Javascript Disabled Detected

You currently have javascript disabled. Several functions may not work. Please re-enable javascript to access full functionality.

Przegląd

Mariusz M

Rejestracja: 11 Sep 2010
Offline Ostatnio: Jun 10 2019 07:17

Moja zawartość

#130476 Oblicz całkę

Napisane przez Mariusz M w 21.12.2018 - 18:12

Po dodaniu minus powinien być tylko przed $x$

a nie przed całą kreską ułamkową

wtedy po skorzystaniu z jedynki trygonometrycznej cosinus z mianownika się skróci

Na samym początku liczenia przy dobieraniu części zapomniałeś usunąć znaku całki

#130470 Oblicz całkę

Napisane przez Mariusz M w 19.12.2018 - 06:32

$x\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{x^2+1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\sin{x}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\cos{x}\right)$

Teraz koleś w jednym z komentarzy chciał użyć wzoru

$\sin{\left(A+B\right)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}$

zatem musiał mieć

$\cos{\theta}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\\\\\sin{\theta}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\\$

$\tan{\theta}=\frac{1}{x}\\\\x\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{x^2+1}\sin{\left(x+\arctan{\left(\frac{1}{x}\right)}\right)}\\\\$

Zaproponował więc podstawienie $u=x+\arctan{\left(\frac{1}{x}\right)}$

Jeżeli chodzi o moje podejście to było to całkowanie przez części

Na początku policzyłem

$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(x\sin{x}+\cos{x}\right)=\\\\\sin{x}+x\cos{x}-\sin{x}=x\cos{x}\\$

zatem chcemy mieć w liczniku $x\cos{x}$

stąd pomysł na części

$\int{\frac{x}{\cos{x}}\cdot\frac{x\cos{x}}{\left(x\sin{x}+\cos{x}\right)^2}\mbox{d}x}$

i koleś co kręcił filmiki wybrał moją propozycję obliczenia tej całki

jednak ci co wymyślają dziwne podstawienia nie byli z tego zadowoleni

#130465 Oblicz całkę

Napisane przez Mariusz M w 17.12.2018 - 23:35

Pomysł na całkę pojawił się w komentarzu do filmiku pewnego Kitajca znajdującego się w USA
Moim pomysłem na policzenie tej całki było dobranie tak części aby w liczniku pojawiła się pochodna wnętrza mianownika

Gdy koleś wybrał moją propozycję policzenia tej całki pojawiły się w komentarzach kolejne propozycje fanów różnych dziwnych podstawień
np wiemy że

$sin{\left(A+B\right)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}$

i koleś próbował dopasować wnętrze mianownika pod ten wzór

#130280 Całka z demotów

Napisane przez Mariusz M w 27.09.2018 - 13:01

Ostrogradskim też można

$\gcd{Q\left(x\right),Q'\left(x\right)}$

możesz liczyć na dwa sposoby

1. Korzystając z rozkładu na czynniki

2. Korzystając z algorytmu kolejnych dzieleń
Bierzesz reszty z kolejnych dzieleń
Przypomina to algorytm Euklidesa dla liczb

$\frac{1}{32}\int{\frac{2160t^3-9086t^2+12728t-5937}{\left(2t-3\right)^4}\mbox{d}t}=\frac{a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}}{\left(2t-3\right)^3}+\int{\frac{b_{0}}{2t-3}\mbox{d}t}\\\\\frac{1}{32}\cdot\frac{2160t^3-9086t^2+12728t-5937}{\left(2t-3\right)^4}=\frac{\left(2a_{2}t+a_{1}\right)\left(2t-3\right)^3-6\left(2t-3\right)^2\left(a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)}{\left(2t-3\right)^6}+\frac{b_{0}}{2t-3}\\\\\frac{1}{32}\cdot\frac{2160t^3-9086t^2+12728t-5937}{\left(2t-3\right)^4}=\frac{\left(2a_{2}t+a_{1}\right)\left(2t-3\right)-6\left(a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)}{\left(2t-3\right)^4}+\frac{b_{0}\left(2t-3\right)^3}{\left(2t-3\right)^4}\\\\\frac{1}{32}\cdot\left(2160t^3-9086t^2+12728t-5937\right)=\left(2a_{2}t+a_{1}\right)\left(2t-3\right)-6\left(a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)+b_{0}\left(2t-3\right)^3\\\\\frac{1}{32}\cdot\left(2160t^3-9086t^2+12728t-5937\right)=\left(4a_{2}t^2-6a_{2}t+2a_{1}t-3a_{1}\right)-\left(6a_{2}t^2+6a_{1}t+6a_{0}\right)+b_{0}\left(8t^3-36t^2+54t-27\right)\\\\\frac{1}{32}\cdot\left(2160t^3-9086t^2+12728t-5937\right)=8b_{0}t^3+\left(-36b_{0}-2a_{2}\right)t^2+\left(54b_{0}-6a_{2}-4a_{1}\right)t+\left(-27b_{0}-3a_{1}-6a_{0}\right)\\\\$

