left(\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2} - \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\right)e^{-2t}\\</p>\\<p>x^2\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} =\left(\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2} -\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t} \right)\\</p>\\<p>\left(\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2} - \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\right) - 2\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}+2y = 0\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2} - 3 \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}+ 2y = 0\\</p>\\<p></p>\\<p>y = e^{\lambda t}\\</p>\\<p>\lambda^2e^{\lambda t} - 3\lambda e^{\lambda t} + 2e^{\lambda t} = 0\\</p>\\<p>\left(\lambda^2 - 3\lambda + 2\right)e^{\lambda t} = 0\\</p>\\<p>\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0\\</p>\\<p>\left(\lambda - 1\right)\left(\lambda - 2\right) = 0\\</p>\\<p>\lambda_{1} = 1\\</p>\\<p>\lambda_{2} = 2\\</p>\\<p>y\left(t\right) = C_{1}e^{t}+C_{2}e^{2t}\\</p>\\<p>y\left(x\right) = C_{1}x + C_{2}x^2\\</p>\\<p>y'\left(x\right) = C_{1} + 2C_{2}x\\</p>\\<p>\begin{cases}</p>\\<p>C_{1}+C_{2} = 3\\</p>\\<p>C_{1}+2C_{2} = 1\\</p>\\<p>\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}</p>\\<p>C_{1}+C_{2} = 3\\</p>\\<p>C_{2} = -2\\</p>\\<p>\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}</p>\\<p>C_{1} = 5\\</p>\\<p>C_{2} = -2\\</p>\\<p>\end{cases}\\</p>\\<p></p>\\<p>y\left(x\right) = 5x -2x^2\\</p>\\<p></p>\\<p>


  • 2


#131862 Sprowadzenie równania liniowego drugiego rzędu do równania Riccatiego

Napisane przez Mariusz M w 28.07.2021 - 01:56

Pomysł jest taki aby sprowadzić równanie liniowe drugiego rzędu do układu dwóch równań pierwszego rzędu z których jedno jest równaniem Riccatiego a drugie jest np równaniem o rozdzielonych zmiennych

 

y''+p\left(x\right)y'+q\left(x\right)y=0\\</p>\\<p>y''=-p\left(x\right)y'-q\left(x\right)y\\</p>\\<p>\begin{cases}y''=-p\left(x\right)y'-q\left(x\right)y\\y'=\frac{y}{z} \end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}\frac{y'z-yz'}{z^2}=-p\left(x\right)\frac{y}{z}-q\left(x\right)y\\y'=\frac{y}{z} \end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}\frac{\frac{y}{z}\cdot z-yz'}{z^2}=-p\left(x\right)\frac{y}{z}-q\left(x\right)y\\y'=\frac{y}{z} \end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}\frac{y-yz'}{z^2}=-p\left(x\right)\frac{y}{z}-q\left(x\right)y\\y'=\frac{y}{z} \end{cases}\</p>\\<p>\begin{cases} y - yz' =-p\left(x\right)yz-q\left(x\right)yz^2\\y'=\frac{y}{z} \end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases} - yz' =-p\left(x\right)yz-q\left(x\right)yz^2-y\\y'=\frac{y}{z} \end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases} - yz' =-y\left(q\left(x\right)z^2+p\left(x\right)z + 1\right)\\y'=\frac{y}{z} \end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases} z' =q\left(x\right)z^2+p\left(x\right)z + 1 \\y'=\frac{y}{z} \end{cases}\\</p>\\<p>

 

 

Teraz przykład że to może się czasem przydać podczas rozwiązywania równań rożniczkowych

 

