Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

masło

Rejestracja: 16 Nov 2009
Offline Ostatnio: Dec 02 2012 15:56
*****

#102235 Kredyt

Napisane przez bb314 w 15.07.2012 - 19:51

K\ - kwota otrzymanego kredytu
p\ - nominalna stopa oprocentowania kredytu
n\ - ilość lat spłacania kredytu
m\ - ilość rat spłacanych w ciągu roku
r\ - rata kredytu

oznaczmy \bl\ 1+\frac{p}{m}=a\gr\ \Rightarrow\ \re\fbox{\fbox{\ r=K\cdot\frac{p}{m}\cdot\frac{a^{mn}}{a^{mn}-1}\ }}\gr\ \Rightarrow\ \bl\{ r>K\cdot\frac{p}{m}\\\ \\r\approx K\cdot\frac{p}{m}\cdot\frac{e^{pn}}{e^{pn}-1}

przykładowo
rata kredytu w wysokości 250.000 zł o nominalnym oprocentowaniu 12% spłacana co miesiąc przez 30 lat
r\approx 250000\cdot\frac{0,12}{12}\cdot\frac{e^{0,12\cdot30}}{e^{0,12\cdot30}-1}\approx2570\ \ \ czyli zapłacimy łącznie \ 2570\cdot12\cdot30=925200

rata kredytu w wysokości 250.000 zł o nominalnym oprocentowaniu 12% spłacana co miesiąc przez 20 lat
r\approx 250000\cdot\frac{0,12}{12}\cdot\frac{e^{0,12\cdot20}}{e^{0,12\cdot20}-1}\approx2750\ \ \ czyli zapłacimy łącznie \ 2750\cdot12\cdot20=660000
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

Oszczędzanie
w - kwota systematycznie wpłacana m razy w roku przez n lat przy nominalnej stopie procentowej p i rocznej kapitalizacji odsetek

zgromadzony kapitał

\re\fbox{\fbox{\ K=w\cdot\(m+0,405p(m+1)\)\cdot\frac{(1+0,81p)^n-1}{0,81p}\ }}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
  • 3


#102158 Całka powierzchniowa

Napisane przez janusz w 08.07.2012 - 16:28

 x = r\cos(\phi), \ y = r\sin(\phi), 0 \leq r \leq a, 0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{2};
 z = \sqrt{a^2 -x^2 -y^2};
 z'_{|x}(x, \ y) = \frac{-x}{\sqrt{a^2 -x^2 -y^2}} = -\frac{r\cos(\phi)}{\sqrt{a^2 - r^2}} ;
 z'_{|y}(x, \ y ) = \frac{-y}{\sqrt{a^2 -x^2 -y^2}} = -\frac{r\sin(\phi)}{\sqrt{a^2 - r^2 }} ;

 \int_{S} xdS = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\phi \int_{0}^{a} r^2\cos(\phi)\sqrt{ 1 + \frac{r^2}{a^2 - r^2}}dr = a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\phi \int_{0}^{a} \frac{r^2}{\sqrt{a^2 - r^2}}dr =
 = a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos(\phi)\left[ \frac{a^2}{2}\arcsin\left( \frac{r}{|a|} \right) - \frac{r}{2}\sqrt{a^2 -r^2} \right]_{0}^{a} = \frac{\pi a^3}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi a^3}{4} \left[ sin(\phi) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi a^3}{4}\cdot 1 = \frac{\pi a^3}{4}.
  • 1


#102157 Całka powierzchniowa

Napisane przez bb314 w 08.07.2012 - 13:42

\int_0^a \ ...\ dr\gr\ \Rightarrow\ r\in(0,a)\gr\ \Rightarrow\ r^2-a^2<0\ a to jest wyrażenie podpierwiastkowe \ \ \ :wacko:
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
  • 1


#102152 Oblicz korzystając z tw Lindenberga-Levy'ego

Napisane przez janusz w 07.07.2012 - 14:55

 E(X_{i}) = \frac{1}{2}, \ Var(X_{i}) = \frac{1}{12}, \  i = 1,2,...,n;

 Pr( S_{100} \geq 55) = Pr\left (\frac{S_{100} - 50} {\sqrt{100\cdot \frac{1}{12}}} \geq \frac{55-50}{\sqrt{100\cdot \frac{1}{12}}} \right ) \approx 1 - \Phi \left( \frac{5\sqrt{12}}{10} \right) =
 =1- \Phi(1,73) = 1 - 0,95818 = 0,04182.
  • 1


#102138 Całka krzywoliniowa - 2 różne wyniki?

