Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

Mariusz M

Rejestracja: 11 Sep 2010
Offline Ostatnio: Dec 12 2023 12:00
*****

Moje posty

W temacie: Granica ciągu o wyrazie ogólnym

06.12.2023 - 18:07

Co do stacka to ja aż tak bardzo nie polecam

Czepiają się sposobu zakładania tematów  i w ogóle

Wysłali mi nawet ostrzeżenie że zablokują mi konto

 

Jeżeli chodzi o mnie to fora internetowe nie były jakoś aż tak bardzo pomocne

Większość o ile nie wszyscy ignorują moje wpisy

Jeśli już odpisują to w następujący sposób

 

Przykładowe zadanie

Rozwiń funkcję f\left(t\right)=\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}

i jeden chcąc się pochwalić tym co mu znalazła wyszukiwarka Google napisał że jest to funkcja tworząca wielomianów Legendre

Tylko że nie po to rozwiązywałem równanie rekurencyjne definiując sobie funkcję tworzącą aby wrócić do punktu wyjścia

Dalej już nic sensownego nie napisał bo dla niego to był już "temat zamknięty"

a gdy chciałem sensownych odpowiedzi to mnie obrażał pisząc że bełkoczę


W temacie: Całka sinus i funkcja wykładnicza

05.09.2023 - 22:54

Jeżeli \alpha>0

to można by pobawić się przekształceniem Laplace

(Po zapisaniu sin^{2}{\left(\omega\cdot t\right)})

za pomocą cosinusa podwojonego kąta watość całki można odczytać z tablic transformat Laplace


W temacie: funkcje tworzące

14.06.2023 - 18:02

b_{1} = 3 ,\qquad b_{2} = 1, \qquad b_{n+2} = 6b_{n+1} - 9b_{n}

 

Pierwszym zdefiniowanym wyrazem ciągu jest b_{1}

więc definiując funkcję tworzącą indeksujemy wyrazy szeregu potęgowego od jedynki

 

B\left(x\right)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}

 

Równanie rekurencyjne zachodzi dla n \geq 1

więc wstawiając funkcję tworzącą do równania rekurencyjnego zaczynamy indeksować szereg od jedynki

 

\sum_{n=1}^{\infty}b_{n+2}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}{\left(6b_{n+1}-9b_{n}\right)x^{n}}\\</p>\\<p>\sum_{n=1}^{\infty}b_{n+2}x^{n} = 6\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n+1}x^{n}\right) - 9\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}\right)\\</p>\\<p>\frac{1}{x^2}\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n+2}x^{n+2}\right) = \frac{6}{x}\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n+1}x^{n+1}\right) - 9\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}\right)\\</p>\\<p>\sum_{n=1}^{\infty}b_{n+2}x^{n+2} = 6x\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n+1}x^{n+1}\right) - 9x^2\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}\right)\\</p>\\<p>\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}-b_{1}x-b_{2}x^2 = 6x\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}-b_{1}x\right) - 9x^2\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}\right)\\</p>\\<p>\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}-3x-x^2 = 6x\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}-3x\right) - 9x^2\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}\right)\\</p>\\<p>B\left(x\right) - 3x - x^2 = 6xB\left(x\right) -18x^2 - 9x^2B\left(x\right)\\</p>\\<p>B\left(x\right)\left(1-6x+9x^2\right)=-17x^2+3x\\</p>\\<p>B\left(x\right) = \frac{-17x^2+3x}{\left(1-3x\right)^2}\\</p>\\<p></p>\\<p>

 

</p>\\<p>\sum_{n=1}^{\infty}3^nx^n=\frac{3x}{1-3x}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(\sum_{n=1}^{\infty}3^nx^n\right)=\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(\frac{3x}{1-3x}\right)\\</p>\\<p>\sum_{n=1}^{\infty}n3^nx^{n-1} = \frac{3\left(1-3x\right)-3x\cdot\left(-3\right)}{\left(1-3x\right)^2}\\</p>\\<p>\sum_{n=1}^{\infty}n3^nx^{n-1} = \frac{3 - 9x +9x}{\left(1-3x\right)^2}</p>\\<p>\sum_{n=1}^{\infty}n3^nx^{n-1} =\frac{3}{\left(1-3x\right)^2}\\</p>\\<p>\sum_{n=1}^{\infty}n3^nx^{n} =\frac{3x}{\left(1-3x\right)^2}\\</p>\\<p>