f''+\left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}}\right)f'+\frac{2}{x^2+1}f = 0\\</p>\\<p>\begin{cases}z'=\frac{2}{x^2+1}z^2+\left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}}\right)z+1\\f'=\frac{f}{z} \end{cases}\\</p>\\<p>z'=\frac{2}{x^2+1}z^2+\left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}}\right)z+1\\<br>\\z_{1}=\sqrt{x^2+1}\\</p>\\<p>\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=2+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-3+1\\</p>\\<p>\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\\</p>\\<p>z = \sqrt{x^2+1}+\frac{1}{u}\\</p>\\<p>\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{u'}{u^2}=\frac{2}{x^2+1}\left(\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{u}\right)^2+\left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}}\right)\left(\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{u}\right)+1\\</p>\\<p>\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{u'}{u^2}=\frac{2}{x^2+1}\left(x^2+1+2\frac{\sqrt{x^2+1}}{u}+\frac{1}{u^2}\right)+\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-3+\frac{x}{x^2+1}\cdot\frac{1}{u}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}}\cdot\frac{1}{u}\right)+1\\</p>\\<p>\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{u'}{u^2}=2+\frac{4}{\sqrt{x^2+1}}\cdot \frac{1}{u}+\frac{2}{x^2+1}\cdot\frac{1}{u^2}+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-3+\frac{x}{x^2+1}\cdot\frac{1}{u}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}}\cdot\frac{1}{u}+1\\</p>\\<p>-\frac{u'}{u^2}=\left(\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)\cdot\frac{1}{u}+\frac{2}{x^2+1}\cdot\frac{1}{u^2}\\</p>\\<p>-\frac{u'}{u^2}-\left(\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)\cdot\frac{1}{u}=\frac{2}{x^2+1}\cdot\frac{1}{u^2}</p>\\<p>u'+\left(\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)u=-\frac{2}{x^2+1}\\</p>\\<p>u'+\left(\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)u=0\\</p>\\<p>u'=-\left(\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)u\\</p>\\<p>\frac{u'}{u}=-\left(\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=t-x\\</p>\\<p>x^2+1=t^2-2tx+x^2\\</p>\\<p>1=t^2-2tx\\</p>\\<p>2tx=t^2-1\\</p>\\<p>x=\frac{t^2-1}{2t}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2t\cdot 2t-2\left(t^2-1\right)}{4t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{t^2+1}{2t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=t-\frac{t^2-1}{2t}\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=\frac{t^2+1}{2t}\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mbox{d}x}=\int{\frac{2t}{t^2+1}\cdot\frac{t^2+1}{2t^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mbox{d}x}=\int{\frac{1}{t}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mbox{d}x}=\ln{\left|x+\sqrt{x^2+1}\right|}\\</p>\\<p>\ln{\left|u\right|}=\ln{\left|\frac{1}{\sqrt{x^2+1}\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)}\right|}+C_{1}\\</p>\\<p>\ln{\left|u\right|}=\ln{\left|\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}\left(\left(x^2+1\right)-x\right)}\right|}+C_{1}\\</p>\\<p>\ln{\left|u\right|}=\ln{\left|\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}}\right|}+C_{1}\\</p>\\<p>u\left(x\right)=C\left(x\right)\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)\\</p>\\<p>C'\left(x\right)\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)+C\left(x\right)\left(\frac{-\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}\right)+\left(\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)C\left(x\right)\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)=-\frac{2}{x^2+1}\\</p>\\<p>C'\left(x\right)\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)+\frac{-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}C\left(x\right)+C\left(x\right)\left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{x^2}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{x}{x^2+1}\right)=-\frac{2}{x^2+1}\\</p>\\<p>C'\left(x\right)\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)-\frac{1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}C\left(x\right)+C\left(x\right)\frac{1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}=-\frac{2}{x^2+1}\\</p>\\<p>C'\left(x\right)\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}}=-\frac{2}{x^2+1}\\</p>\\<p>C'\left(x\right)=-\frac{2}{\sqrt{x^2+1}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)}\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=t-x\\</p>\\<p>x^2+1=t^2-2tx+x^2\\</p>\\<p>1=t^2-2tx\\</p>\\<p>2tx=t^2-1\\</p>\\<p>x=\frac{t^2-1}{2t}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2t\cdot 2t-2\left(t^2-1\right)}{4t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{t^2+1}{2t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=t-\frac{t^2-1}{2t}\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=\frac{t^2+1}{2t}\\</p>\\<p>-2\int{\frac{1}{\frac{t^2+1}{2t}\cdot\frac{t^2+1-t^2+1}{2t}}\cdot\frac{t^2+1}{2t^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>-2\int{\frac{2t^2}{t^2+1}\cdot\frac{t^2+1}{2t^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>-2\int{\mbox{d}t}=-2\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C_{1}\\</p>\\<p>u\left(x\right)=\left(-2\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C_{1}\right)\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}}\\</p>\\<p>u\left(x\right)=\frac{-2+C_{1}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)}{\sqrt{x^2+1}}\\</p>\\<p>z\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}+\frac{\sqrt{x^2+1}}{-2+C_{1}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)}</p>\\<p>z\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}\cdot\frac{-1+C_{1}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)}{-2+C_{1}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)}</p>\\<p>z\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}\cdot\frac{x+\sqrt{x^2+1}-C_{1}}{2x+2\sqrt{x^2+1}-C_{1}}\\</p>\\<p>f'=f\cdot\frac{2x+2\sqrt{x^2+1}-C_{1}}{\sqrt{x^2+1}\left(x+\sqrt{x^2+1}-C_{1}\right)}</p>\\<p>\frac{f'}{f}=\frac{2x+2\sqrt{x^2+1}-C_{1}}{\sqrt{x^2+1}\left(x+\sqrt{x^2+1}-C_{1}\right)}</p>\\<p>\frac{\mbox{d}f}{f}=\frac{2x+2\sqrt{x^2+1}-C_{1}}{\sqrt{x^2+1}\left(x+\sqrt{x^2+1}-C_{1}\right)}\mbox{d}x\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=t-x\\</p>\\<p>x^2+1=t^2-2tx+x^2\\</p>\\<p>1=t^2-2tx\\</p>\\<p>2tx=t^2-1\\</p>\\<p>x=\frac{t^2-1}{2t}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2t\cdot 2t-2\left(t^2-1\right)}{4t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{t^2+1}{2t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=t-\frac{t^2-1}{2t}\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=\frac{t^2+1}{2t}\\</p>\\<p>\int{\frac{2t-C_{1}}{t-C_{1}}\cdot\frac{2t}{t^2+1}\cdot\frac{t^2+1}{2t^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{2t-C_{1}}{t\left(t-C_{1}\right)}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{2t-C_{1}}{t^2-C_{1}t}\mbox{d}t}=\ln{\left|t^2-C_{1}t\right|}+\ln{C_{2}}\\</p>\\<p>\ln{\left|f\right|}=\ln{\left|\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^2-C_{1}\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right|}+\ln{C_{2}}\\</p>\\<p>f=C_{2}\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^2-C_{2}C_{1}\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)<br>\\
 