Napisane przez janusz w 05.07.2012 - 21:38

Całka krzywoliniowa
 C = C_{1} \cup C_{2}
 C_{1} = \left{ \left( \begin{array}{c}x\\y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}t\\t \end{array} \right), t\in \left [0, \ 1 \right] \right };
 C_{2} = \left{ \left( \begin{array}{c}x\\y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}t\\t^{\frac{2}{3}} \end{array} \right), t\in \left [1,\ 0, \right ] \right};
Z własności całki krzywoliniowej
 \int_{C}\omega = \int_{C_{1}} \omega + \int_{C_{2}} \omega = \int_{0}^{1}( t^2\cdot t + t^3) dt + \int_{1}^{0} ( t^2\cdot t^{\frac{2}{3}} + \frac{2}{3}t^2\cdot t^{-\frac{1}{3} })dt = \frac{t^4}{2} \left |_{0}^{1} +\left [ \frac{3}{11}t^{\frac{11}{3}} + \frac{1}{4}t ^{\frac{8}{3}}\right ]_{1}^{0} = \frac{1}{2} - \frac{3}{11} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{44}.

Wzór Greena
Obszar D skierowany dodatnio tzn. poruszając się po krzywych - występuje po lewej stronie.
 \int\int_{(D)} ( Q_{|x}(x,y) - P_{|y}(x,y) ) = \int_{0}^{1} ( \int_{x}^{x^{\frac{2}{3}}} -x^2 dy)dx = \int_{0}^{1} -x^2 \left( x^{\frac{2}{3}} -x \right)dx = \int_{0}^{1} \left ( -x^{\frac{8}{3}} +x^3 \right)dx = \left [-\frac{3}{11} x^{\frac{3}{11}} + \frac{1}{4}x^{4} \right]_{0}^{1} ==\frac{3}{11} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{44}.
  • 1


#102136 Całka krzywoliniowa - 2 różne wyniki?

Napisane przez bb314 w 05.07.2012 - 18:05

Licząc z tw Greena:
\oint_C x^2 y \mbox{d}x +y^3 \mbox{d}y =\int_0^1\int_{x^{2/3}}^x -x^2 dydx

Z tw. Greena to wychodzi mi trochę inaczej:
\re\oint_C (x^2 y \mbox{d}x +y^3 \mbox{d}y) \ =\int_0^1\int_{y}^{y^{\frac{3}{2}}}( -x^2)dx dy=-\int_0^1\int_{y}^{y^{\frac{3}{2}}}x^2dx dy= -\int_0^1\( |\frac{1}{3}x^3 |_{y}^{y^{\frac{3}{2}}} \) dy= -\int_0^1\frac{1}{3}\(( y^{\frac{3}{2}})^3-y^3 \) dy=

=-\frac{1}{3}\int_0^1\(y^{\frac{9}{2}}-y^3\)dy=-\frac{1}{3}\|\frac{2}{11}y^{\frac{11}{2}}-\frac{1}{4}y^4\|_0^1=-\frac{1}{3}\(\frac{2}{11}-\frac{1}{4}\)=\ \re \frac{1}{44}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
  • 1