 

</p>\\<p>\frac{-17x^2+3x}{\left(1-3x\right)^2}=\frac{Ax}{1-3x}+\frac{Bx}{\left(1-3x\right)^2}\\</p>\\<p>-17x^2+3x=Ax\left(1-3x\right)+Bx\\</p>\\<p>-17x+3 = A\left(1-3x\right)+B\\</p>\\<p>-17x+3 = -3Ax+A+B\\</p>\\<p>\begin{cases}-3A=-17\\A+B=3\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}A=\frac{17}{3}\\B=-\frac{8}{3}\end{cases}\\</p>\\<p></p>\\<p></p>\\<p>

 

</p>\\<p>B\left(x\right)=\frac{17}{3}\cdot\frac{x}{1-3x}-\frac{8}{3}\cdot\frac{x}{\left(1-3x\right)^2}\\</p>\\<p>B\left(x\right)=\frac{17}{9}\cdot\frac{3x}{1-3x}-\frac{8}{9}\cdot\frac{3x}{\left(1-3x\right)^2}\\</p>\\<p>B\left(x\right)=\frac{17}{9}\cdot\left(\sum_{n=1}^{\infty}3^{n}x^{n}\right)-\frac{8}{9}\left(\sum_{n=1}^{\infty}n\cdot3^{n}x^{n}\right)\\</p>\\<p>B\left(x\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{17}{9}\cdot 3^{n} - \frac{8}{9}n\cdot3^{n}\right)x^{n}}\\</p>\\<p>B\left(x\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{\left(-\frac{1}{9}\left(8n-17\right)\cdot 3^{n}\right)x^{n}}\\</p>\\<p>b_{n} = -\frac{1}{9}\left(8n-17\right)\cdot 3^{n}\\</p>\\<p></p>\\<p>


W temacie: Równanie różniczkowe drugiego stopnia

26.02.2023 - 09:59

1) obniżanie rzędu równania liniowego

 

</p>\\<p>x^2\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)\cdot y''\left(x\right) + x\cdot y'\left(x\right) -y\left(x\right) = 0 \qquad y\left(1\right) = 2 \qquad y'\left(1\right) = 1<br>\\y_{1}\left(x\right) = x\\</p>\\<p>x^2\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)\cdot 0 + x\cdot 1 -x = 0\\</p>\\<p>0 + x - x = 0\\</p>\\<p>0 = 0\\</p>\\<p>y\left(x\right) = x\int{u\left(x\right)\mbox{d}x}\\</p>\\<p>y'\left(x\right) = \int{u\left(x\right)\mbox{d}x} + xu\left(x\right)\\</p>\\<p>y''\left(x\right) = u\left(x\right) + u\left(x\right) + xu'\left(x\right)\\</p>\\<p>y''\left(x\right) = 2u\left(x\right) + xu'\left(x\right)\\</p>\\<p>x^2\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)\cdot\left(2u\left(x\right) + xu'\left(x\right)\right)+x\left(\int{u\left(x\right)\mbox{d}x} + xu\left(x\right)\right) - x\int{u\left(x\right)\mbox{d}x} = 0\\</p>\\<p>x^3\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)u'\left(x\right)+2x^2\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)u\left(x\right)+x^2u\left(x\right)+x\int{u\left(x\right)\mbox{d}x} - x\int{u\left(x\right)\mbox{d}x} = 0\\</p>\\<p>x^3\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)u'\left(x\right)+x^2\left(3-2\ln{\left(x\right)}\right)u\left(x\right) = 0\\</p>\\<p>x\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)u'\left(x\right)+\left(3-2\ln{\left(x\right)}\right)u\left(x\right) = 0\\</p>\\<p>x\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)u'\left(x\right) = \left(2\ln{\left(x\right)} - 3\right)u\left(x\right) \\</p>\\<p>\frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)} = \frac{2\ln{\left(x\right)} - 3}{x\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)}\\</p>\\<p>t = 1-\ln{\left(x\right)}\\</p>\\<p>\mbox{d}t = -\frac{\mbox{d}x}{x}\\</p>\\<p>-2t-1 = 2\ln{\left(x\right)}-3\\</p>\\<p>\int{\frac{2\ln{\left(x\right)} - 3}{x\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)}\mbox{d}x}= \int{\frac{2t+1}{t}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{2\ln{\left(x\right)} - 3}{x\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)}\mbox{d}x} = 2t + \ln{\left(t\right)}\\</p>\\<p>\frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)} = - 2\ln{\left(x\right)} + \ln{\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)} + C\\</p>\\<p>\ln{\left(u\left(x\right)\right)} = \ln{\left(\frac{1-\ln{\left(x\right)}}{x^2}\right)} +C\\</p>\\<p>u\left(x\right) = \frac{1-\ln{\left(x\right)}}{x^2}\\</p>\\<p>y = x\left(C_{1}\int{\frac{1-\ln{\left(x\right)}}{x^2}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>y = C_{1}x\left(-\frac{1}{x}+\frac{\ln{\left(x\right)}}{x} - \int{\frac{1}{x^2}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>y = C_{1}x\left(-\frac{1}{x}+\frac{\ln{\left(x\right)}}{x} + \frac{1}{x} + C_{2}\right)\\</p>\\<p>y = C_{1}x\left(\frac{\ln{\left(x\right)}}{x} + C_{2}\right)\\</p>\\<p>y = C_{1}\ln{\left(x\right)} + C_{2}x\\</p>\\<p>y' = \frac{C_{1}}{x}+C_{2}\\</p>\\<p>C_{2} = 2\\</p>\\<p>C_{1}+C_{2}=1\\</p>\\<p>C_{1} = -1\\</p>\\<p>y = 2x - \ln{\left(x\right)}</p>\\<p>

