Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

Mariusz M

Rejestracja: 11 Sep 2010
Offline Ostatnio: Jun 10 2019 07:17
*****

#130476 Oblicz całkę

Napisane przez Mariusz M w 21.12.2018 - 18:12

Po dodaniu minus powinien być tylko przed x

a nie przed całą kreską ułamkową

wtedy po skorzystaniu z jedynki trygonometrycznej cosinus z mianownika się skróci

Na samym początku liczenia przy dobieraniu części zapomniałeś usunąć znaku całki


  • 1


#130470 Oblicz całkę

Napisane przez Mariusz M w 19.12.2018 - 06:32

x\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{x^2+1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\sin{x}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\cos{x}\right)

 

Teraz koleś w jednym z komentarzy chciał użyć wzoru

 

\sin{\left(A+B\right)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}

 

zatem musiał mieć

 

\cos{\theta}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\\</p>\\<p>\sin{\theta}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}</p>\\<p>

 

\tan{\theta}=\frac{1}{x}\\</p>\\<p>x\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{x^2+1}\sin{\left(x+\arctan{\left(\frac{1}{x}\right)}\right)}\\</p>\\<p>

 

Zaproponował więc podstawienie u=x+\arctan{\left(\frac{1}{x}\right)}

 

 

Jeżeli chodzi o moje podejście to było to całkowanie przez części

 

Na początku policzyłem

 

\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(x\sin{x}+\cos{x}\right)=\\</p>\\<p>\sin{x}+x\cos{x}-\sin{x}=x\cos{x}</p>\\<p>

 

zatem chcemy mieć w liczniku x\cos{x}

 

stąd pomysł na części

 

\int{\frac{x}{\cos{x}}\cdot\frac{x\cos{x}}{\left(x\sin{x}+\cos{x}\right)^2}\mbox{d}x}

 

i koleś co kręcił filmiki wybrał moją propozycję obliczenia tej całki

jednak ci co wymyślają dziwne podstawienia nie byli z tego zadowoleni


  • 2


#130465 Oblicz całkę

Napisane przez Mariusz M w 17.12.2018 - 23:35

Pomysł na całkę pojawił się w komentarzu do filmiku pewnego Kitajca znajdującego się w USA
Moim pomysłem na policzenie tej całki było dobranie tak części aby w liczniku pojawiła się pochodna wnętrza mianownika

Gdy koleś wybrał moją propozycję policzenia tej całki pojawiły się w komentarzach kolejne propozycje fanów różnych dziwnych podstawień
np wiemy że

sin{\left(A+B\right)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}

i koleś próbował dopasować wnętrze mianownika pod ten wzór


  • 1


#130280 Całka z demotów

Napisane przez Mariusz M w 27.09.2018 - 13:01

Ostrogradskim też można

 

\gcd{Q\left(x\right),Q'\left(x\right)}

 

możesz liczyć na dwa sposoby

 

1. Korzystając z rozkładu na czynniki

2. Korzystając z algorytmu kolejnych dzieleń
Bierzesz reszty z kolejnych dzieleń
Przypomina to algorytm Euklidesa dla liczb

 