#130257 UPROŚĆ 4 Algebra Boola

Napisane przez Mariusz M w 17.09.2018 - 19:49

$y=a\overline{c}+a\overline{b}+b\overline{c}+b\left(\overline{a}+\overline{c}\right)+\left(\overline{a}+\overline{c}\right)\\\\y=a\overline{c}+a\overline{b}+b\overline{c}+\left(b+1\right)\left(\overline{a}+\overline{c}\right)\\\\y=a\overline{c}+a\overline{b}+b\overline{c}+\overline{a}+\overline{c}\\\\y=a\overline{c}+a\overline{b}+b\overline{c}+\overline{a}+\overline{c}+a\overline{a}\\\\y=a\left(\overline{c}+\overline{a}\right)+\left(\overline{c}+\overline{a}\right)+a\overline{b}+b\overline{c}\\\\y=(1+a)\left(\overline{c}+\overline{a}\right)+a\overline{b}+b\overline{c}\\\\y=\left(\overline{c}+\overline{a}\right)+a\overline{b}+b\overline{c}\\\\y=\overline{c}+\overline{a}+a\overline{b}+b\overline{c}\\\\y=\overline{c}\left(1+b\right)+\overline{a}+a\overline{b}\\\\y=\overline{c}+\overline{a}+a\overline{b}\\\\y=\overline{c}+\overline{a}\left(1+\overline{b}\right)+a\overline{b}\\\\y=\overline{c}+\overline{a}+\overline{a}\overline{b}+a\overline{b}\\\\y=\overline{c}+\overline{a}+\overline{b}\left(a+\overline{a}\right)\\\\y=\overline{c}+\overline{a}+\overline{b}\\ \\$

Jeżeli nic nie zgubiłem podczas obliczeń to wynik powinien być dobry
Nawet jeśli pomyliłem się w obliczeniach to sposób jest dobry

