Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

janusz

Rejestracja: 17 Oct 2009
Offline Ostatnio: Jun 10 2020 18:40
*****

#131369 własności wzoru łączeń i rozłączeń

Napisane przez janusz w 08.06.2020 - 11:25

 Pr(A\cap B) = 0 dwóch wykluczających się zdarzeń  A, \ \ B. Proszę nie mylić zdarzenia niezależne ze zdarzeniami wykluczającymi się.


  • 1


#131367 krzywizna gaussa

Napisane przez janusz w 07.06.2020 - 15:18

Na przykład 

 

a) 

 

 z = u\cdot v

 

Parametryzacja  powierzchni   u: = x -y , \ \ v: =x+y

 

 z(x,y) = (x-y)(x+y) = x^2 -y^2

 

Krzywizna Gaussa 

 

 K = \kappa_{1} \cdot \kappa_{2} = \frac{z_{xx} -z_{yy} -z^2_{xy}}{(1 +z^2_{x} +z^2_{y})

 

Średnia krzywizna 

 

 H = \frac{1}{2}(\kappa_{1}+\kappa_{2}) = \frac{z_{xx}( 1 + z^2_{y}) -2z_{xy} z_{x} z_{y} +z_{yy}(1 +z^2_{x})}{2( 1 +z^2_{x} +z^2_{y})}

 

Proszę obliczyć wartości pochodnych cząstkowych i podstawić do wzorów.

 


  • 1


#131288 planimetria

Napisane przez janusz w 19.05.2020 - 17:36


Mamy  napisać pracę klasową, siedząc w rzędzie I, jeśli się nie chce nawet przepisać treści zadań. Wstyd i lenistwo.


  • 1


#131276 Udowodnij prawa rachunku zbiorów

Napisane przez janusz w 16.05.2020 - 21:51

Na przykład a)

 

 (A\setminus B) \cap (C \backslash D) \equiv (A \cap C) \backslash (B \cap D)

 

Na podstawie definicji iloczynu i różnicy zbiorów

 

 (x\in A\backslash B )\wedge x \in (C\backslash D) \equiv ( x\in A\wedge x\notin B )\wedge (x\in C\wedge x\notin D) \equiv ( x\in A\wedge x\in C)\wedge (x\notin B\wedge x\notin D) \equiv \\  

 

 \equiv (x\in A\cap C)\wedge (x\notin B\cap D) \equiv x\in ( A\cap C)\backslash (B\cap D)

 

c.b.d.o.


  • 1


#131275 Wyznaczanie wektorów stycznych i długości krzywych

Napisane przez janusz w 16.05.2020 - 21:34

Przykład 1

 

 \gamma'(t) = [-\sin t, \cos t]

 

 |\gamma'(t)| = \sqrt{(-\sin t)^2 +( \cos t)^2} = \sqrt{1}=1.

 

 


  • 1


#131274 Równanie różniczkowe - metoda uzmienniania stałej

Napisane przez janusz w 16.05.2020 - 21:23

 \frac{dy}{dx} = 2 -2 \frac{x}{y}, \ \ y\neq 0

 

 u = \frac{x}{y}

 

 x = u\cdot y

 

 \frac{dx}{dy} = u + y\frac{du}{dy}

 

 \frac{dx}{dy} = \frac{1}{2 - \frac{x}{y}}

 

 u + y\frac{du}{dy}= \frac{1}{2 -2u}

 

 y\frac{du}{dy} = \frac{1}{2 -2u} -u = \frac{1 -2u +2u^2}{2(1-u)}

 

 \frac{2(1-u)du}{2u^2-2u +1} = \frac{dy}{y}  

 

 \int \frac{2(1-u)du}{2u^2-2u+1} = \int \frac{dy}{y}  

 

 \frac{1}{2}\ln(2u-1) + \arctan(2u-1) = \ln(y) + C

 

 \ln[ \sqrt{\left( 2 \frac{x}{y} - 1 \right)}] + \arctan\left( 2\frac{x}{y} -1 \right) -\ln(y) = C.


  • 1


#131209 Badanie własnosci relacji

Napisane przez janusz w 19.04.2020 - 09:15

Relacja

 

 \rho\subset N\times N : x\rho y \leftrightarrow x|y\wedge x\neq 0,

 

Czytamy: element  x jest w relacji   \rho z elementem  y , wtedy i tylko wtedy, gdy jest dzielnikiem naturalnym elementu  y.

 

Domyślam się, że  chodzi o sprawdzenie, czy relacja  \rho jest relacją równoważności, Jeśli tak, to  znaleźć  jej  klasy abstrakcji. 

 

Jeśli nie jest relacją równoważności,  to   określić jakie własności ma ta  relacja.