\frac{1}{32}\int{\frac{2160t^3-9086t^2+12728t-5937}{\left(2t-3\right)^4}\mbox{d}t}=\frac{a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}}{\left(2t-3\right)^3}+\int{\frac{b_{0}}{2t-3}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{1}{32}\cdot\frac{2160t^3-9086t^2+12728t-5937}{\left(2t-3\right)^4}=\frac{\left(2a_{2}t+a_{1}\right)\left(2t-3\right)^3-6\left(2t-3\right)^2\left(a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)}{\left(2t-3\right)^6}+\frac{b_{0}}{2t-3}\\</p>\\<p>\frac{1}{32}\cdot\frac{2160t^3-9086t^2+12728t-5937}{\left(2t-3\right)^4}=\frac{\left(2a_{2}t+a_{1}\right)\left(2t-3\right)-6\left(a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)}{\left(2t-3\right)^4}+\frac{b_{0}\left(2t-3\right)^3}{\left(2t-3\right)^4}\\</p>\\<p>\frac{1}{32}\cdot\left(2160t^3-9086t^2+12728t-5937\right)=\left(2a_{2}t+a_{1}\right)\left(2t-3\right)-6\left(a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)+b_{0}\left(2t-3\right)^3\\</p>\\<p>\frac{1}{32}\cdot\left(2160t^3-9086t^2+12728t-5937\right)=\left(4a_{2}t^2-6a_{2}t+2a_{1}t-3a_{1}\right)-\left(6a_{2}t^2+6a_{1}t+6a_{0}\right)+b_{0}\left(8t^3-36t^2+54t-27\right)\\</p>\\<p>\frac{1}{32}\cdot\left(2160t^3-9086t^2+12728t-5937\right)=8b_{0}t^3+\left(-36b_{0}-2a_{2}\right)t^2+\left(54b_{0}-6a_{2}-4a_{1}\right)t+\left(-27b_{0}-3a_{1}-6a_{0}\right)\\</p>\\<p>


  • 1


#130257 UPROŚĆ 4 Algebra Boola

Napisane przez Mariusz M w 17.09.2018 - 19:49

y=a\overline{c}+a\overline{b}+b\overline{c}+b\left(\overline{a}+\overline{c}\right)+\left(\overline{a}+\overline{c}\right)\\</p>\\<p>y=a\overline{c}+a\overline{b}+b\overline{c}+\left(b+1\right)\left(\overline{a}+\overline{c}\right)\\</p>\\<p>y=a\overline{c}+a\overline{b}+b\overline{c}+\overline{a}+\overline{c}\\</p>\\<p>y=a\overline{c}+a\overline{b}+b\overline{c}+\overline{a}+\overline{c}+a\overline{a}\\</p>\\<p>y=a\left(\overline{c}+\overline{a}\right)+\left(\overline{c}+\overline{a}\right)+a\overline{b}+b\overline{c}\\</p>\\<p>y=(1+a)\left(\overline{c}+\overline{a}\right)+a\overline{b}+b\overline{c}\\</p>\\<p>y=\left(\overline{c}+\overline{a}\right)+a\overline{b}+b\overline{c}\\</p>\\<p>y=\overline{c}+\overline{a}+a\overline{b}+b\overline{c}\\</p>\\<p>y=\overline{c}\left(1+b\right)+\overline{a}+a\overline{b}\\</p>\\<p>y=\overline{c}+\overline{a}+a\overline{b}\\</p>\\<p>y=\overline{c}+\overline{a}\left(1+\overline{b}\right)+a\overline{b}\\</p>\\<p>y=\overline{c}+\overline{a}+\overline{a}\overline{b}+a\overline{b}\\</p>\\<p>y=\overline{c}+\overline{a}+\overline{b}\left(a+\overline{a}\right)\\</p>\\<p>y=\overline{c}+\overline{a}+\overline{b}\\<br>\\

 

Jeżeli nic nie zgubiłem podczas obliczeń to wynik powinien być dobry
Nawet jeśli pomyliłem się w obliczeniach to sposób jest dobry

 


  • 1


#130256 Całka z demotów

Napisane przez Mariusz M w 17.09.2018 - 11:39

Nie lepiej było zastosować pierwsze podstawienie Eulera
\sqrt{x^2-3x+2}=t-x

 

Po zastosowaniu liniowości mielibyśmy całkę z potęgi

Ale tak jest modnie po amerykańsku

 

 