 

 

Jak widać sposób ten nie zawsze upraszcza rozwiązanie równań liniowych drugiego rzędu

choć czasem znalezienie całki szczególnej równania Riccatiego jest łatwiejsze niż znalezienie całki szczególnej równania liniowego drugiego rzędu

 

Zastanówcie się dlaczego akurat tak zostało dobrane to drugie równanie

Pobawcie się tym sposobem sprowadzania równania liniowego drugiego rzędu

To nie jest jedyna możliwość przekształcenia równania liniowego drugiego rzędu w układ równań różniczkowych pierwszego rzędu z których jedno jest równaniem Riccatiego

Spróbujcie znaleźć inne


  • 2


#131693 Pięciokąt foremny konstrukcja

Napisane przez Mariusz M w 19.01.2021 - 18:59

Na wikipedii są podane konstrukcje przy podanej długości promienia

 

Ja bazując na konstrukcjach dostępnych w tablicach Mizerskiego

wyprowadziłem dwie konstrukcje gdy dana jest długość boku

 

Skrótowy opis konstrukcji

 

Konstrukcja pięciokąta foremnego o danym boku

Sposób pierwszy

Wykorzystanie tego że
   kąt 108 jest przyległy do kąta 72
   trójkąta prostokątnego o kątach 18 72 90
   wartości cosinusa kąta 72 do ustalenia przykładowych długości boków trójkąta prostokątnego o kątach 18 72 90
1. Konstrukcja odcinka o długości \frac{1+\sqrt{5}}{2} \cdot a
   i przyjęcie go jako przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o kątach 18 72 90
2. Przeciwprostokątna i przedłużenie przyprostokątnej przyległej do kąta 72 tworzy kąt 108
3. Przyjęcie odcinka danej długości jako boku trójkąta
   (okrąg o środku w wierzchołku kąta 108 i promieniu równym odcinkowi danej długości)   
4. Środkowe odcinków wyznaczają środek okręgu
5. Na okręgu odmierzyć pozostałe odcinki o danej długości

Sposób drugi

Konstrukcja trójkąta równoramiennego o kątach 54 54 72
i danym boku będącym również bokiem pięciokąta

Wykorzystanie
        wartości sinusa kąta 54 do ustalenia prostych zawierających ramiona trójkąta równoramiennego

   Konstrukcja odcinka o długości \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1\right)\cdot a 
   i opuszczene go na symetralną odcinka o długości a prostopadłego do prostej zawierającej odcinek o długości a
   Proste zawierające odcinek o długości \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1\right)\cdot a poprowadzony z obydwu końców boku pięciokąta przecinają się w punkcie
   który jest brakującym wierzchołkiem trójkąta równoramiennego a zarazem środkiem okręgu opisanego na pięciokącie

 

Teraz opiszę kroki jakie wykonałem w programie Geogebra

 

Sposób 1.

Konstrukcja pięciokąta foremnego o danej długości boku
Pierwszy etap - konstrukcja trójkąta prostokątnego
gdzie jeden z kątów ostrych jest kątem przyległym do kąta wewnętrznego pięciokąta
Z wartości cosinusa 72 stopni wnosimy że przeciwprostokątna tego
pomocniczego trójkąta ma długość \frac{1+\sqrt{5}}{2} \cdot a

1.  Przez dane punkty A oraz B kreślimy prostą np f
2.  Kreślimy okrąg c o środku w punkcie B i promieniu AB
3.  Niech punkt C będzie punktem przecięcia okręgu c i prostej f (różnym od A)
4.  Kreślimy symetralną g odcinka BC
5.  Niech punkt D będze środkiem odcinka BC
6.  Kreślimy okrąg d o środku w punkcie D i promieniu AB
7.  Niech punkt E będzie punktem przecięcia okręgu d i prostej g
8.  Przez punkty B oraz E kreślimy prostą h
9.  Kreślimy okrąg e o środku w punkcie E i promieniu BD
10. Niech punkt F będzie przecięciem okręgu e i prostej h na przedłużeniu odcinka BE
11. Kreślimy okrąg k o środku w punkcie B i promieniu BF
12. Niech punkt G będzie punktem przecięcia okręgu k i prostej G (punkty G oraz E leżą po tej samej stronie prostej F)
13. Przez punkty B oraz G kreślimy prostą i