 

 Relacja nie jest zwrotna,  bo para  (0, 0 > \notin \rho  

 

Relacja   \rho nie jest więc  relacją równoważności.

 

Jest antysymetryczna, bo jeśli  x | y\wedge y | x to  x = y.

 

Jest relacją przechodnią, gdy  y \neq 0 , bo    x | y\wedge y | z to  x | z

 

Relacja nie jest spójna, bo na przykład   <3, 5> \notin \rho\wedge <5, 3> \notin \rho\wedge 3\neq 5.

 

 


  • 1


#131207 Nieznana stała i dystrybuanta

Napisane przez janusz w 18.04.2020 - 20:18

Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej 

 

 F(t) = Pr(\{ X\leq t\}) = \int_{-\infty}^{t} f(x) dx

 

 F(t) = \gamma \int_{-\infty}^{\gamma} e^{-\gamma x}dx = \gamma \left( \frac{1 - e^{-\gamma t}}{\gamma} \right) = 1 - e^{-\gamma t}

 

 F(t) = 1 - e^{-\frac{1}{2}\ln(2)} = 1 - e^{-\ln(\sqrt{2})} = 1 - e^{\ln(\frac{1}{\sqrt{2}})} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}.


  • 1


#130937 Pole trójkąta na podstawie współrzędnych wierzchołków

Napisane przez janusz w 29.10.2019 - 19:26

Szybszy i  bardziej  nowoczesny sposób

 

Obliczamy współrzędne wektorów wychodzących z jednego punktu na przykład  A   

 

 \vec{AB} = [ 1- 0, 2 - 4] = [1, -2]

 

 \vec{AC} = [ 1 +3, 2 + 3] = [4, 5]  

 

Obliczamy połowę wartości wyznacznika utworzonego z tych wektorów:

 

 \frac{1}{2}\left | \begin{matrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right| = \frac{1}{2}( 5 +8 ) = \frac{13}{2} = 6,5

 

gdy wartość wyznacznika wychodzi ujemna, uwzględniamy jego  wartość bezwzględną.

 


  • 1


#130896 Oblicz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka C

Napisane przez janusz w 16.10.2019 - 20:09

W trójkącie równoramiennym wysokość poprowadzona  z wierzchołka  C w trójkącie   jest symetralną jego podstawy  AB.  

 

Współrzędne  punktu  D = (x_{D},\ \ y_{D}) = \left( \frac{1}{2}(x_{A}+x_{B}), \ \ \frac{1}{2}(y_{A}+y_{B}) \right)

 

 D = \left( \frac{4 - 2}{2}, \ \ \frac{-1 +3}{2} \right) = ( 1, \ \ 1).

 

Długość wysokości 

 

 |CD| = \sqrt{x_{C} - x_{D})^2 + (y_{C}-Y_{D})^2 } .

 

 |CD| = \sqrt{ (-3 -1)^2 + (-5 -1)^2} = \sqrt{ 16 +36} = \sqrt{42}.


  • 2


#130854 Granica ciągu

Napisane przez janusz w 25.09.2019 - 14:11

Definicja granicy właściwej ciągu: 

 

 \lim_{n\to \infty} a_{n} = g \leftrightarrow \bigwedge_{ \varepsilon >0} \bigvee_{ n_{\epsilon} \in N} \bigwedge_{ n > n_{\epsilon}} |a_{n} - g | < \varepsilon  

 

Wystarczy dowieść prawdziwości ostatniego zdania.

 

Analiza zadania, w której poszukujemy liczby  n_{\varepsilon}

 

 \left | \frac{1}{2^{n} + 1} - 0 \right| < \left | \frac{1}{2^{n}} \right | < \epsilon  

 

 \frac{1}{2^{n}} < \epsilon

 

 2^{n} > \frac{1}{\varepsilon}

 

 n > \frac{\log\left( \frac{1}{\varepsilon}\right)}{\log 2}

 

 n_{\epsilon} > \frac{\log\left( \frac{1}{\varepsilon}\right)}{\log 2}.

 

Można dostrzec, że dowód został zakończony. Ze względów dydaktycznych podamy go niżej w sposób bardziej wyraźny.

 

Niech dana będzie  dowolna liczba dodatnia  \varepsilon,   dowolna liczba naturalna  n_{\varepsilon} > \frac{\log\left( \frac{1}{\varepsilon}\right)}{\log 2}   oraz dowolna liczba naturalna  n > n_{\varepsilon} . 