\int{\frac{3x^3-x^2+2x-4}{\sqrt{x^2-3x+2}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\sqrt{x^2-3x+2}=t-x\\</p>\\<p>x^2-3x+2=t^2-2tx+x^2\\<br>\\-3x+2=t^2-2tx\\</p>\\<p>t^2-2=2tx-3x\\</p>\\<p>x\left(2t-3\right)=t^2-2\\</p>\\<p>x = \frac{t^2-2}{2t-3}\\</p>\\<p>t-x=\frac{t^2-3t+2}{2t-3}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2t\left(2t-3\right)-2(t^2-2)}{(2t-3)^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2t^2-6t+4}{(2t-3)^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>3x^3-x^2+2x-4=\frac{3\left(t^2-2\right)^3-(t^2-2)^2(2t-3)+2(t^2-2)(2t-3)^2-4(2t-3)^3}{\left(2t-3\right)^2}\\</p>\\<p>3t^6-18t^4+36t^2-24\\<br>\\-(2t^5-3t^4-8t^3+12t^2+8t-12)\\<br>\\8t^4-24t^3+2t^2+48t-36\\<br>\\-(32t^3-144t^2+216t-108)\\<br>\\3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60\\</p>\\<p>3x^3-x^2+2x-4=\frac{3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60}{(2t-3)^3}\\</p>\\<p>\int{\frac{3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60}{(2t-3)^3}\cdot\frac{2t-3}{t^2-3t+2}\cdot\frac{2\left(t^2-3t+2\right)}{\left(2t-3\right)^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>2\int{\frac{3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60}{\left(2t-3\right)^4}\mbox{d}t}<br>\\\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|}</p>\\<p>& 3&-2&-7&-48&170&-176&60\\ \hline</p>\\<p>\frac{3}{2}&3&\frac{5}{2}&-\frac{13}{4}&-\frac{423}{8}&\frac{1451}{16}&-\frac{1279}{32}&\frac{3}{64}\\ \hline</p>\\<p>\frac{3}{2}&3&7&\frac{29}{4}&-42&\frac{443}{16}&\frac{25}{16}& \\ \hline<br>\\\frac{3}{2}&3&\frac{23}{2}&\frac{49}{2}&-\frac{21}{4}&\frac{317}{16}&& \\ \hline</p>\\<p>\frac{3}{2}&3&16&\frac{97}{2}&\frac{135}{2}&&& \\ \hline<br>\\\frac{3}{2}&3&\frac{41}{2}&\frac{317}{4}&&&& \\ \hline</p>\\<p>\frac{3}{2}&3&25&&&&& \\ \hline<br>\\\frac{3}{2}&3&&&&&& \\ \hline</p>\\<p>\end{tabular}\\</p>\\<p>3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60=3\left(t-\frac{3}{2}\right)^6+25\left(t-\frac{3}{2}\right)^5+\frac{317}{4}\left(t-\frac{3}{2}\right)^4+\frac{135}{2}\left(t-\frac{3}{2}\right)^3+\frac{317}{16}\left(t-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{25}{16}\left(t-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{64}\\<br>\\3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60=\frac{3}{64}\left(2t-3\right)^6+\frac{25}{32}\left(2t-3\right)^5+\frac{317}{64}\left(2t-3\right)^4+\frac{135}{16}\left(2t-3\right)^3+\frac{317}{64}\left(2t-3\right)^2+\frac{25}{32}\left(2t-3\right)+\frac{3}{64}\\</p>\\<p>\frac{3}{32}\int{\left(2t-3\right)^2\mbox{d}t}+\frac{25}{16}\int{\left(2t-3\right)\mbox{d}t}+\frac{317}{32}\int{\mbox{d}t}+\frac{317}{32}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(2t-3\right)^2}}+\frac{25}{16}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(2t-3\right)^3}\mbox{d}t}+\frac{3}{32}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(2t-3\right)^4}}+\frac{135}{8}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(2t-3\right)}}</p>\\<p>

 

Po scałkowaniu dostaniemy liczbę

=-\frac{1}{8}\left(101\sqrt{2}+135\ln{\left(\sqrt{2}-1\right)}\right)


  • 1


#130210 Oblicz całkę

Napisane przez Mariusz M w 16.07.2018 - 09:10

Jakiś czas temu na innym forum widziałem całkę 

 

\int{\frac{x}{\sqrt{e^{x}+\left(x+2\right)^2}}\mbox{d}x}

 

 

Wiem jak ją obliczyć ale jestem ciekawy czy wam sprawi kłopot jej policzenie 

Dodatkowo dodam że Wolfram ma kłopoty z jej policzeniem a także pewni użytkownicy 

forum twierdzili że nie da się jej elementarnie policzyć 

 


