Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

janusz

Rejestracja: 17 Oct 2009
Offline Ostatnio: Oct 12 2017 14:27
*****

#129629 Aproksymacja średniokwadratowa funkcji sinx

Napisane przez janusz w 05.10.2017 - 16:46

 A - amplituda sygnału.

 

 H(A) = (A\cdot 0 -0)^2 + \left(\frac{A\sqrt{2}}{2} - 1\right)^2 + (A - 2)^2 +\left(\frac{A\sqrt{2}}{2} - 1\right)^2 + (A\cdot 0 - 0)^2

 

 H'(A) = 2( A\cdot 0 - 0)\cdot 0 + 2 \left(\frac{A\sqrt{2}}{2} - 1 \right)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2(A-2) \cdot 1 +2 \left(\frac{A\sqrt{2}}{2} - 1\right)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} +2( A\cdot 0 - 0)\cdot 0 .

 

 H'(A) =0

 

 A -\sqrt{2} +2A - 4 + A - \sqrt{2} =0

 

 4A = 2\sqrt{2}

 

 A^{*} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

 

 H(A^{*}) = H^{*} = H_{min.lok.}

 


  • 1


#129539 Pola figur sferycznych

Napisane przez janusz w 04.08.2017 - 20:54

Przystępnie napisany w języku angielskim  podręcznik  z geometrii eukidesowej  i sferycznej, wielokątów.

 

Hartshorne  R. Geometry Euclid and Beyond. Springer. 2000.


  • 1


#129538 Wyprowadzenie wzoru na pole i objetość kuli

Napisane przez janusz w 04.08.2017 - 20:29

Na przykład  

 

Matematyka Szkolna

 

GEOMETRIA.  Jan Zydler. Prószyński i S-ka. Warszawa 1997.


  • 1


#129427 Liczba pierwiastków równania

Napisane przez janusz w 18.06.2017 - 10:20

Twierdzenie Hurwitza-Rouche

 

 Funkcje  f(z) = \lambda - z, \ \  g(z) = e^{-z} są analityczne wewnątrz i na konturze  C : | \lambda - z | = e^{-Re(z)}< 1 i spełniają nierówność

 

 |g(z)|< |f(z) |.

 

Funkcja  f(z) +g(z) = \lambda - z - e^{-z} ma  tą samą liczbę zer co funkcja  f(z) = \lambda - z czyli dokładnie jedno  zero.

 

Równanie ma więc dokładnie jedno rozwiązanie.


  • 1


#129388 Rozkład średniej z próby

Napisane przez janusz w 10.06.2017 - 17:29

To prawdopodobieństwo jest praktycznie równe  zeru.

 

Tablice dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego podają jej wartości dla argumentów do  x = 4,99, przy czym

 

 \phi(4,99) \approx 0,9999996981.

 

Dla argumentów   x > 4,99 wartości dystrybuanty możemy odczytać za pomocą programu komputerowego na przykład R

 

Program R

 
> P = 1 - pnorm(7.86)
> P
[1] 1.887379e-15
 

  • 1


#129386 Zadanie do sprawdzenia

Napisane przez janusz w 10.06.2017 - 09:45

 Część wspólną podprzestrzeni  V, \ \ U wyznaczyłeś poprawnie.


  • 1


#129356 Całki pierwsze

Napisane przez janusz w 29.05.2017 - 20:02

Z własności dodawania proporcji stronami.


  • 1


#129351 Całki pierwsze

Napisane przez janusz w 28.05.2017 - 18:30

  \frac{dx}{4z -6y}= \frac{dy}{6x - 8z} = \frac{dz}{8y - 4x}.

 

Mnożymy i dzielimy pierwszy i drugi iloraz proporcji odpowiednio przez  x, \ \ y i korzystając z własności proporcji dodajemy te ilorazy 

 

 \frac{xdx + ydy}{x(4z -6y) + y(6x -8z)} = \frac{dz}{8y - 4x}.

 

Stąd

 

 \frac{xdx +ydy}{-z(8y -4x)}= \frac{dz}{8y - 4x}.

 

 \frac{xdx + ydy}{8y - 4x} = \frac{-zdz}{8y - 4x}.

 

 xdx + ydy = -zdz.

 

 xdx +ydy + zdz = 0.

 

 d(x^2 +y^2 +z^2) = 0.

 

 x^2 +y^2 + z^2 = C_{1}. 

 

Drugą całkę pierwszą  układu znajdujemy, korzystając ponownie  z własności proporcji:

 

\frac{xdx + ydy + zdz }{8y - 4x} = \frac{dz}{8y - 4x}.

 

 xdx + ydy + zdz = dz .

 

 xdx + ydy +(z- 1)dz = 0.

