Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

janusz

Rejestracja: 17 Oct 2009
Offline Ostatnio: Nov 29 2018 22:31
*****

#130405 Obliczyć granicę

Napisane przez janusz w 29.11.2018 - 21:18

Nie mogą.

 

Z twierdzenia o trzech ciągach:

 

 1 \leftarrow \sqrt[n]{-\frac{1}{n}+2n} \leq\sqrt[n]{\frac{(-1)^{n}}{n}+2n} \leq\sqrt[n]{\frac{1}{n}+2n} \rightarrow 1,

 

gdy  n \rightarrow \infty.

 

 

Granicą ciągu jest liczba  1.


  • 1


#130401 Obliczyć granicę

Napisane przez janusz w 29.11.2018 - 19:18

0 \leq \sin(\sqrt{n+1}) - \sin( \sqrt{n} ) \leq \sqrt{n+1} - \sqrt{n} ) = \frac{(\sqrt{n+1} -\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{ 1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\rightarrow 0, gdy  n\to \infty.

 

Na podstawie twierdzenia o trzech ciągach granicą ciągu jest liczba  0.


  • 1


#130399 Obliczyć granicę

Napisane przez janusz w 29.11.2018 - 19:05

=\lim_{n\to \infty} \frac{12n+2\cdot 2^{2n}+12}{4n +5\cdot 2^{n} +8} = \lim_{n\to \infty} \frac{2^{n}}{2^{n}}\frac{\left( \frac{12n}{2^{n}} +2^{n}+ \frac{12}{2^{n}}\right)}{\left(\frac{4n}{2^{n}}+5 +\frac{8}{2^{n}}\right)}= \frac{0+\infty+0}{0+5+0}= \frac{\infty}{5}= \infty.


  • 1


#130375 Argument liczby zespolonej

Napisane przez janusz w 17.11.2018 - 15:18

Bo miarę kąta, która odpowiada argumentowi głównemu liczby zespolonej liczymy od zera.


  • 1


#130356 Argument liczby zespolonej

Napisane przez janusz w 02.11.2018 - 17:10

Bo z defiinicji  argumentu  głównego  liczby zespolonej  z, jest to miara  kąta   0 \leq \alpha < 2\pi, mierzonego względem dodatniej częśći osi rzeczywistej  Re(z)

 

 z +5i = 0, \ \ z_{0} = -5i, 

 

więc

 

  Arg(z + 5i) = Arg[ z - (-5i)] = Arg(-5i) = \frac{3}{2}\pi.


  • 1


#130295 Obliczyć alfa dla której wektor będzie prostopadły

Napisane przez janusz w 09.10.2018 - 16:29

 \vec{V} = \vec{A} +\alpha \vec{B} = [3 + 4\alpha, 1 - 3\alpha , -3 + \alpha ],

 

\vec{V}\perp \vec{C} \leftrightarrow \vec{V}\cdot \vec{C} = 0.

 

[3+4\alpha, 1 - 3\alpha, -3+\alpha)] \cdot [-2, 3, 5] = -2(3+4\alpha)+ 3(1 - 3\alpha) +5(-3+\alpha) = -6 -8\alpha +3 - 9\alpha-15 +5\alpha =0

 

-12 \alpha -18 =0 , \ \ \alpha = -\frac{18}{12}= -\frac{3}{2}.


  • 1


#130273 Prawdopodobieństwo i zbiory

Napisane przez janusz w 23.09.2018 - 16:23

 Z treści zadania wynika, że musimy skorzystać ze wzoru  na prawdopodobieństwo warunkowe:

 

 Pr(A|B) = \frac{Pr(A\cap B)}{P(B)} = \frac{|A\cap B|}{|B|} (1)

 

gdzie:

 

 \{A\cap B\} -  zdarzenie "  ostatnią liczbą jest   8 i pierwsza liczba jest liczbą parzystą".

 

Jakie jest prawdopodobieństwo takiego zdarzenia?

 

Zakładając, że wszystkie ustawienia liczb w ciąg są jednakowo możliwe:

 

 |A\cap B| = \{2, 4, 6 \} ...6!.. \{8\} = 3\cdot 6! (2)

 

 

 B   - zdarzenie " pierwszą liczbą jest liczba parzysta"

 

 |B| = {2, 4, 6, 8}.......= 4\cdot 7!   (3)

 

 Pr(A|B) = \frac{3\cdot 6!}{4\cdot 7!} = \frac{3}{4\cdot 7} = \frac{3}{28}.