  • 2


#129815 Całka 11

Napisane przez Mariusz M w 26.11.2017 - 10:01

\int{\frac{3x^2+2x+12}{x^3+4x}\mbox{d}x}=\int{\frac{3(x^2+4)+2x}{x^3+4x}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=\int{\frac{3(x^2+4)}{x(x^2+4)}\mbox{d}x}+\int{\frac{2x}{x(x^2+4)}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=3\int{\frac{1}{x}\mbox{d}x}+2\int{\frac{1}{x^2+4}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=3\int{\frac{1}{x}\mbox{d}x}+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{1+\left(\frac{x}{2}\right)^2}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=3\ln{|x|}+\arctan{\left(\frac{x}{2}\right)}+C\\</p>\\<p>


  • 1


#129813 cAŁAK 7

Napisane przez Mariusz M w 26.11.2017 - 03:43

Metoda Ostrogradskiego też będzie wymagała ośmiu współczynników , (po zastosowaniu wystarczy pobawić się licznikiem aby uzyskać dalszy rozkład)

Tutaj można pobawić się częściami aby uprościć sobie całkę

 

8(4x^2-2x-3)=(8x-2)(4x-1)-26\\</p>\\<p>(8x-2)(4x-1)-8(4x^2-2x-3)=26\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\int{\frac{(8x-2)(4x-1)-8(4x^2-2x-3)}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(\int{\frac{(8x-2)(4x-1)}{(4x^2-2x-3)^4}}-8\int{\frac{(4x^2-2x-3)}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(\int{(4x-1)\frac{(8x-2)}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}-8\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(-\frac{1}{3}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^3}+\frac{4}{3}\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}-8\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p></p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(-\frac{1}{3}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^3}-\frac{20}{3}\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=-\frac{1}{78}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^3}-\frac{10}{39}\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\int{\frac{(8x-2)(4x-1)-8(4x^2-2x-3)}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}\\</p>\\<p></p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(\int{\frac{(8x-2)(4x-1)}{(4x^2-2x-3)^3}}-8\int{\frac{(4x^2-2x-3)}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(\int{(4x-1)\frac{(8x-2)}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}-8\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(-\frac{1}{2}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^2}+2\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}-8\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p></p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(-\frac{1}{2}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^2}-6\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}\right)\\<br>\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=-\frac{1}{52}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^2}-\frac{3}{13}\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\int{\frac{(8x-2)(4x-1)-8(4x^2-2x-3)}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(\int{\frac{(8x-2)(4x-1)}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}-8\int{\frac{(4x^2-2x-3)}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p></p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left((4x-1)\int{\frac{(8x-2)}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}-8\int{\frac{1}{4x^2-2x-3}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(-\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}+4\int{\frac{1}{4x^2-2x-3}\mbox{d}x}-8\int{\frac{1}{4x^2-2x-3}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{26}\left(-\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}-4\int{\frac{1}{4x^2-2x-3}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}=-\frac{1}{26}\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}-\frac{\sqrt{13}}{169}\int{\frac{4(4x-1+\sqrt{13})-4(4x-1-\sqrt{13})}{16x^2-8x-12}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}=-\frac{1}{26}\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}-\frac{\sqrt{13}}{169}\left(\int{\frac{4}{(4x-1-\sqrt{13})}\mbox{d}x}-\int{\frac{4}{(4x-1+\sqrt{13})}}\right)\\<br>\\\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}=-\frac{1}{26}\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}-\frac{\sqrt{13}}{169}\ln{\left|\frac{4x-1-\sqrt{13}}{4x-1+\sqrt{13}}\right|}\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=-\frac{1}{52}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^2}-\frac{3}{13}\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^2}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=-\frac{1}{52}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^2}-\frac{3}{13}\left(-\frac{1}{26}\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}-\frac{\sqrt{13}}{169}\ln{\left|\frac{4x-1-\sqrt{13}}{4x-1+\sqrt{13}}\right|}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}=-\frac{1}{52}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^2}+\frac{3}{338}\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}+\frac{3\sqrt{13}}{2197}\ln{\left|\frac{4x-1-\sqrt{13}}{4x-1+\sqrt{13}}\right|}\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=-\frac{1}{78}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^3}-\frac{10}{39}\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^3}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=-\frac{1}{78}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^3}-\frac{10}{39}\left(-\frac{1}{52}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^2}+\frac{3}{338}\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}+\frac{3\sqrt{13}}{2197}\ln{\left|\frac{4x-1-\sqrt{13}}{4x-1+\sqrt{13}}\right|}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{(4x^2-2x-3)^4}\mbox{d}x}=-\frac{1}{78}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^3}+\frac{5}{1014}\frac{4x-1}{(4x^2-2x-3)^2}-\frac{5}{2197}\frac{4x-1}{4x^2-2x-3}-\frac{10\sqrt{13}}{28561}\ln{\left|\frac{4x-1-\sqrt{13}}{4x-1+\sqrt{13}}\right|}+C\\<br>\\