Trójkąt BGD jest pomocniczym trójkątem prostokątnym gdzie GBD jest kątem przyległym do kąta wewnętrznego pięciokąta


Drugi etap - konstrukcja środka okręgu opisanego na pięciokącie

14. Niech punkt H będzie punktem przecięcia okręgu c i prostej h (punkty G oraz H jeżą po tej samej stronie prostej f)
    Teraz mamy dwa boki pięciokąta
15. Kreślimy symetralną j odcinka BH
16. Kreślimy symetralną l odcinka AB
17. Niech punkt I pęcie punktem przecięcia symetralnych j oraz l
    Punkt I jest środkiem okręgu opisanego na pięciokącie

Trzeci etap - wyznaczenie dwóch pozostałych wierzchołków pięciokąta

18. Kreślimy okrąg p o środku w punkcie I oraz promieniu AI
19. Kreślimy okrąg q o środku w punkcie A i promieniu AB
20. Niech punkt J będzie punktem przecięcia okręgu p oraz okręgu q
21. Kreślimy okrąg r o środku w punkcie H i promieniu AB
22. Niech punkt K będzie punktem przecięcia okręgu p oraz okręgu r
23. Punkty A,B,H,K,J są wierzchołkami poszukiwanego pięciokąta foremnego

Sposób 2.
 

Przez punkty A i B prowadzimy prostą p1
Prowadzimy prostą p2 prostopadła do prostej p1 i przechodzącą przez punkt B
Kreślimy okrąg o środku w B i promieniu AB
Niech punkt C będzie punktem przecięcia okręgu O(B,AB) i prostej p2
Niech prosta p3 będzie symetralną odcinka BC
Punkt D środek odcinka BC (przecięcie prostych p2 oraz p3)
Przez punkty A i D prowadzimy prostą p4
Kreślimy okrąg o środku w D i promieniu BD
Niech punkt E będzie punktem przecięcia okręgu O(D,BD) i prostej p4
Kreślimy okrąg o środku w A i promieniu AE
Kreślimy okrąg o środku w B i promieniu AE
Niech punkt F będzie punktem przecięcia okręgu O(A,AE) i prostej p3
Niech punkt G będzie punktem przecięcia okręgu O(B,AE) i prostej p3
Przez punkty A i F prowadzimy prostą p5
Przez punkty B i G prowadzimy prostą p6
Niech punkt H będzie punktem przecieęcia prostych p5 i p6
Kreślimy okrąg o środku w H i promieniu AH
Na okręgu O(H,AB) odkładamy odcinek AB



Ktoś chętny aby wyedytować wikipedię aby dodać opis konstrukcji dla danej długości boku ?


  • 1


#131130 Całka z pierwiastka z trójmianu

Napisane przez Mariusz M w 09.02.2020 - 13:13

@Jarekzulus to podaj jakiś przykład całki tej postaci to pokażę jak  przedstawić tę całkę w postaci sumy trzech całek

Wtedy będzie jasne dlaczego wolałbym znaleźć taki rozkład drogą algebraiczną

 

\int \frac{dx}{x\sqrt{2x^2-2x+1}}
\int \frac{dx}{x\sqrt{2x^2-2x-1}}

 

W powyższych całkach podstawienia Eulera bardzo dobrze pasują ale gdyby chciał rozbić te całki na sumę całek to

 

 

 

\int \frac{dx}{x\sqrt{2x^2-2x+1}}=\int{\frac{dx}{x\sqrt{2\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}}}}\\</p>\\<p>=\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{dx}{x\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}}}\\</p>\\<p>x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\tan{t}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{1}{2}\left(1+\tan^2{t}\right)\mbox{d}t\\</p>\\<p>=\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{\mbox{d}t}{\frac{1}{2}\left(1+\tan{t}\right)\sqrt{\frac{1}{4}\left(1+\tan^2{t}\right)}}\cdot\frac{1}{2}\left(1+\tan^2{t}\right)\mbox{d}t}\\</p>\\<p>=\sqrt{2}\int{\frac{\frac{1}{\cos{t}}\mbox{d}t}{\frac{\cos{t}+\sin{t}}{\cos{t}}}}\\</p>\\<p>=\sqrt{2}\int{\frac{\mbox{d}t}{\cos{t}+\sin{t}}}\\</p>\\<p>=\sqrt{2}\int{-\frac{\sin{t}}{\cos^2{t}-\sin^2{t}}\mbox{d}t}+\sqrt{2}\int{\frac{\cos{t}}{\cos^{2}{t}-\sin^{2}{t}}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>

 

W ostatniej linijce skorzystałem z tego że funkcję można rozbić na

 

R\left(u,v\right)=\frac{R\left(u,v\right)-R\left(-u,v\right)}{2}+\frac{R\left(-u,v\right)-R\left(-u,-v\right)}{2}+\frac{R\left(-u,-v\right)+R\left(u,v\right)}{2}