 

 

Interpretacja otrzymanego wyniku

 

Jeśli będziemy ustawiali losowo w ciąg  kolejne liczby od  1 do  8 to w  10,8\% wszystkich takich  ustawień, jeżeli pierwszą  liczbą  będzie liczba parzysta   2,4,6, to ostatnią liczbą będzie   8.  


  • 1


#130263 2 zadania z równań - pomocy!

Napisane przez janusz w 19.09.2018 - 10:23

Zadanie 2

 

http://www.math.edu....t,studia,5799,0

 

Zadanie 1

 

 y^{''} + 9y = ctg(3x) (0)

 

Równanie charakterystyczne:

 

 r^2 +9 = 0, \ \ r_{1}= -3i, \ \ r_{2} = 3i .

 

Rozwiązania szczególne:

 

 y_{1} = \sin(3x), \ \ y_{2} = \cos(3x).

 

 

Wrońskian  rozwiązań szczególnych:

 

 W(x) = \left | \begin{matrix} \sin(3x)& \cos(3x)\\ 3\cos(3x)& -3\sin(3x) \end{matrix} \right| = -3\sin^2(x) - 3\cos^2(x) = -3\neq 0.

 

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego: 

 

 y_{0} = A\sin(3x) + B\cos(3x)

 

Poszukujemy całki ogólnej równania  niejednorodnego w postaci:

 

 y = A(x)\sin(3x) + B(x) \cos(3x) (1)

 

 

Nieznane funkcje  A(x), \ \ B(x)   znajdujemy z układu równań:

 

 A'(x)\sin(3x) + B'(x)\cos(3x) = 0

i

 3A'(x)\cos(3x) - 3B'(x)\sin(3x) = ctg (3x).

 

 

Rozwiązując ten układ na przykład metodą przeciwnych współczynników otrzymujemy (proszę sprawdzić):

 

A '(x) = \frac{1}{3}\cos(3x) ctg (3x), \ B'(x) = -\frac{1}{3}\cos(3x).

 

Stąd

 

 A(x) =\int \frac{1}{3} \cos(3x) ctg(3x) dx= \frac{1}{3} \int \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)}dx = \frac{1}{3}\int \frac{1 -\sin^2(x)}{\sin(x)} dx =...= \frac{1}{9} \cos(3x) + \frac{1}{9}\ln \left(ctg( \frac{3}{2}x)\right) + C.  

 

 

 B(x) = -\frac{1}{3}\int \cos(3x)dx = -\frac{1}{9} \sin(3x) + D . 

 

Podstawiając funkcje:  A(x), \ \ B(x)   do (1),  otrzymujemy rozwiązanie ogólne równania (0):

 

 y = C\sin(3x) + D\cos(3x) + \frac{1}{9}\sin(3x)\cos(3x) + \frac{1}{9}\sin(3x) \ln \left(ctg(\frac{3}{2}x) \right) - \frac{1}{9}\sin(3x}\cos(3x) = C\sin(3x) + D\cos(3x) + \frac{1}{9}\sin(3x) \ln \left(ctg (\frac{3}{2}x) \right) .


  • 1


#130262 Przynależność zdarzenia

Napisane przez janusz w 19.09.2018 - 08:40

Ottt 

 

Nie można mieszać prawdopodobieństw zdarzeń z samymi zdarzeniami .

 

Prawdopodobieństwo zdarzenia jest wartością funkcji  z przedziału   [0,1]. Zdarzenie jest zbiorem ograniczonym lub nieograniczonym.

 

Zadanie  ma sens, gdy mamy najpierw wykazać  implikację:

 

Jeśli  P(A) = 0,9 i  P(B) = 0,7 to  P(A\cap B') < P(B') (1)

 

Dopiero po  wykazaniu (1)  na podstawie własności monotoniczności funkcji prawdopodobieństwa, możemy wnioskować, że zachodzi zawieranie się zdarzeń  A\cap B'\subset B'.

 

 


  • 1


#130236 Granica ciągu

Napisane przez janusz w 15.08.2018 - 17:34

Bo w liczniku wyrażenia występuje suma  s_{n}= 2+4+6+... +2n n-wyrazów ciągu, a nie jego wyraz ogólny  a_{n}= 2n.