#102104 Masa linii łańcuchowej

Napisane przez octahedron w 02.07.2012 - 20:54

M=\int_0^t\frac{1}{y}\sqrt{1+\(y'\)^2}\,dx=\int_0^t\frac{1}{t\cosh\(\frac{x}{t}\)}\sqrt{1+\(\cosh\(\frac{x}{t}\)+\sinh\(\frac{x}{t}\)\)^2}\,dx=\int_0^1\frac{1}{\cosh(u)}\sqrt{1+\(\cosh(u)+\sinh(u)\)^2}\,du=\\<br />\\=\int_0^1\frac{2}{e^u+e^{-u}}\sqrt{1+e^{2u}}\,du=\int_0^1\frac{2e^u}{e^{2u}+1}\sqrt{1+e^{2u}}\,du=\int_1^e\frac{2}{\sqrt{1+z^2}}\,dz\\<br />\\\sqrt{1+z^2}=z+t\\<br />\\1+z^2=z^2+2zt+t^2\\<br />\\z=\frac{1-t^2}{2t}\\<br />\\dz=\frac{-2(t^2+1)}{4t^2}\,dt\\<br />\\\int\frac{2}{\sqrt{1+z^2}}\,dz=\int\frac{2}{\frac{1-t^2}{2t}+t}\cdot \frac{-2(t^2+1)}{4t^2}\,dt=\int\frac{-2}{t}\,dt=-2\ln|t|=-2\ln\|\sqrt{1+z^2}-z\|\\<br />\\M=2\ln\|\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{1+e^2}-e}\|<br />\\
  • 1


#102105 Moment bezwładności

Napisane przez octahedron w 02.07.2012 - 21:06

<br />\\\{x=r\cos\varphi\\y=r\sin\varphi\.\\<br />\\z=r^2,\,z=2+r\\<br />\\r^2=2+r\Rightarrow r=2\\<br />\\I_{ox}=\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_{r^2}^{2+r}(z^2+r^2\sin^2\varphi)zr\,dzdrd\varphi<br />\\
  • 1


#102100 Całka podwójna

Napisane przez octahedron w 02.07.2012 - 20:04

\int_0^2\int_{\sqrt{2x-x^2}}^{\sqrt{36-x^2}}y\,dydx+\int_2^6\int_0^{\sqrt{36-x^2}}y\,dydx=\frac{1}{2}\int_0^236-2x\,dx+\frac{1}{2}\int_2^6 36-x^2\,dx=71\frac{1}{3}<br />\\

lub

\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^6 r^2\sin\varphi\,drd\varphi-\int_0^{\pi}\int_0^1 r^2\sin\varphi\,drd\varphi=\int_0^{\frac{\pi}{2}} 72\sin\varphi\,d\varphi-\int_0^{\pi}\frac{1}{3}\sin\varphi\,d\varphi=71\frac{1}{3}
  • 1


#102077 Prawdopodobieństwo przeżycia

Napisane przez bb314 w 01.07.2012 - 10:13

sakhmet, może masz jakiś pomysł?
  • 2


#102084 wektory ortogonalne czy ortonormalne

Napisane przez octahedron w 01.07.2012 - 16:57

Ortonormalna nie jest, bo wektory nie mają jednostkowej długości. Natomiast jest ortogonalna:

\vec{a}\cdot\vec{b}=0\\<br />\\\vec{a}\cdot\vec{c}=0\\<br />\\\vec{b}\cdot\vec{c}=0<br />\\
  • 1


#102083 Wyznacz wartości własne i wektory własne

Napisane przez octahedron w 01.07.2012 - 16:49

A_\varphi=\begin{bmatrix}1&-1&2\\0&3&-1\\0&0&4\end{bmatrix}\\\\<br />\\\det(A_\varphi-\lambda I)=\det\begin{bmatrix}1-\lambda&-1&2\\0&3-\lambda&-1\\0&0&4-\lambda\end{bmatrix}=(1-\lambda)(3-\lambda)(4-\lambda)=0\\\\<br />\\\lambda=1:\\\\<br />\\\begin{bmatrix}0&-1&2\\0&2&-1\\0&0&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\Rightarrow\{-y+2z=0\\2y-z=0\\3z=0\.\,\Rightarrow\{y=0\\z=0\.\\\\<br />\\u_1=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\\\\<br />\\\lambda=3:\\\\<br />\\\begin{bmatrix}-2&-1&2\\0&0&-1\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\Rightarrow\{-2x-y+2z=0\\-z=0\\z=0\.\,\Rightarrow\{y=-2x\\z=0\.\\\\<br />\\u_3=\begin{bmatrix}1\\-2\\0\end{bmatrix}\\\\<br />\\\lambda=4:\\\\<br />\\\begin{bmatrix}-3&-1&2\\0&-1&-1\\0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\Rightarrow\{-3x-y+2z=0\\-y-z=0\\0=0\.\,\Rightarrow\{x=z\\y=-z\.\\\\<br />\\u_4=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}\\\\<br />\\<br />\\<br />\\
  • 1