  • 2


#129812 Całka 30

Napisane przez Mariusz M w 26.11.2017 - 01:15

\int{\frac{x}{\left(x^2+2x+2\right)^2}\mbox{d}x}=\frac{a_{1}x+a_{0}}{x^2+2x+2}+\int{\frac{b_{1}x+b_{0}}{x^2+2x+2}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\frac{x}{\left(x^2+2x+2\right)^2}=\frac{a_{1}(x^2+2x+2)-(a_{1}x+a_{0})(2x+2)}{(x^2+2x+2)^2}+\frac{b_{1}x+b_{0}}{x^2+2x+2}\\</p>\\<p>\frac{x}{\left(x^2+2x+2\right)^2}=\frac{a_{1}x^2+2a_{1}x+2a_{1}-(2a_{1}x^2+2a_{1}x+2a_{0}x+2a_{0})}{(x^2+2x+2)^2}+\frac{b_{1}x+b_{0}}{x^2+2x+2}\\</p>\\<p></p>\\<p>\frac{x}{\left(x^2+2x+2\right)^2}=\frac{a_{1}x^2+2a_{1}x+2a_{1}-(2a_{1}x^2+2a_{1}x+2a_{0}x+2a_{0})+(b_{1}x+b_{0})(x^2+2x+2)}{(x^2+2x+2)^2}\\</p>\\<p>x=a_{1}x^2+2a_{1}x+2a_{1}-(2a_{1}x^2+2a_{1}x+2a_{0}x+2a_{0})+(b_{1}x+b_{0})(x^2+2x+2)\\</p>\\<p>x=a_{1}x^2+2a_{1}x+2a_{1}-2a_{1}x^2-2a_{1}x-2a_{0}x-2a_{0}+b_{1}x^3+2b_{1}x^2+2b_{1}x+b_{0}x^2+2b_{0}x+2b_{0}\\</p>\\<p>x=b_{1}x^3+(2b_{1}+b_{0}-a_{1})x^2+(2b_{1}+2b_{0}-2a_{0})x+2b_{0}+2a_{1}-2a_{0}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=0\\2b_{1}+b_{0}-a_{1}=0\\2b_{1}+2b_{0}-2a_{0}=1\\2b_{0}+2a_{1}-2a_{0}=0 \end{cases}\\<br>\\\begin{cases}b_{1}=0\\b_{0}=a_{1}\\2a_{1}-2a_{0}=1\\4a_{1}-2a_{0}=0 \end{cases}\\<br>\\\begin{cases}b_{1}=0\\b_{0}=a_{1}\\2a_{1}=-1\\a_{0}=2a_{1} \end{cases}\\<br>\\\begin{cases}b_{1}=0\\2b_{0}=-1\\2a_{1}=-1\\a_{0}=-1 \end{cases}\\<br>\\\int{\frac{x}{\left(x^2+2x+2\right)^2}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\frac{x+2}{x^2+2x+2}-\frac{1}{2}\int{\frac{\mbox{d}x}{(x+1)^2+1}}\\</p>\\<p>\int{\frac{x}{\left(x^2+2x+2\right)^2}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\frac{x+2}{x^2+2x+2}-\frac{1}{2}\arctan{(x+1)}+C\\<br>\\