 

 

Teraz jak dla każdej z tych całek wykonamy  z powrotem podstawienie x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\tan{t}\\

 

To otrzymamy sumę całek

 

\frac{1}{2}\int{\frac{2x-1}{x\left(x-1\right)\sqrt{2x^2-2x+1}}\mbox{d}x}-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x\left(x-1\right)\sqrt{2x^2-2x+1}}\mbox{d}x}

 

 

 

i teraz do pierwszej całki można zastosować podstawienie

u=\sqrt{2x^2-2x+1}

a do drugiej całki można zastosować podstawienie

v=\frac{x-\frac{1}{2}}{\sqrt{2x^2-2x+1}}

 

 

W przypadku całki

 

\int \frac{dx}{x\sqrt{2x^2-2x-1}}

rozkład wygląda podobnie

 

 

\frac{1}{2}\int{\frac{2x-1}{x\left(x-1\right)\sqrt{2x^2-2x-1}}\mbox{d}x}-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x\left(x-1\right)\sqrt{2x^2-2x-1}}\mbox{d}x}

 

i teraz do pierwszej całki można zastosować podstawienie

u=\sqrt{2x^2-2x-1}

a do drugiej całki można zastosować podstawienie

v=\frac{x-\frac{1}{2}}{\sqrt{2x^2-2x-1}}

 

 

Sam widzisz że ten sposób uzyskania tego rozkładu nie jest zbyt efektywny

i dlatego szukam innego sposobu na znalezienie tego rozkładu

Przekształcenia algebraiczne mogłyby być ok


  • 1


#130801 Całka

Napisane przez Mariusz M w 29.07.2019 - 22:47


Mariusz nie widzę błędu

 

Podział na części który zaproponowałeś nie doprowadzi do poprawnego wyniku

Przy twoim podziale na części stopień wielomianu w mianowniku wzrośnie zamiast zmaleć

 

Poprawny podział na części to

 

u=x^2 \qquad \mbox{d}v=\frac{1}{\left(1-x\right)^2}\mbox{d}v\\ \mbox{d}u=2x\mbox{d}x \qquad v=\frac{1}{1-x}


  • 1


#130653 Całka

Napisane przez Mariusz M w 22.05.2019 - 18:57

Jarek przez części można ale źle je dobrałeś

 

\int{\frac{x^2}{(1-x)^2}\mbox{d}x}=\frac{x^2}{1-x}-2\int{\frac{x}{1-x}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{x^2}{(1-x)^2}\mbox{d}x}=\frac{x^2}{1-x}+\int{\frac{2-2x-2}{1-x}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{x^2}{(1-x)^2}\mbox{d}x}=\frac{x^2}{1-x}+2\int{\mbox{d}x}+2\int{\frac{-1}{1-x}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{x^2}{(1-x)^2}\mbox{d}x}=\frac{x^2}{1-x}+2x+2\ln{\left|1-x\right|}+C\\</p>\\<p>


  • 3


#130476 Oblicz całkę

Napisane przez Mariusz M w 21.12.2018 - 18:12

Po dodaniu minus powinien być tylko przed x

a nie przed całą kreską ułamkową

wtedy po skorzystaniu z jedynki trygonometrycznej cosinus z mianownika się skróci

Na samym początku liczenia przy dobieraniu części zapomniałeś usunąć znaku całki


  • 1


#130470 Oblicz całkę

Napisane przez Mariusz M w 19.12.2018 - 06:32

x\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{x^2+1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\sin{x}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\cos{x}\right)

 

Teraz koleś w jednym z komentarzy chciał użyć wzoru

 

\sin{\left(A+B\right)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}

 

zatem musiał mieć

 

\cos{\theta}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\\</p>\\<p>\sin{\theta}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}</p>\\<p>

 

\tan{\theta}=\frac{1}{x}\\</p>\\<p>x\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{x^2+1}\sin{\left(x+\arctan{\left(\frac{1}{x}\right)}\right)}\\</p>\\<p>

 

Zaproponował więc podstawienie u=x+\arctan{\left(\frac{1}{x}\right)}

 

 

Jeżeli chodzi o moje podejście to było to całkowanie przez części

 

Na początku policzyłem

 

\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(x\sin{x}+\cos{x}\right)=\\</p>\\<p>\sin{x}+x\cos{x}-\sin{x}=x\cos{x}</p>\\<p>

 

zatem chcemy mieć w liczniku x\cos{x}

 

stąd pomysł na części

 

\int{\frac{x}{\cos{x}}\cdot\frac{x\cos{x}}{\left(x\sin{x}+\cos{x}\right)^2}\mbox{d}x}

 

i koleś co kręcił filmiki wybrał moją propozycję obliczenia tej całki

jednak ci co wymyślają dziwne podstawienia nie byli z tego zadowoleni


  • 3


#130465 Oblicz całkę

Napisane przez Mariusz M w 17.12.2018 - 23:35

Pomysł na całkę pojawił się w komentarzu do filmiku pewnego Kitajca znajdującego się w USA
Moim pomysłem na policzenie tej całki było dobranie tak części aby w liczniku pojawiła się pochodna wnętrza mianownika