 

2) równanie Eulera - zamiana zmiennej niezależnej sprowadzi równanie do równania o stałych współczynnikach

 

 

</p>\\<p>x^2y''-2xy'+2y = 0 \qquad y\left(1\right) = 3 \qquad y'\left(1\right) = 1</p>\\<p>x=e^{t}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t} = e^{t}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\cdot\frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}e^{-t}\\</p>\\<p>x\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = e^{t}\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}e^{-t}\\</p>\\<p>x\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\left(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\cdot\frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}x}\right)\frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\left(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\cdot e^{-t}\right)e^{-t}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} = \left(\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2}\cdot e^{-t} - \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t} \cdot e^{-t}\right)e^{-t}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} = \left(\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2} -\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t} \right)e^{-2t}\\</p>\\<p>x^2\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} = e^{2t}\left(\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2} - \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\right)e^{-2t}\\</p>\\<p>x^2\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} =\left(\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2} -\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t} \right)\\</p>\\<p>\left(\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2} - \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\right) - 2\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}+2y = 0\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2} - 3 \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}+ 2y = 0\\</p>\\<p></p>\\<p>y = e^{\lambda t}\\</p>\\<p>\lambda^2e^{\lambda t} - 3\lambda e^{\lambda t} + 2e^{\lambda t} = 0\\</p>\\<p>\left(\lambda^2 - 3\lambda + 2\right)e^{\lambda t} = 0\\</p>\\<p>\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0\\</p>\\<p>\left(\lambda - 1\right)\left(\lambda - 2\right) = 0\\</p>\\<p>\lambda_{1} = 1\\</p>\\<p>\lambda_{2} = 2\\</p>\\<p>y\left(t\right) = C_{1}e^{t}+C_{2}e^{2t}\\</p>\\<p>y\left(x\right) = C_{1}x + C_{2}x^2\\</p>\\<p>y'\left(x\right) = C_{1} + 2C_{2}x\\</p>\\<p>\begin{cases}</p>\\<p>C_{1}+C_{2} = 3\\</p>\\<p>C_{1}+2C_{2} = 1\\</p>\\<p>\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}</p>\\<p>C_{1}+C_{2} = 3\\</p>\\<p>C_{2} = -2\\</p>\\<p>\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}</p>\\<p>C_{1} = 5\\</p>\\<p>C_{2} = -2\\</p>\\<p>\end{cases}\\</p>\\<p></p>\\<p>y\left(x\right) = 5x -2x^2\\</p>\\<p></p>\\<p>