#130256 Całka z demotów

Napisane przez Mariusz M w 17.09.2018 - 11:39

Nie lepiej było zastosować pierwsze podstawienie Eulera
$\sqrt{x^2-3x+2}=t-x$

Po zastosowaniu liniowości mielibyśmy całkę z potęgi

Ale tak jest modnie po amerykańsku

$\int{\frac{3x^3-x^2+2x-4}{\sqrt{x^2-3x+2}}\mbox{d}x}\\\\\sqrt{x^2-3x+2}=t-x\\\\x^2-3x+2=t^2-2tx+x^2\\ \\-3x+2=t^2-2tx\\\\t^2-2=2tx-3x\\\\x\left(2t-3\right)=t^2-2\\\\x = \frac{t^2-2}{2t-3}\\\\t-x=\frac{t^2-3t+2}{2t-3}\\\\\mbox{d}x=\frac{2t\left(2t-3\right)-2(t^2-2)}{(2t-3)^2}\mbox{d}t\\\\\mbox{d}x=\frac{2t^2-6t+4}{(2t-3)^2}\mbox{d}t\\\\3x^3-x^2+2x-4=\frac{3\left(t^2-2\right)^3-(t^2-2)^2(2t-3)+2(t^2-2)(2t-3)^2-4(2t-3)^3}{\left(2t-3\right)^2}\\\\3t^6-18t^4+36t^2-24\\ \\-(2t^5-3t^4-8t^3+12t^2+8t-12)\\ \\8t^4-24t^3+2t^2+48t-36\\ \\-(32t^3-144t^2+216t-108)\\ \\3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60\\\\3x^3-x^2+2x-4=\frac{3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60}{(2t-3)^3}\\\\\int{\frac{3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60}{(2t-3)^3}\cdot\frac{2t-3}{t^2-3t+2}\cdot\frac{2\left(t^2-3t+2\right)}{\left(2t-3\right)^2}\mbox{d}t}\\\\2\int{\frac{3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60}{\left(2t-3\right)^4}\mbox{d}t} \\\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|}\\& 3&-2&-7&-48&170&-176&60\\ \hline\\\frac{3}{2}&3&\frac{5}{2}&-\frac{13}{4}&-\frac{423}{8}&\frac{1451}{16}&-\frac{1279}{32}&\frac{3}{64}\\ \hline\\\frac{3}{2}&3&7&\frac{29}{4}&-42&\frac{443}{16}&\frac{25}{16}& \\ \hline \\\frac{3}{2}&3&\frac{23}{2}&\frac{49}{2}&-\frac{21}{4}&\frac{317}{16}&& \\ \hline\\\frac{3}{2}&3&16&\frac{97}{2}&\frac{135}{2}&&& \\ \hline \\\frac{3}{2}&3&\frac{41}{2}&\frac{317}{4}&&&& \\ \hline\\\frac{3}{2}&3&25&&&&& \\ \hline \\\frac{3}{2}&3&&&&&& \\ \hline\\\end{tabular}\\\\3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60=3\left(t-\frac{3}{2}\right)^6+25\left(t-\frac{3}{2}\right)^5+\frac{317}{4}\left(t-\frac{3}{2}\right)^4+\frac{135}{2}\left(t-\frac{3}{2}\right)^3+\frac{317}{16}\left(t-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{25}{16}\left(t-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{64}\\ \\3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60=\frac{3}{64}\left(2t-3\right)^6+\frac{25}{32}\left(2t-3\right)^5+\frac{317}{64}\left(2t-3\right)^4+\frac{135}{16}\left(2t-3\right)^3+\frac{317}{64}\left(2t-3\right)^2+\frac{25}{32}\left(2t-3\right)+\frac{3}{64}\\\\\frac{3}{32}\int{\left(2t-3\right)^2\mbox{d}t}+\frac{25}{16}\int{\left(2t-3\right)\mbox{d}t}+\frac{317}{32}\int{\mbox{d}t}+\frac{317}{32}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(2t-3\right)^2}}+\frac{25}{16}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(2t-3\right)^3}\mbox{d}t}+\frac{3}{32}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(2t-3\right)^4}}+\frac{135}{8}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(2t-3\right)}}\\$

Po scałkowaniu dostaniemy liczbę

$=-\frac{1}{8}\left(101\sqrt{2}+135\ln{\left(\sqrt{2}-1\right)}\right)$

#130210 Oblicz całkę

Napisane przez Mariusz M w 16.07.2018 - 09:10

Jakiś czas temu na innym forum widziałem całkę

$\int{\frac{x}{\sqrt{e^{x}+\left(x+2\right)^2}}\mbox{d}x}$

Wiem jak ją obliczyć ale jestem ciekawy czy wam sprawi kłopot jej policzenie

Dodatkowo dodam że Wolfram ma kłopoty z jej policzeniem a także pewni użytkownicy

forum twierdzili że nie da się jej elementarnie policzyć

#129815 Całka 11

Napisane przez Mariusz M w 26.11.2017 - 10:01

$\int{\frac{3x^2+2x+12}{x^3+4x}\mbox{d}x}=\int{\frac{3(x^2+4)+2x}{x^3+4x}\mbox{d}x}\\\\=\int{\frac{3(x^2+4)}{x(x^2+4)}\mbox{d}x}+\int{\frac{2x}{x(x^2+4)}\mbox{d}x}\\\\=3\int{\frac{1}{x}\mbox{d}x}+2\int{\frac{1}{x^2+4}\mbox{d}x}\\\\=3\int{\frac{1}{x}\mbox{d}x}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{1+\left(\frac{x}{2}\right)^2}\mbox{d}x}\\\\=3\ln{|x|}+\arctan{\left(\frac{x}{2}\right)}+C\\\\$