Można jeszcze bawić się całkowaniem przez części

 


  • 1


#129608 Całka funkcji trygonometrycznej

Napisane przez Mariusz M w 18.09.2017 - 23:26

\int{\sqrt{\tan^{2}{\left(x\right)}+4}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\sqrt{\tan^{2}{\left(x\right)}+4}=t-\tan{\left(x\right)}\\</p>\\<p>\tan^{2}{\left(x\right)}+4=t^2-2t\tan{\left(x\right)}+\tan^{2}{\left(x\right)}\\</p>\\<p>4=t^2-2t\tan{\left(x\right)}\\</p>\\<p>2t\tan{\left(x\right)}=t^2-4\\</p>\\<p>\tan{\left(x\right)}=\frac{t^2-4}{2t}\\</p>\\<p>\left(1+\tan^2{\left(x\right)}\right)\mbox{d}x=\frac{2t\cdot 2t-2\left(t^2-4\right)}{4t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\left(1+\frac{t^4-8t^2+16}{4t^2}\right)\mbox{d}x=\frac{t^2+4}{2t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\frac{t^4-4t^2+16}{4t^2}\mbox{d}x=\frac{t^2+4}{2t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{t^2+4}{2t^2}\cdot\frac{4t^2}{t^4-4t^2+16}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=2\frac{t^2+4}{t^4-4t^2+16}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\sqrt{\tan^{2}{\left(x\right)}+4}=t-\frac{t^2-4}{2t}\\</p>\\<p>\sqrt{\tan^{2}{\left(x\right)}+4}=\frac{t^2+4}{2t}\\</p>\\<p>\int{\frac{\left(t^2+4\right)^2}{t\left(t^4-4t^2+16\right)}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{1}{2}\int{\frac{2t\left(t^2+4\right)^2}{t^2\left(t^4-4t^2+16\right)}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>u=t^2\\</p>\\<p>\mbox{d}u=2t\mbox{d}t\\</p>\\<p>\frac{1}{2}\int{\frac{\left(u+4\right)^2}{u\left(u^2-4u+16\right)}\mbox{d}u}\\</p>\\<p>\frac{1}{2}\int{\frac{u^2+8u+16}{u\left(u^2-4u+16\right)}\mbox{d}u}\\</p>\\<p>\frac{1}{2}\int{\frac{u^2-4u+16+12u}{u\left(u^2-4u+16\right)}\mbox{d}u}\\</p>\\<p>\frac{1}{2}\left(\int{\frac{\mbox{d}u}{u}}+\int{\frac{12}{u^2-4u+16}\mbox{d}u}\right)\\</p>\\<p>\frac{1}{2}\left(\int{\frac{\mbox{d}u}{u}}+\int{\frac{12}{\left(u-2\right)^2+12}\mbox{d}u}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{12}{\left(u-2\right)^2+12}\mbox{d}u}\\</p>\\<p>u-2=2\sqrt{3}v\\</p>\\<p>\mbox{d}u=2\sqrt{3}\mbox{d}v\\</p>\\<p>24\sqrt{3}\int{\frac{\mbox{d}v}{12v^2+12}}\\</p>\\<p>2\sqrt{3}\int{\frac{\mbox{d}v}{v^2+1}}\\</p>\\<p>\frac{1}{2}\left(\ln{\left|u\right|}+2\sqrt{3}\arctan{\left(\frac{u-2}{2\sqrt{3}}\right)}\right)\\</p>\\<p>\ln{\left|t\right|}+\sqrt{3}\arctan{\left(\frac{t^2-2}{2\sqrt{3}}\right)}\\</p>\\<p>\ln{\left|\tan{\left(x\right)}+\sqrt{\tan^{2}{\left(x\right)}+4}\right|}+\sqrt{3}\arctan{\left(\frac{1+\tan^{2}{\left(x\right)}+\tan{\left(x\right)}\sqrt{\tan^{2}{\left(x\right)}+4}}{\sqrt{3}}\right)}+C\\</p>\\<p>