Gdy koleś wybrał moją propozycję policzenia tej całki pojawiły się w komentarzach kolejne propozycje fanów różnych dziwnych podstawień
np wiemy że

sin{\left(A+B\right)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}

i koleś próbował dopasować wnętrze mianownika pod ten wzór


  • 1


#130280 Całka z demotów

Napisane przez Mariusz M w 27.09.2018 - 13:01

Ostrogradskim też można

 

\gcd{Q\left(x\right),Q'\left(x\right)}

 

możesz liczyć na dwa sposoby

 

1. Korzystając z rozkładu na czynniki

2. Korzystając z algorytmu kolejnych dzieleń
Bierzesz reszty z kolejnych dzieleń
Przypomina to algorytm Euklidesa dla liczb

 

\frac{1}{32}\int{\frac{2160t^3-9086t^2+12728t-5937}{\left(2t-3\right)^4}\mbox{d}t}=\frac{a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}}{\left(2t-3\right)^3}+\int{\frac{b_{0}}{2t-3}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{1}{32}\cdot\frac{2160t^3-9086t^2+12728t-5937}{\left(2t-3\right)^4}=\frac{\left(2a_{2}t+a_{1}\right)\left(2t-3\right)^3-6\left(2t-3\right)^2\left(a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)}{\left(2t-3\right)^6}+\frac{b_{0}}{2t-3}\\</p>\\<p>\frac{1}{32}\cdot\frac{2160t^3-9086t^2+12728t-5937}{\left(2t-3\right)^4}=\frac{\left(2a_{2}t+a_{1}\right)\left(2t-3\right)-6\left(a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)}{\left(2t-3\right)^4}+\frac{b_{0}\left(2t-3\right)^3}{\left(2t-3\right)^4}\\</p>\\<p>\frac{1}{32}\cdot\left(2160t^3-9086t^2+12728t-5937\right)=\left(2a_{2}t+a_{1}\right)\left(2t-3\right)-6\left(a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)+b_{0}\left(2t-3\right)^3\\</p>\\<p>\frac{1}{32}\cdot\left(2160t^3-9086t^2+12728t-5937\right)=\left(4a_{2}t^2-6a_{2}t+2a_{1}t-3a_{1}\right)-\left(6a_{2}t^2+6a_{1}t+6a_{0}\right)+b_{0}\left(8t^3-36t^2+54t-27\right)\\</p>\\<p>\frac{1}{32}\cdot\left(2160t^3-9086t^2+12728t-5937\right)=8b_{0}t^3+\left(-36b_{0}-2a_{2}\right)t^2+\left(54b_{0}-6a_{2}-4a_{1}\right)t+\left(-27b_{0}-3a_{1}-6a_{0}\right)\\</p>\\<p>


  • 1


#130257 UPROŚĆ 4 Algebra Boola

Napisane przez Mariusz M w 17.09.2018 - 19:49

y=a\overline{c}+a\overline{b}+b\overline{c}+b\left(\overline{a}+\overline{c}\right)+\left(\overline{a}+\overline{c}\right)\\</p>\\<p>y=a\overline{c}+a\overline{b}+b\overline{c}+\left(b+1\right)\left(\overline{a}+\overline{c}\right)\\</p>\\<p>y=a\overline{c}+a\overline{b}+b\overline{c}+\overline{a}+\overline{c}\\</p>\\<p>y=a\overline{c}+a\overline{b}+b\overline{c}+\overline{a}+\overline{c}+a\overline{a}\\</p>\\<p>y=a\left(\overline{c}+\overline{a}\right)+\left(\overline{c}+\overline{a}\right)+a\overline{b}+b\overline{c}\\</p>\\<p>y=(1+a)\left(\overline{c}+\overline{a}\right)+a\overline{b}+b\overline{c}\\</p>\\<p>y=\left(\overline{c}+\overline{a}\right)+a\overline{b}+b\overline{c}\\</p>\\<p>y=\overline{c}+\overline{a}+a\overline{b}+b\overline{c}\\</p>\\<p>y=\overline{c}\left(1+b\right)+\overline{a}+a\overline{b}\\</p>\\<p>y=\overline{c}+\overline{a}+a\overline{b}\\</p>\\<p>y=\overline{c}+\overline{a}\left(1+\overline{b}\right)+a\overline{b}\\</p>\\<p>y=\overline{c}+\overline{a}+\overline{a}\overline{b}+a\overline{b}\\</p>\\<p>y=\overline{c}+\overline{a}+\overline{b}\left(a+\overline{a}\right)\\</p>\\<p>y=\overline{c}+\overline{a}+\overline{b}\\<br>\\

 

Jeżeli nic nie zgubiłem podczas obliczeń to wynik powinien być dobry
Nawet jeśli pomyliłem się w obliczeniach to sposób jest dobry