#129813 cAŁAK 7

Napisane przez Mariusz M w 26.11.2017 - 03:43

Metoda Ostrogradskiego też będzie wymagała ośmiu współczynników , (po zastosowaniu wystarczy pobawić się licznikiem aby uzyskać dalszy rozkład)

Tutaj można pobawić się częściami aby uprościć sobie całkę

$8(4x^2-2x-3)=(8x-2)(4x-1)-26\\\\(8x-2)(4x-1)-8(4x^2-2x-3)=26\\\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\int{\frac{(8x-2)(4x-1)-8(4x^2-2x-3)}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}\\\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(\int{\frac{(8x-2)(4x-1)}{(4x^2-2x-3)^4}}-8\int{\frac{(4x^2-2x-3)}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}\right)\\\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(\int{(4x-1)\frac{(8x-2)}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}-8\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}\right)\\\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(-\frac{1}{3}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^3}+\frac{4}{3}\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}-8\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}\right)\\\\\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(-\frac{1}{3}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^3}-\frac{20}{3}\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}\right)\\\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=-\frac{1}{78}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^3}-\frac{10}{39}\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}\\\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\int{\frac{(8x-2)(4x-1)-8(4x^2-2x-3)}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}\\\\\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(\int{\frac{(8x-2)(4x-1)}{(4x^2-2x-3)^3}}-8\int{\frac{(4x^2-2x-3)}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}\right)\\\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(\int{(4x-1)\frac{(8x-2)}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}-8\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}\right)\\\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(-\frac{1}{2}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^2}+2\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}-8\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}\right)\\\\\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(-\frac{1}{2}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^2}-6\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}\right)\\ \\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=-\frac{1}{52}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^2}-\frac{3}{13}\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}\\\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\int{\frac{(8x-2)(4x-1)-8(4x^2-2x-3)}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}\\\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(\int{\frac{(8x-2)(4x-1)}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}-8\int{\frac{(4x^2-2x-3)}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}\right)\\\\\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left((4x-1)\int{\frac{(8x-2)}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}-8\int{\frac{1}{4x^2-2x-3}\mbox{d}x}\right)\\\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(-\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}+4\int{\frac{1}{4x^2-2x-3}\mbox{d}x}-8\int{\frac{1}{4x^2-2x-3}\mbox{d}x}\right)\\\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(-\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}-4\int{\frac{1}{4x^2-2x-3}\mbox{d}x}\right)\\\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}=-\frac{1}{26}\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}-\frac{\sqrt{13}}{169}\int{\frac{4(4x-1+\sqrt{13})-4(4x-1-\sqrt{13})}{16x^2-8x-12}\mbox{d}x}\\ \\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}=-\frac{1}{26}\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}-\frac{\sqrt{13}}{169}\left(\int{\frac{4}{(4x-1-\sqrt{13})}\mbox{d}x}-\int{\frac{4}{(4x-1+\sqrt{13})}}\right)\\ \\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}=-\frac{1}{26}\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}-\frac{\sqrt{13}}{169}\ln{\left|\frac{4x-1-\sqrt{13}}{4x-1+\sqrt{13}}\right|}\\\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=-\frac{1}{52}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^2}-\frac{3}{13}\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}\\\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=-\frac{1}{52}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^2}-\frac{3}{13}\left(-\frac{1}{26}\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}-\frac{\sqrt{13}}{169}\ln{\left|\frac{4x-1-\sqrt{13}}{4x-1+\sqrt{13}}\right|}\right)\\\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=-\frac{1}{52}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^2}+\frac{3}{338}\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}+\frac{3\sqrt{13}}{2197}\ln{\left|\frac{4x-1-\sqrt{13}}{4x-1+\sqrt{13}}\right|}\\\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=-\frac{1}{78}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^3}-\frac{10}{39}\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}\\\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=-\frac{1}{78}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^3}-\frac{10}{39}\left(-\frac{1}{52}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^2}+\frac{3}{338}\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}+\frac{3\sqrt{13}}{2197}\ln{\left|\frac{4x-1-\sqrt{13}}{4x-1+\sqrt{13}}\right|}\right)\\\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=-\frac{1}{78}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^3}+\frac{5}{1014}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^2}-\frac{5}{2197}\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}-\frac{10\sqrt{13}}{28561}\ln{\left|\frac{4x-1-\sqrt{13}}{4x-1+\sqrt{13}}\right|}+C\\ \\$