  • 2


#130234 Granica ciągu

Napisane przez janusz w 15.08.2018 - 14:20

W liczniku wyrażenia, którego obliczamy granicę występuje suma  n   wyrazów ciągu arytmetycznego o wyrazie pierwszym   a_{1} = 2   i różnicy  r = 2 . Nie może ona wynosić  2 n   tylko  \frac{ 2 + 2n}{2} n = n(n+1).


  • 2


#130231 Granica ciągu

Napisane przez janusz w 14.08.2018 - 19:07

...= \lim_{n\to \infty} \frac{2+4 +6 +...+2n}{\frac{(n+5)(n+4)}{2}} = \lim_{n\to \infty}\frac{2\left ( \frac{2 +2n}{2}n \right)}{(n+5)(n+4)} =...2.


  • 2


#129645 Całkowanie numeryczne

Napisane przez janusz w 10.10.2017 - 18:05

Zostałem wywołany do tablicy  przez Pana.

 

Na podstawie wzoru Newtona-Leibniza, otrzymujemy wartość dokładną całki:

 

 I = \int_{0}^{3} x^3 dx = \frac{1}{4}x^4 \left |_{0}^{3} = \frac{1}{4} \cdot \left( 3^4 -3^0) = \frac{1}{4}\cdot 81 = 20,25.

 

Mając   dokładną wartość całki, chcemy tę wartość potwierdzać  metodami przybliżonymi w postaci  kwadratur (zadanie według mnie  sztuczne, aczkolwiek mające na celu poznanie podstawowych  metod numerycznego całkowania i  dokładności tych metod) .

 

Kwadratury Newtona-Cotesa 

 

Kwadratury Newtona-Cotesa są to kwadratury  oparte na węzłach wielomianu interpolacyjnego Lagrange'a  p_{n}.

 

 \int_{a}^{b} f(x)dx = \sum_{k=0}^{n} w_{k}\cdot f(a + k\cdot h),

 

gdzie:

 

 h = \frac{b - a}{n}, \ \ w_{k} = \int_{a}^{b} L_{k}(x)dx , \ \ L_{k}(x) = \prod_{i=0, i \neq k}^{n} \frac{x -x_{i}}{x_{k} -x{i}}.

 

Dla  n=1 i  x_{0} = a, \ \ x_{1} = b,   otrzymujemy wielomian interpolacyjny Lagrange'a pierwszego stopnia 

 

 p_{1}(x) = L_{0}(x)\cdot f(a) + L_{1}(x)\cdot f(b) = \frac{x-b}{a-b} f(a) + \frac{x-a}{b-a}f(b) = \frac{1}{b-a}[ (b-x)f(a)+(x-a)f(b)].

 

Całkując  p_{1}(x) w granicach od  a do  b ,  otrzymujemy kwadraturę Newtona-Cotesa rzędu pierwszego:

 

 T_{1}(a,b, f)) = \int_{a}^{b}\frac{1}{b-a} [(b-x)f(a)+ (x - a)f(b)]dx = \frac{1}{b-a} \left [-\frac{(b-x)^2}{2}f(a) + \frac{(x-a)^2}{2}f(b) \right |_{a}^{b} = \frac{1}{b-a} \left [\frac{(b-a)^2}{2} f(b) + \frac{(b-a)^2}{2} f(a) \right] = \frac{b-a}{2} \left [ f(a) + f(b) \right ].   

 

Jest to tzw. wzór  trapezu.

 

Podstawiając  a = 0, \ \ b =3, \ \ f(0) = 0^3 =0, \ \ f(3) = 3^3 = 27,

 

otrzymamy:

 

 T(0, 3, x^3) = \frac{3 - 0}{2} \left ( 0 + 27) = \frac{81}{2} = 40,50.

 

Jak widzimy ta kwadratura nie nadaje się do aproksymacji wartości całki  I, bo błąd względny przybliżenia wynosi:

 

 \frac{| 20,25 - 40,5|}{20,25} \cdot 100\% = 100\%.

 

Można zwiększyć dokładność obliczenia tej całki  - stosując złożoną  kwadraturę trapezów,  którą wyprowadzamy podobnie, uwzględniając wielomian interpolacyjny Lagrange'a stopnia  n.

 

 \int_{a}^{b} f(x) dx = h \cdot \left[ \frac{1}{2}f(a) +f(x_{1}) + ...+ f(x_{n-1})+ \frac{1}{2}f(x_{n} \right] . 

 

Błąd tej kwadratury wynosi:

 

 \epsilon ( h) =- \frac{(b-a)\cdot h^2}{12}\cdot f^{''}(\xi), \ \ \xi \in (a, b). 