 


  • 1


#130256 Całka z demotów

Napisane przez Mariusz M w 17.09.2018 - 11:39

Nie lepiej było zastosować pierwsze podstawienie Eulera
\sqrt{x^2-3x+2}=t-x

 

Po zastosowaniu liniowości mielibyśmy całkę z potęgi

Ale tak jest modnie po amerykańsku

 

 

\int{\frac{3x^3-x^2+2x-4}{\sqrt{x^2-3x+2}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\sqrt{x^2-3x+2}=t-x\\</p>\\<p>x^2-3x+2=t^2-2tx+x^2\\<br>\\-3x+2=t^2-2tx\\</p>\\<p>t^2-2=2tx-3x\\</p>\\<p>x\left(2t-3\right)=t^2-2\\</p>\\<p>x = \frac{t^2-2}{2t-3}\\</p>\\<p>t-x=\frac{t^2-3t+2}{2t-3}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2t\left(2t-3\right)-2(t^2-2)}{(2t-3)^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2t^2-6t+4}{(2t-3)^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>3x^3-x^2+2x-4=\frac{3\left(t^2-2\right)^3-(t^2-2)^2(2t-3)+2(t^2-2)(2t-3)^2-4(2t-3)^3}{\left(2t-3\right)^2}\\</p>\\<p>3t^6-18t^4+36t^2-24\\<br>\\-(2t^5-3t^4-8t^3+12t^2+8t-12)\\<br>\\8t^4-24t^3+2t^2+48t-36\\<br>\\-(32t^3-144t^2+216t-108)\\<br>\\3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60\\</p>\\<p>3x^3-x^2+2x-4=\frac{3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60}{(2t-3)^3}\\</p>\\<p>\int{\frac{3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60}{(2t-3)^3}\cdot\frac{2t-3}{t^2-3t+2}\cdot\frac{2\left(t^2-3t+2\right)}{\left(2t-3\right)^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>2\int{\frac{3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60}{\left(2t-3\right)^4}\mbox{d}t}<br>\\\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|}</p>\\<p>& 3&-2&-7&-48&170&-176&60\\ \hline</p>\\<p>\frac{3}{2}&3&\frac{5}{2}&-\frac{13}{4}&-\frac{423}{8}&\frac{1451}{16}&-\frac{1279}{32}&\frac{3}{64}\\ \hline</p>\\<p>\frac{3}{2}&3&7&\frac{29}{4}&-42&\frac{443}{16}&\frac{25}{16}& \\ \hline<br>\\\frac{3}{2}&3&\frac{23}{2}&\frac{49}{2}&-\frac{21}{4}&\frac{317}{16}&& \\ \hline</p>\\<p>\frac{3}{2}&3&16&\frac{97}{2}&\frac{135}{2}&&& \\ \hline<br>\\\frac{3}{2}&3&\frac{41}{2}&\frac{317}{4}&&&& \\ \hline</p>\\<p>\frac{3}{2}&3&25&&&&& \\ \hline<br>\\\frac{3}{2}&3&&&&&& \\ \hline</p>\\<p>\end{tabular}\\</p>\\<p>3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60=3\left(t-\frac{3}{2}\right)^6+25\left(t-\frac{3}{2}\right)^5+\frac{317}{4}\left(t-\frac{3}{2}\right)^4+\frac{135}{2}\left(t-\frac{3}{2}\right)^3+\frac{317}{16}\left(t-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{25}{16}\left(t-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{64}\\<br>\\3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60=\frac{3}{64}\left(2t-3\right)^6+\frac{25}{32}\left(2t-3\right)^5+\frac{317}{64}\left(2t-3\right)^4+\frac{135}{16}\left(2t-3\right)^3+\frac{317}{64}\left(2t-3\right)^2+\frac{25}{32}\left(2t-3\right)+\frac{3}{64}\\</p>\\<p>\frac{3}{32}\int{\left(2t-3\right)^2\mbox{d}t}+\frac{25}{16}\int{\left(2t-3\right)\mbox{d}t}+\frac{317}{32}\int{\mbox{d}t}+\frac{317}{32}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(2t-3\right)^2}}+\frac{25}{16}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(2t-3\right)^3}\mbox{d}t}+\frac{3}{32}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(2t-3\right)^4}}+\frac{135}{8}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(2t-3\right)}}</p>\\<p>

 

Po scałkowaniu dostaniemy liczbę

=-\frac{1}{8}\left(101\sqrt{2}+135\ln{\left(\sqrt{2}-1\right)}\right)


  • 1


#130210 Oblicz całkę

Napisane przez Mariusz M w 16.07.2018 - 09:10

Jakiś czas temu na innym forum widziałem całkę 

 

\int{\frac{x}{\sqrt{e^{x}+\left(x+2\right)^2}}\mbox{d}x}

 

 