#129812 Całka 30

Napisane przez Mariusz M w 26.11.2017 - 01:15

$\int{\frac{x}{\left(x^2+2x+2\right)^2}\mbox{d}x}=\frac{a_{1}x+a_{0}}{x^2+2x+2}+\int{\frac{b_{1}x+b_{0}}{x^2+2x+2}\mbox{d}x}\\\\\frac{x}{\left(x^2+2x+2\right)^2}=\frac{a_{1}(x^2+2x+2)-(a_{1}x+a_{0})(2x+2)}{(x^2+2x+2)^2}+\frac{b_{1}x+b_{0}}{x^2+2x+2}\\\\\frac{x}{\left(x^2+2x+2\right)^2}=\frac{a_{1}x^2+2a_{1}x+2a_{1}-(2a_{1}x^2+2a_{1}x+2a_{0}x+2a_{0})}{(x^2+2x+2)^2}+\frac{b_{1}x+b_{0}}{x^2+2x+2}\\\\\\\frac{x}{\left(x^2+2x+2\right)^2}=\frac{a_{1}x^2+2a_{1}x+2a_{1}-(2a_{1}x^2+2a_{1}x+2a_{0}x+2a_{0})+(b_{1}x+b_{0})(x^2+2x+2)}{(x^2+2x+2)^2}\\\\x=a_{1}x^2+2a_{1}x+2a_{1}-(2a_{1}x^2+2a_{1}x+2a_{0}x+2a_{0})+(b_{1}x+b_{0})(x^2+2x+2)\\\\x=a_{1}x^2+2a_{1}x+2a_{1}-2a_{1}x^2-2a_{1}x-2a_{0}x-2a_{0}+b_{1}x^3+2b_{1}x^2+2b_{1}x+b_{0}x^2+2b_{0}x+2b_{0}\\\\x=b_{1}x^3+(2b_{1}+b_{0}-a_{1})x^2+(2b_{1}+2b_{0}-2a_{0})x+2b_{0}+2a_{1}-2a_{0}\\\\\begin{cases}b_{1}=0\\2b_{1}+b_{0}-a_{1}=0\\2b_{1}+2b_{0}-2a_{0}=1\\2b_{0}+2a_{1}-2a_{0}=0 \end{cases}\\ \\\begin{cases}b_{1}=0\\b_{0}=a_{1}\\2a_{1}-2a_{0}=1\\4a_{1}-2a_{0}=0 \end{cases}\\ \\\begin{cases}b_{1}=0\\b_{0}=a_{1}\\2a_{1}=-1\\a_{0}=2a_{1} \end{cases}\\ \\\begin{cases}b_{1}=0\\2b_{0}=-1\\2a_{1}=-1\\a_{0}=-1 \end{cases}\\ \\\int{\frac{x}{\left(x^2+2x+2\right)^2}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\frac{x+2}{x^2+2x+2}-\frac{1}{2}\int{\frac{\mbox{d}x}{(x+1)^2+1}}\\\\\int{\frac{x}{\left(x^2+2x+2\right)^2}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\frac{x+2}{x^2+2x+2}-\frac{1}{2}\arctan{(x+1)}+C\\ \\$