#102066 Całka krzywoliniowa

Napisane przez KCN w 30.06.2012 - 08:01

A czemu tych równań parametrycznych nie można wyznaczyć tak jak tutaj: http://matma4u.pl/to...-krzywoliniowa/
bo idąc tym tropem to by było AB=(0,1)+t(0-0,3-1)=(0,1)+t(0,2) \\ x(t)=0 \quad y(t)=1+2t

Można, tylko że w tym przypadku dla każdego odcinka masz inną wartość dl
Dla AB masz:
dl=\sqrt{2^2+0^2}dt=2dt
Wychodzi to samo ale ja mam inaczej zdefiniowane boki, inaczej je popunktowałem, zobacz sobie na definicje boków jakie zapisałem. Ale obie metody prowadzą do tego samego wyniku. Weźmy przykładowo
Bok (0,1);(4,1)

(0,1)+t(4-0,1-1)
x(t)=4t \ \ y(t)=1


dl=\sqrt{4^2+0^2}dt=4dt

4 \int_{0}^{1}(4t+1)dt=12

Zaś moim sposobem:
y(t)=1; x(t)=t
dl=dt
\int_{0}^{4}(t+1)dt=\frac{1}{2}\cdot 16 +4=12
  • 2


#102059 Całka krzywoliniowa

Napisane przez janusz w 29.06.2012 - 12:19

Wynika to z równania odcinka łączącego dwa punkty A,B  [\overline{AB}]= A +t[B - A]:
Jeśli  t = 0, otrzymujemy punkt A, jeśli  t=1 otrzymujemy punkt B. Dlatego parametr t zmienia się od 0 do 1.
  • 1


#102061 Całka krzywoliniowa

Napisane przez KCN w 29.06.2012 - 18:02

Oblicz całkę krzywoliniową nieskierowaną \int_L (x+y) \mbox{d}l, gdzie L jest prostokątem o wierzchołkach A=(0,1),B=(0,3),C=(4,1),D=(4,3)


dl=\sqrt{(x_t')^2+(y_t')^2}dt

 |AB|= \{(x,y) \in R^2: y=1; x=t; t \in [0,4] \} \\ |BC|= \{(x,y) \in R^2: y=t; x=4; t \in [1,3] \} \\ |DA|= \{(x,y) \in R^2: y=t; x=0; t \in [1,3] \} \\ |CD|= \{(x,y) \in R^2: y=3; x=t; t \in [0,4] \}

x_t=t \ \Rightarrow \ x'_t=1 \ \ \ \ x_t=C \ \Rightarrow \ x'_t=0 \\ y_t=t \ \Rightarrow \ y'_t=1 \ \ \ \ y_t=C \ \Rightarrow \ y'_t=0

Dla pierwszego odcinka AB:
x_t=t \ \Rightarrow \ x'_t=0 \ \ \ \ y_t=1 \ \Rightarrow \ y'_t=0dl=\sqrt{0^2+1^2}dt=dt
Dla pozostałych boków wychodzi taka sama równość.

\int_L (x+y) \mbox{d}l=\int_{AB} (x+y) \mbox{d}l +\int_{BC} (x+y) \mbox{d}l +\int_{CD} (x+y) \mbox{d}l +\int_{DA} (x+y) \mbox{d}l=\int_{0}^{4}(t+1)dt+\int_{1}^{3}(4+t)dt+\int_{0}^{4}(t+3)dt+\int_{1}^{3}(t)dt
  • 1