Można było jednym podstawieniem, te pozostałe podstawienia są tylko dla wygody 

 


  • 2


#129232 Równanie różniczkowe

Napisane przez Mariusz M w 21.04.2017 - 12:16

Można też skorzystać z podanej postaci czynnika całkującego

 

\mu=\mu\left[\omega\left(x,y\right)\right]\\<br>\\P=P\left(x,y\right)\\<br>\\Q=Q\left(x,y\right)\\<br>\\\frac{\partial \mu P}{\partial y}=\frac{\partial \mu Q}{\partial x}\\<br>\\\frac{\partial \mu}{\partial y}P+\mu\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial \mu}{\partial x}Q+\mu\frac{\partial Q}{\partial x}\\<br>\\\frac{\partial \mu}{\partial y}P-\frac{\partial \mu}{\partial x}Q=\mu\frac{\partial Q}{\partial x}-\mu\frac{\partial P}{\partial y}\\<br>\\\frac{\partial \mu}{\partial y}P-\frac{\partial \mu}{\partial x}Q=\mu\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\\<br>\\\frac{\mbox{d}\mu}{\mbox{d}\omega}\cdot\frac{\partial \omega}{\partial y}P-\frac{\mbox{d}\mu}{\mbox{d}\omega}\cdot\frac{\partial \omega}{\partial x}Q=\mu\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\\<br>\\\frac{\mbox{d}\mu}{\mbox{d}\omega}\left(\frac{\partial \omega}{\partial y}P-\frac{\partial \omega}{\partial x}Q\right)=\mu\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\\<br>\\\frac{\mbox{d}\mu}{\mu}=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}{\frac{\partial \omega}{\partial y}P-\frac{\partial \omega}{\partial x}Q}\mbox{d}\omega\\<br>\\\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}{\frac{\partial \omega}{\partial y}P-\frac{\partial \omega}{\partial x}Q}=\varphi\left(\omega\right)\\<br>\\\frac{\mbox{d}\mu}{\mu}=\varphi\left(\omega\right)\mbox{d}\omega<br>\\


  • 1


#129199 Całaka 14

Napisane przez Mariusz M w 04.04.2017 - 22:53

\int{\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}\mbox{d}x}=\int{\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}\arcsin{x}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=\int{\frac{\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}+\int{\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\left(x\arcsin{x}\right)\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=\int{\frac{\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}+x\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}-\int{\sqrt{1-x^2}\left(\arcsin{x}+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}\mbox{d}x}=\int{\frac{\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}+x\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}-\int{\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}\mbox{d}x}-\int{x\mbox{d}x}\\</p>\\<p>2\int{\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}\mbox{d}x}=\frac{1}{2}\arcsin^2{x}+x\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}-\frac{1}{2}x^2+C\\</p>\\<p>\int{\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}\mbox{d}x}=\frac{1}{4}\arcsin^2{x}+\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}-\frac{1}{4}x^2+C\\</p>\\<p>


  • 1


#129198 Całka 18

Napisane przez Mariusz M w 04.04.2017 - 20:03

Dosyć dobry efekt daje pierwsze podstawienie Eulera ale jak to modnie jest unikać tych podstawień 

 