Można jeszcze bawić się całkowaniem przez części

#129608 Całka funkcji trygonometrycznej

Napisane przez Mariusz M w 18.09.2017 - 23:26

$\int{\sqrt{\tan^{2}{\left(x\right)}+4}\mbox{d}x}\\\\\sqrt{\tan^{2}{\left(x\right)}+4}=t-\tan{\left(x\right)}\\\\\tan^{2}{\left(x\right)}+4=t^2-2t\tan{\left(x\right)}+\tan^{2}{\left(x\right)}\\\\4=t^2-2t\tan{\left(x\right)}\\\\2t\tan{\left(x\right)}=t^2-4\\\\\tan{\left(x\right)}=\frac{t^2-4}{2t}\\\\\left(1+\tan^2{\left(x\right)}\right)\mbox{d}x=\frac{2t\cdot 2t-2\left(t^2-4\right)}{4t^2}\mbox{d}t\\\\\left(1+\frac{t^4-8t^2+16}{4t^2}\right)\mbox{d}x=\frac{t^2+4}{2t^2}\mbox{d}t\\\\\frac{t^4-4t^2+16}{4t^2}\mbox{d}x=\frac{t^2+4}{2t^2}\mbox{d}t\\\\\mbox{d}x=\frac{t^2+4}{2t^2}\cdot\frac{4t^2}{t^4-4t^2+16}\mbox{d}t\\\\\mbox{d}x=2\frac{t^2+4}{t^4-4t^2+16}\mbox{d}t\\\\\sqrt{\tan^{2}{\left(x\right)}+4}=t-\frac{t^2-4}{2t}\\\\\sqrt{\tan^{2}{\left(x\right)}+4}=\frac{t^2+4}{2t}\\\\\int{\frac{\left(t^2+4\right)^2}{t\left(t^4-4t^2+16\right)}\mbox{d}t}\\\\\frac{1}{2}\int{\frac{2t\left(t^2+4\right)^2}{t^2\left(t^4-4t^2+16\right)}\mbox{d}t}\\\\u=t^2\\\\\mbox{d}u=2t\mbox{d}t\\\\\frac{1}{2}\int{\frac{\left(u+4\right)^2}{u\left(u^2-4u+16\right)}\mbox{d}u}\\\\\frac{1}{2}\int{\frac{u^2+8u+16}{u\left(u^2-4u+16\right)}\mbox{d}u}\\\\\frac{1}{2}\int{\frac{u^2-4u+16+12u}{u\left(u^2-4u+16\right)}\mbox{d}u}\\\\\frac{1}{2}\left(\int{\frac{\mbox{d}u}{u}}+\int{\frac{12}{u^2-4u+16}\mbox{d}u}\right)\\\\\frac{1}{2}\left(\int{\frac{\mbox{d}u}{u}}+\int{\frac{12}{\left(u-2\right)^2+12}\mbox{d}u}\right)\\\\\int{\frac{12}{\left(u-2\right)^2+12}\mbox{d}u}\\\\u-2=2\sqrt{3}v\\\\\mbox{d}u=2\sqrt{3}\mbox{d}v\\\\24\sqrt{3}\int{\frac{\mbox{d}v}{12v^2+12}}\\\\2\sqrt{3}\int{\frac{\mbox{d}v}{v^2+1}}\\\\\frac{1}{2}\left(\ln{\left|u\right|}+2\sqrt{3}\arctan{\left(\frac{u-2}{2\sqrt{3}}\right)}\right)\\\\\ln{\left|t\right|}+\sqrt{3}\arctan{\left(\frac{t^2-2}{2\sqrt{3}}\right)}\\\\\ln{\left|\tan{\left(x\right)}+\sqrt{\tan^{2}{\left(x\right)}+4}\right|}+\sqrt{3}\arctan{\left(\frac{1+\tan^{2}{\left(x\right)}+\tan{\left(x\right)}\sqrt{\tan^{2}{\left(x\right)}+4}}{\sqrt{3}}\right)}+C\\\\$