Wiem jak ją obliczyć ale jestem ciekawy czy wam sprawi kłopot jej policzenie 

Dodatkowo dodam że Wolfram ma kłopoty z jej policzeniem a także pewni użytkownicy 

forum twierdzili że nie da się jej elementarnie policzyć 

 


  • 2


#129815 Całka 11

Napisane przez Mariusz M w 26.11.2017 - 10:01

\int{\frac{3x^2+2x+12}{x^3+4x}\mbox{d}x}=\int{\frac{3(x^2+4)+2x}{x^3+4x}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=\int{\frac{3(x^2+4)}{x(x^2+4)}\mbox{d}x}+\int{\frac{2x}{x(x^2+4)}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=3\int{\frac{1}{x}\mbox{d}x}+2\int{\frac{1}{x^2+4}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=3\int{\frac{1}{x}\mbox{d}x}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{1+\left(\frac{x}{2}\right)^2}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=3\ln{|x|}+\arctan{\left(\frac{x}{2}\right)}+C\\</p>\\<p>


  • 1


#129813 cAŁAK 7

Napisane przez Mariusz M w 26.11.2017 - 03:43

Metoda Ostrogradskiego też będzie wymagała ośmiu współczynników , (po zastosowaniu wystarczy pobawić się licznikiem aby uzyskać dalszy rozkład)

Tutaj można pobawić się częściami aby uprościć sobie całkę

 

8(4x^2-2x-3)=(8x-2)(4x-1)-26\\</p>\\<p>(8x-2)(4x-1)-8(4x^2-2x-3)=26\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\int{\frac{(8x-2)(4x-1)-8(4x^2-2x-3)}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(\int{\frac{(8x-2)(4x-1)}{(4x^2-2x-3)^4}}-8\int{\frac{(4x^2-2x-3)}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(\int{(4x-1)\frac{(8x-2)}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}-8\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(-\frac{1}{3}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^3}+\frac{4}{3}\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}-8\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p></p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(-\frac{1}{3}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^3}-\frac{20}{3}\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=-\frac{1}{78}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^3}-\frac{10}{39}\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\int{\frac{(8x-2)(4x-1)-8(4x^2-2x-3)}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}\\</p>\\<p></p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(\int{\frac{(8x-2)(4x-1)}{(4x^2-2x-3)^3}}-8\int{\frac{(4x^2-2x-3)}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(\int{(4x-1)\frac{(8x-2)}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}-8\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(-\frac{1}{2}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^2}+2\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}-8\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p></p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(-\frac{1}{2}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^2}-6\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}\right)\\<br>\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=-\frac{1}{52}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^2}-\frac{3}{13}\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\int{\frac{(8x-2)(4x-1)-8(4x^2-2x-3)}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(\int{\frac{(8x-2)(4x-1)}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}-8\int{\frac{(4x^2-2x-3)}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p></p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left((4x-1)\int{\frac{(8x-2)}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}-8\int{\frac{1}{4x^2-2x-3}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(-\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}+4\int{\frac{1}{4x^2-2x-3}\mbox{d}x}-8\int{\frac{1}{4x^2-2x-3}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(-\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}-4\int{\frac{1}{4x^2-2x-3}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}=-\frac{1}{26}\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}-\frac{\sqrt{13}}{169}\int{\frac{4(4x-1+\sqrt{13})-4(4x-1-\sqrt{13})}{16x^2-8x-12}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}=-\frac{1}{26}\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}-\frac{\sqrt{13}}{169}\left(\int{\frac{4}{(4x-1-\sqrt{13})}\mbox{d}x}-\int{\frac{4}{(4x-1+\sqrt{13})}}\right)\\<br>\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}=-\frac{1}{26}\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}-\frac{\sqrt{13}}{169}\ln{\left|\frac{4x-1-\sqrt{13}}{4x-1+\sqrt{13}}\right|}\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=-\frac{1}{52}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^2}-\frac{3}{13}\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=-\frac{1}{52}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^2}-\frac{3}{13}\left(-\frac{1}{26}\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}-\frac{\sqrt{13}}{169}\ln{\left|\frac{4x-1-\sqrt{13}}{4x-1+\sqrt{13}}\right|}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=-\frac{1}{52}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^2}+\frac{3}{338}\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}+\frac{3\sqrt{13}}{2197}\ln{\left|\frac{4x-1-\sqrt{13}}{4x-1+\sqrt{13}}\right|}\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=-\frac{1}{78}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^3}-\frac{10}{39}\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=-\frac{1}{78}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^3}-\frac{10}{39}\left(-\frac{1}{52}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^2}+\frac{3}{338}\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}+\frac{3\sqrt{13}}{2197}\ln{\left|\frac{4x-1-\sqrt{13}}{4x-1+\sqrt{13}}\right|}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=-\frac{1}{78}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^3}+\frac{5}{1014}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^2}-\frac{5}{2197}\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}-\frac{10\sqrt{13}}{28561}\ln{\left|\frac{4x-1-\sqrt{13}}{4x-1+\sqrt{13}}\right|}+C\\<br>\\


  • 2