\int{\frac{5x^2-2x+10}{\sqrt{3x^2-5x+8}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\sqrt{3}\int{\frac{5x^2-2x+10}{\sqrt{9x^2-15x+24}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\sqrt{9x^2-15x+24}=t-3x\\</p>\\<p>9x^2-15x+24=t^2-6tx+9x^2</p>\\<p>-15x+24=t^2-6tx\\</p>\\<p>6tx-15x=t^2-24\\</p>\\<p>x\left(6t-15\right)=t^2-24\\</p>\\<p>x=\frac{t^2-24}{6t-15}\\</p>\\<p>t-3x=\frac{6t^2-15t-3t^2+72}{6t-15}=\frac{3t^2-15t+72}{6t-15}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2t\left(6t-15\right)-6\left(t^2-24\right)}{\left(6t-15\right)^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{6t^2-30t+144}{\left(6t-15\right)^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\sqrt{3}\int{\left(5\frac{\left(t^2-24\right)^2}{\left(6t-15\right)^2}-2\frac{t^2-24}{6t-15}+10\right)\frac{6t-15}{3t^2-15t+72}\cdot\frac{2\left(3t^2-15t+72\right)}{\left(6t-15\right)^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\sqrt{3}\int{\left(\frac{5\left(t^4-48t^2+576\right)-2\left(t^2-24\right)\left(6t-15\right)+10\left(36t^2-180t+225\right)}{\left(6t-15\right)^2}\right)\cdot\frac{2}{6t-15}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>2\sqrt{3}\int{\frac{5t^4-240t^2+2880-2\left(6t^3-15t^2-144t+360\right)+360t^2-1800t+2250}{\left(6t-15\right)^3}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>2\sqrt{3}\int{\frac{5t^4-240t^2+2880-12t^3+30t^2+288t-720+360t^2-1800t+2250}{\left(6t-15\right)^3}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>2\sqrt{3}\int{\frac{5t^4-12t^3+150t^2-1512t+4410}{\left(6t-15\right)^3}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{2\sqrt{3}}{27}\int{\frac{5t^4-12t^3+150t^2-1512t+4410}{\left(2t-5\right)^3}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>-\frac{\sqrt{3}}{54}\int{\left(5t^4-12t^3+150t^2-1512t+4410\right)\frac{\left(-4\right)}{\left(2t-5\right)^3}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>-\frac{\sqrt{3}}{54}\left(\frac{5t^4-12t^3+150t^2-1512t+4410}{\left(2t-5\right)^2}-\int{\frac{20t^3-36t^2+300t-1512}{\left(2t-5\right)^2}\mbox{d}t}\right)\\</p>\\<p>-\frac{\sqrt{3}}{54}\left(\frac{5t^4-12t^3+150t^2-1512t+4410}{\left(2t-5\right)^2}+\int{\left(10t^3-18t^2+150t-756\right)\frac{\left(-2\right)}{\left(2t-5\right)^2}\mbox{d}t}\right)\\</p>\\<p>-\frac{\sqrt{3}}{108}\left(\frac{10t^4-24t^3+300t^2-3024t+8820}{\left(2t-5\right)^2}+\frac{20t^3-36t^2+300t-1512}{2t-5}-\int{\frac{60t^2-72t+300}{2t-5}\mbox{d}t}\right)\\</p>\\<p>-\frac{\sqrt{3}}{108}\left(\frac{10t^4-24t^3+300t^2-3024t+8820}{\left(2t-5\right)^2}+\frac{20t^3-36t^2+300t-1512}{2t-5}-\int{\left(30t+39\right)\mbox{d}t}-\int{\frac{495}{2t-5}\mbox{d}t}\right)\\</p>\\<p>-\frac{\sqrt{3}}{108}\left(\frac{10t^4-24t^3+300t^2-3024t+8820}{\left(2t-5\right)^2}+\frac{20t^3-36t^2+300t-1512}{2t-5}-15t^2-39t-\frac{495}{2}\ln{\left|2t-5\right|}\right)+C\\</p>\\<p>


  • 2


#129197 Całka 23, Ostrogradskiego można

Napisane przez Mariusz M w 04.04.2017 - 19:22

Jeśli chodzi o zalety metody Ostrogradskiego to nie wymaga ona rozkładu mianownika na czynniki

co pozwoli zredukować jego stopień

Aby uzyskać mianowniki wystarczy policzyć NWD\left(M(x),M'(x)\right)

algorytmem kolejnych dzieleń

Jeżeli mamy podany rozkład mianownika na czynniki to zalety stosowania metody Ostrogradskiego ujawniają się gdy

mianownik ma wielokrotne pierwiastki zespolone


  • 1