Można było jednym podstawieniem, te pozostałe podstawienia są tylko dla wygody

#129232 Równanie różniczkowe

Napisane przez Mariusz M w 21.04.2017 - 12:16

Można też skorzystać z podanej postaci czynnika całkującego

$\mu=\mu\left[\omega\left(x,y\right)\right]\\ \\P=P\left(x,y\right)\\ \\Q=Q\left(x,y\right)\\ \\\frac{\partial \mu P}{\partial y}=\frac{\partial \mu Q}{\partial x}\\ \\\frac{\partial \mu}{\partial y}P+\mu\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial \mu}{\partial x}Q+\mu\frac{\partial Q}{\partial x}\\ \\\frac{\partial \mu}{\partial y}P-\frac{\partial \mu}{\partial x}Q=\mu\frac{\partial Q}{\partial x}-\mu\frac{\partial P}{\partial y}\\ \\\frac{\partial \mu}{\partial y}P-\frac{\partial \mu}{\partial x}Q=\mu\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\\ \\\frac{\mbox{d}\mu}{\mbox{d}\omega}\cdot\frac{\partial \omega}{\partial y}P-\frac{\mbox{d}\mu}{\mbox{d}\omega}\cdot\frac{\partial \omega}{\partial x}Q=\mu\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\\ \\\frac{\mbox{d}\mu}{\mbox{d}\omega}\left(\frac{\partial \omega}{\partial y}P-\frac{\partial \omega}{\partial x}Q\right)=\mu\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\\ \\\frac{\mbox{d}\mu}{\mu}=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}{\frac{\partial \omega}{\partial y}P-\frac{\partial \omega}{\partial x}Q}\mbox{d}\omega\\ \\\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}{\frac{\partial \omega}{\partial y}P-\frac{\partial \omega}{\partial x}Q}=\varphi\left(\omega\right)\\ \\\frac{\mbox{d}\mu}{\mu}=\varphi\left(\omega\right)\mbox{d}\omega \\$

#129199 Całaka 14

Napisane przez Mariusz M w 04.04.2017 - 22:53

$\int{\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}\mbox{d}x}=\int{\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}\arcsin{x}\mbox{d}x}\\\\=\int{\frac{\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}+\int{\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\left(x\arcsin{x}\right)\mbox{d}x}\\\\=\int{\frac{\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}+x\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}-\int{\sqrt{1-x^2}\left(\arcsin{x}+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)\mbox{d}x}\\\\\int{\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}\mbox{d}x}=\int{\frac{\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}+x\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}-\int{\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}\mbox{d}x}-\int{x\mbox{d}x}\\\\2\int{\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}\mbox{d}x}=\frac{1}{2}\arcsin^2{x}+x\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}-\frac{1}{2}x^2+C\\\\\int{\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}\mbox{d}x}=\frac{1}{4}\arcsin^2{x}+\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}-\frac{1}{4}x^2+C\\\\$

#129198 Całka 18

Napisane przez Mariusz M w 04.04.2017 - 20:03

Dosyć dobry efekt daje pierwsze podstawienie Eulera ale jak to modnie jest unikać tych podstawień