 

Wtedy  n > n_{\varepsilon} > \frac{\log\left( \frac{1}{\varepsilon}\right)}{\log 2}, \ \ n >\frac{\log\left( \frac{1}{\varepsilon}\right)}{\log 2}, \ \ \frac{1}{n} < \frac{log 2}{\log \left(\frac{1}{\varepsilon}\right)} , \ \ \frac{1}{n\log 2} < \frac{1}{\log\left( \frac{1}{\varepsilon}\right)}, \ \ \frac{1}{2^n}< \varepsilon, \ \ \left| \frac{1}{2^{n} \right| < \varepsilon,

 

c.d.d.o.


  • 2


#130807 Środek masy i moment bezwladnosci kuli

Napisane przez janusz w 15.08.2019 - 20:48

Masa kuli

 

 m = \int_{0}^{2\pi} \int_{-a}^{a -h}\int_{0}^{\sqrt{a^2 -z^2}}\rho r dr dz d\phi = \pi \rho \int_{-a}^{a-h}(a^2 -z^2) dz = \pi \rho \left( \frac{4}{3}a^3 -ah^2 +\frac{1}{3}h^3\right) = \frac{\pi \rho}{3}(a+h)(2a -h^2)^2.  

 

Gdy  h= 0 \ \ m = \frac{4}{3}\pi\rho a^3.

 

Gdy  h = 2a , \ \ m=0.

 

Środek masy kuli

 

 m z = \int _{0}^{2\pi} \int_{-a}^{a-h}\int_{0}^{\sqrt{a^2 -z^2}}\rho r z dr dz d\phi = \pi \rho \int_{-a}^{a-h} z(a^2 - z^2) dz = \frac{\pi \rho h^2 }{4}(2 a -h)^2,

 

 z = \frac{mz}{m} = \frac{3}{4}\frac{h^2}{a+h}.

 

 z = 0 gdy  h \rightarrow 0 i  z \rightarrow -a gdy  h \rightarrow 2a.

 

Moment bezwładności kuli względem osi Oz 

 

 I_{z} = \int_{0}^{2\pi} \int_{-a}^{a-h} \int_{0}^{\sqrt{a^2 -z^2}}\rho r^3 dr dz d\phi = \frac{1}{2}\pi \rho \int_{-a}^{a-h} (a^2 -z^2)^2 dz = \frac{1}{2}\pi \rho \left( \frac{16}{15}a^5 -\frac{4}{3}a^2 h^3 + ah^4 -\frac{1}{5} h^5 \right) = \frac{\pi \rho}{30} (2a - h)^2( 4a^3+4a^3 h +3a h^2 -3h^3 ) = \frac{1}{10}m \frac{4a^3 +4a^3 h +3a h^2 -3h^3}{a +h}.

 

Gdy  h = a, \ \ I_{z} = \frac{2}{5}m a^2.

 

Gdy  h = 0 , \ \ I_{z} = 0.


  • 1


#130800 Udowodnij obliczalność całki

Napisane przez janusz w 26.07.2019 - 21:27

 f(x) = \arcsin(tgx) = \int_{0}^{tgx} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt

 

 f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - tg^2 x}}\frac{1}{\cos^2x} = \frac{1}{cos(x)\sqrt{cos(2x)}}

 

 \int f(x) dx = \int \int_{0}^{x} \frac{1}{\cos t \sqrt{cos(2t)}} dt = \int \int_{0}^{x}\frac{1}{\cos(t)\sqrt{2\cos^2 t -1}}dt =...


  • 2


#130749 Przedział zbieżności szeregów potęgowych

Napisane przez janusz w 25.06.2019 - 16:40

 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4^{n}}{n+1}( x+4)^{n}  

 

 Twierdzenie Cauchy-Hadamarda - wersja pierwiastkowa

 

 \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{ \frac{4^{n}}{n+1}(x+2)^{n}} = 4(x+2)

 

 \frac{1}{4}|x+2|< 1

 

 |x+2 | < 4

 

 -6 < x < 2

 

Na końcach promienia zbieżności 

 

Dla

 x = -6  

 

otrzymujemy szereg naprzemienny - nie spełniający warunku monotoniczności, a więc  rozbieżny

 

Dla

 x = 2  

 

otrzymujemy szereg nie spełniający warunku koniecznego zbieżności, a więc też rozbieżny

 

Przedziałem - promieniem  zbieżności tego szeregu jest

 

 R = (-6, \ \ 2)

 

Pani Olivvko pozostałe zadania rozwiązujemy podobnie.

 

Proszę zapoznać się z twierdzeniem Cauchy- Hadamarda i jego wersjami pierwiastkową i ilorazową


  • 1


#130746 Siła zależności między zmiennymi. Tablica korelacyjna

Napisane przez janusz w 24.06.2019 - 20:00

Raczej test dla współczynnika korelacji liniowej - przypadek - duża próba, albo test korelacji rang Spermana.

 

 


  • 1