 

 d(x^2 +y^2 +z^2 -2z) = 0,

 

 x^2 + y^2 + z^2 - 2z = C_{2}.


  • 1


#129328 przedział ufności

Napisane przez janusz w 17.05.2017 - 19:29

Przedział ufności dla frakcji (proporcji, wskaźnika struktury)

 

 P\left( \langle p* - z_{\alpha}\sqrt{\frac{p*(1-p*)}{n}} \leq p \leq p* + z_{\alpha}\sqrt{\frac{p*(1-p*)}{n}} \rangle \right) = 1 - \alpha.

 

Kwantyl  rzędu  0,01 standaryzowanego  rozkładu normalnego znajdujemy z tablicy dystrybuanty  N(0, 1) lub programu komputerowego na przykład R

 

Program R

> zalfa = qnorm(0.995)
> zalfa
[1] 2.575829

 P\left(\langle \frac{36}{100} - 2,58\sqrt{ \frac{\frac{36}{100}\cdot (1 - \frac{36}{100})}{250}} \leq p \leq \frac{36}{100} + 2,58\sqrt{ \frac{\frac{36}{100}\cdot (1 - \frac{36}{100})}{250}} \rangle \right) = P\left( \langle 0,33 \leq p \leq 0,39 \rangle \right) =0,99.

 

Program R

 L = 36/100 - sqrt((36/100 *(1-36/100)/250))
> L
[1] 0.3296421
> P = 36/100 + sqrt((36/100 *(1-36/100)/250))
> P
[1] 0.3903579
 
Interpretacja otrzymanego przedziału ufności
 
Przedział ufności o końcach  0,33, \ \ 0,39 należy do tych przedziałów ufności, które z prawdopodobieństwem 0,99 pokryją frakcję małżonków podejmujących ważne decyzje finansowe w rodzinach, a nie tylko ich   250 - osobowej  próby.

Minimalna liczebność próby:

 

 n_{min} = \frac{z^2_{\alpha}p*(1-p*)}{d^2}.

 

 n_{min} = \frac{2,58^2 \cdot 0,36\cdot 1- 0,36)}{0,10^2} = 154 mężczyzn.

 

Program R

 
in = (2.58^2*0.36*(1-0.36))/(0.10)^2
> n_min
[1] 153.3635
 

  • 1


#129326 usługi telekomunikacyjne

Napisane przez janusz w 16.05.2017 - 18:17

a) 

 

Przedział ufności dla średniej, gdy znany jest rozkład  X miesięcznych opłat w populacji rodzin 4-osobowych i znana jest wariancja (odchylenie standardowe).

 

 P \left( \langle \overline{X}_{n} - \frac{s u_{\alpha}}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \overline{X}_{n} - \frac{s u_{\alpha}}{\sqrt{n}} \rangle \right) = 1-\alpha.

 

Dane:

 

 n = 10, \ \ 1-\alpha = 0,98 \rightarrow \alpha = 0,02, \ \ \overline{X}_{10} = 256 zł,  s = 30 zł.

 

 

Kwantyl rzędu  \alpha = 0,02 rozkładu normalnego dla dwustronnego przedziału ufności wyznaczamy z  równania:

 

\phi(u_{0,02}) = 1 - \frac{0,02}{2} = 1- 0,01 = 0,99.

 

Z tablicy dystrybuanty rozkładu normalnego lub programu komputerowego na przykład R odczytujemy

 

Program R

> ualfa = qnorm(0.99)
> ualfa 
[1] 2.326348

 P \left( \langle 256 - \frac{30 \cdot 2,33 }{\sqrt{10}} \leq \mu \leq 256 + \frac{30\cdot 2,33}{\sqrt{10}} \rangle \right) = 0,98.

 

Program R

> L = 256 - 30*2.33/sqrt(10)
> L
[1] 233.8957
> P = 256 + 30*2.33/sqrt(10)
> P
[1] 278.1043
 
 P\left( \langle 234 zl \leq \mu \leq 278 zl \rangle \right) = 0,98. 
 
Interpretacja otrzymanego przedziału ufności
 
Należy oczekiwać, że przedział o końcach  234 zł ,  278 zł. jest tym przedziałem, który z prawdopodobieństwem 0,98 pokryje średnie miesięczne opłaty telekomunikacyjne rodzin 4-osobowych, a nie tylko próby dziesięciu rodzin.

 

 

c)

 

Przedział ufności dla średniej, gdy rozkład  X miesięcznych opłat w populacji 4 -osobowych rodzin jest nieznany - duża próba.

 

 P\left( \langle \overline{X}_{n} - \frac{S_{n} u_{\alpha} }{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \overline{X}_{n} + \frac{S_{n} u_{\alpha} }{\sqrt{n}}\rangle \right)= 1-\alpha.