$\int{\frac{5x^2-2x+10}{\sqrt{3x^2-5x+8}}\mbox{d}x}\\\\\sqrt{3}\int{\frac{5x^2-2x+10}{\sqrt{9x^2-15x+24}}\mbox{d}x}\\\\\sqrt{9x^2-15x+24}=t-3x\\\\9x^2-15x+24=t^2-6tx+9x^2\\-15x+24=t^2-6tx\\\\6tx-15x=t^2-24\\\\x\left(6t-15\right)=t^2-24\\\\x=\frac{t^2-24}{6t-15}\\\\t-3x=\frac{6t^2-15t-3t^2+72}{6t-15}=\frac{3t^2-15t+72}{6t-15}\\\\\mbox{d}x=\frac{2t\left(6t-15\right)-6\left(t^2-24\right)}{\left(6t-15\right)^2}\mbox{d}t\\\\\mbox{d}x=\frac{6t^2-30t+144}{\left(6t-15\right)^2}\mbox{d}t\\\\\sqrt{3}\int{\left(5\frac{\left(t^2-24\right)^2}{\left(6t-15\right)^2}-2\frac{t^2-24}{6t-15}+10\right)\frac{6t-15}{3t^2-15t+72}\cdot\frac{2\left(3t^2-15t+72\right)}{\left(6t-15\right)^2}\mbox{d}t}\\\\\sqrt{3}\int{\left(\frac{5\left(t^4-48t^2+576\right)-2\left(t^2-24\right)\left(6t-15\right)+10\left(36t^2-180t+225\right)}{\left(6t-15\right)^2}\right)\cdot\frac{2}{6t-15}\mbox{d}t}\\\\2\sqrt{3}\int{\frac{5t^4-240t^2+2880-2\left(6t^3-15t^2-144t+360\right)+360t^2-1800t+2250}{\left(6t-15\right)^3}\mbox{d}t}\\\\2\sqrt{3}\int{\frac{5t^4-240t^2+2880-12t^3+30t^2+288t-720+360t^2-1800t+2250}{\left(6t-15\right)^3}\mbox{d}t}\\\\2\sqrt{3}\int{\frac{5t^4-12t^3+150t^2-1512t+4410}{\left(6t-15\right)^3}\mbox{d}t}\\\\\frac{2\sqrt{3}}{27}\int{\frac{5t^4-12t^3+150t^2-1512t+4410}{\left(2t-5\right)^3}\mbox{d}t}\\\\-\frac{\sqrt{3}}{54}\int{\left(5t^4-12t^3+150t^2-1512t+4410\right)\frac{\left(-4\right)}{\left(2t-5\right)^3}\mbox{d}t}\\\\-\frac{\sqrt{3}}{54}\left(\frac{5t^4-12t^3+150t^2-1512t+4410}{\left(2t-5\right)^2}-\int{\frac{20t^3-36t^2+300t-1512}{\left(2t-5\right)^2}\mbox{d}t}\right)\\\\-\frac{\sqrt{3}}{54}\left(\frac{5t^4-12t^3+150t^2-1512t+4410}{\left(2t-5\right)^2}+\int{\left(10t^3-18t^2+150t-756\right)\frac{\left(-2\right)}{\left(2t-5\right)^2}\mbox{d}t}\right)\\\\-\frac{\sqrt{3}}{108}\left(\frac{10t^4-24t^3+300t^2-3024t+8820}{\left(2t-5\right)^2}+\frac{20t^3-36t^2+300t-1512}{2t-5}-\int{\frac{60t^2-72t+300}{2t-5}\mbox{d}t}\right)\\\\-\frac{\sqrt{3}}{108}\left(\frac{10t^4-24t^3+300t^2-3024t+8820}{\left(2t-5\right)^2}+\frac{20t^3-36t^2+300t-1512}{2t-5}-\int{\left(30t+39\right)\mbox{d}t}-\int{\frac{495}{2t-5}\mbox{d}t}\right)\\\\-\frac{\sqrt{3}}{108}\left(\frac{10t^4-24t^3+300t^2-3024t+8820}{\left(2t-5\right)^2}+\frac{20t^3-36t^2+300t-1512}{2t-5}-15t^2-39t-\frac{495}{2}\ln{\left|2t-5\right|}\right)+C\\\\$

#129197 Całka 23, Ostrogradskiego można

Napisane przez Mariusz M w 04.04.2017 - 19:22

Jeśli chodzi o zalety metody Ostrogradskiego to nie wymaga ona rozkładu mianownika na czynniki

co pozwoli zredukować jego stopień

Aby uzyskać mianowniki wystarczy policzyć $NWD\left(M(x),M'(x)\right)$

algorytmem kolejnych dzieleń

Jeżeli mamy podany rozkład mianownika na czynniki to zalety stosowania metody Ostrogradskiego ujawniają się gdy

mianownik ma wielokrotne pierwiastki zespolone

Następna
»

Mariusz M

Statystyki

Narzędzia użytkownika

Znajomi

#130476 Oblicz całkę

#130470 Oblicz całkę

#130465 Oblicz całkę

#130280 Całka z demotów

#130257 UPROŚĆ 4 Algebra Boola

#130256 Całka z demotów

#130210 Oblicz całkę

#129815 Całka 11

#129813 cAŁAK 7

#129812 Całka 30

#129608 Całka funkcji trygonometrycznej

#129232 Równanie różniczkowe

#129199 Całaka 14

#129198 Całka 18

#129197 Całka 23, Ostrogradskiego można

Mariusz M

Statystyki

Narzędzia użytkownika

Znajomi

Zaloguj się