 

 

W naszym przypadku  na przykład dla  n =10 węzłów 

 

i  programu Maple 6

 

> with(student);

 

> trapezoid( x^3, x =0 . . 3, 10);

 

>evalf(\%);

 

> 20,4525

 

 Błąd tego przybliżenia wynosi   -0,20250.

 

 

Kwadratura prostokątów

 

Kwadratura prostokątów należy do najprostszych  kwadratur Gaussa-Legendre'a.

 

Kwadratury Gaussa   są to kwadratury  oparte na  n+1 węzłach, które  są pierwiastkami wielomianów ortogonalnych w przedziale  [a, b]. z wagą  w.

 

Nie wchodząc w teorię wielomianów ortogonalnych Legendre'a i teorię tych kwadratur -  postać tej kwadratury:

 

 \int_{a}^{b} f(x) dx = h \sum_{j=1}^{n} f \left ( a + \left (j - \frac{1}{2} \right)\right).

 

W naszym przypadku dla  h = \frac{3 -0}{3} = 1. ( trzech węzłów)

 

 \int_{0}^{3} x^3 dx = 1\cdot \sum_{j=1}^{3} \left ( 0 + \left(j -\frac{1}{2}\right)\cdot 1\right)^3

 

Do obliczenia wartości całki wykorzystamy prosty program napisany  w Octave 4.2.1

 

  function  c = prostokw( f, a, b, N )

 

  h = (b-a)/N ;

   

  x = ( a + h/2 : h : b)

 

  y = f(x);

 

 c = h*sum(y);

 

 endfunction

 

prostokw(x^3, 0,3, 3)

 

>> answ = 19.125

 

Błąd  względny  przybliżenia wynosi  0,05. 

 

Stąd wynika, że kwadratury Gaussa:

 

-mają dużo  wyższą dokładność od kwadratur Newtona-Cotesa,

 

- są dokładne  dla wielomianów stopnia  2n +1 , podczas  gdy kwadratury Newtona-Cotesa są dokładne tylko dla wielomianów stopnia  n.

 

- możemy  ich używać do numerycznego obliczania  całek z osobliwościami, z którymi spotykamy się często na przykład w fizyce.

 

 

Są jeszcze  inne   kwadratury na przykład kwadratury:  Romberga, Radau, Lobato,  z którymi warto  zapoznać się, studiując przedmiot  Metody  Numeryczne.

 

Z kwadraturami Romberga - bardzo szybko zbieżnymi , opartymi na ekstrapolacyjnym schemacie Neville'a - Richardsona i błędami wynikającymi z ich stosowania  może się Pan  zapoznać między innymi  w  pracy,  którą  miałem przyjemność napisać z  Profesorem  Andrzejem Kiełbasińskim  na Uniwersytecie Warszawskim  w roku 1985.

 

Andrzej Kiełbasiński, Janusz Chojnacki. Błędy zaokrągleń w algorytmie Romberga. Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego 1985.

 

 

 

  

  

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


  • 1


#129629 Aproksymacja średniokwadratowa funkcji sinx

Napisane przez janusz w 05.10.2017 - 16:46

 A - amplituda sygnału.

 

 H(A) = (A\cdot 0 -0)^2 + \left(\frac{A\sqrt{2}}{2} - 1\right)^2 + (A - 2)^2 +\left(\frac{A\sqrt{2}}{2} - 1\right)^2 + (A\cdot 0 - 0)^2

 

 H'(A) = 2( A\cdot 0 - 0)\cdot 0 + 2 \left(\frac{A\sqrt{2}}{2} - 1 \right)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2(A-2) \cdot 1 +2 \left(\frac{A\sqrt{2}}{2} - 1\right)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} +2( A\cdot 0 - 0)\cdot 0 .

 

 H'(A) =0

 

 A -\sqrt{2} +2A - 4 + A - \sqrt{2} =0

 

 4A = 2\sqrt{2}

 

 A^{*} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

 

 H(A^{*}) = H^{*} = H_{min.lok.}

 


  • 1


#129539 Pola figur sferycznych

Napisane przez janusz w 04.08.2017 - 20:54

Przystępnie napisany w języku angielskim  podręcznik  z geometrii eukidesowej  i sferycznej, wielokątów.

 

Hartshorne  R. Geometry Euclid and Beyond. Springer. 2000.


  • 1