 

 P\left( \langle 256 zl - \frac{30 \cdot 2,33}{\sqrt{100}} \leq \mu \leq 256 zl + \frac{30 \cdot 2,33 }{\sqrt{100}} \rangle \right)= 0,98.

 

Program R

[1] 278.1043
> L = 256 - 30*2.33/10 
> L
[1] 249.01
> P = 256 +30*2.33/10
> P
[1] 262.99
 
 P\left( \langle 249 zl \leq \mu \leq 263 zl \rangle \right) = 0,98.
 
Interpretacja otrzymanego przedziału ufności 
 
Z ufnością 0,98 należy oczekiwać, że przedział o końcach  249  zł   263 zł jest tym przedziałem ufności, który pokryje średnie miesięczne opłaty telekomunikacyjne 4 - osobowych rodzin a nie tylko próby 100 rodzin.

d)

 

Precyzja oszacowania średniej  zależy od:

 

- ilości próby  n,

 

- przyjętego poziomu ufności  1- \alpha.

 

e)

 

Dla podpunktu a)  minimalna liczebność próby:

 

 d = \frac{u_{\alpha}\cdot s }{\sqrt{n}} ,

 

 n_{min} \geq \frac{u_{0,02} s^2}{d^2},

 

 n_{min}\geq \frac{2,33 \cdot 30^2}{20^2} = 6 rodzin 4-osobowych.

 

 

Program R

> n_min= 2.33*30^2/20^2
> n_min
[1] 5.2425
 
Dla podpunktu b) 
 
 n_{min} \geq \frac{t_{0,02} s^2}{d^2},
 
 n_{min} \geq \frac{2,82 \cdot 30^2}{20^2} = 7 rodzin 4-osobowych.
 
 
Program R
 


> n_min = 2.82*30^2/20^2
> n_min
[1] 6.345

 

Dla podpunktu c)

 

 n_{min} \geq \frac{u_{0,02} S^2}{d^2},

 

 n_{min}\geq \frac{2,33 \cdot 30^2}{20^2} = 6 rodzin 4-osobowych.

 

Program R

> n_min= 2.33*30^2/20^2
> n_min
[1] 5.2425
 

Program R

	> n_min= 2.33*30^2/20^2
	> n_min
	[1] 5.2425

  • 1


#129315 Zadanie z rurką barometru rtęciowego do którego dostało sie powietrze. Zbiór...

Napisane przez janusz w 14.05.2017 - 20:55

Dane:

 

 p_{1} = 760  mm Hg,

 

 T_{1} = 0^{o} C = 273 K,

 

 p_{2} = 740 mm Hg,

 

 h = 10 cm = 100 mm,

 

 T_{2} = 20^{o} C = 293 K,

 

 p_{3} = 730 mm Hg.

 

Obliczyć:

 

 p_{4} = ?

 

Rozwiązanie 

 

Z równania  Clapeyrona dla gazu (powietrze + opary rtęci),  znajdującego się nad rtęcią w rurce barometru rtęciowego:

 

 \frac{p'_{1}V_{1}}{T_{1}} = \frac{p'_{2}V_{2}}{T_{2}}.  (1)

 

 p_{1} = p'_{1} + p_{2} (2)

 

 p_{4} = p'_{2} +p_{3} (3)

 

Z równań  (2) i (3)

 

 p'_{1} = p_{1} - p_{2},  (4)

 

 p'_{2} = p_{4} - p_{3}.  (5)

 

Ponadto 

 

 h +h_{2} = h_{1} + h_{3}. 

 

Stąd 

 

 h_{1} = h + h_{2} - h_{3}.

 

Oznaczając przekrój rurki przez  S możemy zapisać:

 

 V_{1} = S h  (6)

 

 V_{2} = S(h + h_{2} - h_{3}) (7)

 

Wstawiając (4),  (5), (6), (7)  do   (1), otrzymujemy:

 

 \frac{(p_{1}- p_{2})S h}{T_{1}} = \frac{(p_{4}- p_{3})S(h +h_{2}- h_{3})}{T_{2}}.  

 

Z równania  tego znajdujemy 

 

 p_{4} = p_{3} + \frac{h(p_{1} - p_{2})T_{2}}{ (h +h_{2} - h_{3})T_{1}} (8)

 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru (8)

 

 p_{4} = 730mm Hg + \frac{100 mm ( 760mm Hg - 740mm Hg ) 293K }{ (100mm + 740mm -730mm) 273K} \approx 749 mm Hg.

 

Odpowiedź: wartość ciśnienia  wynosi ponad  749 mm  słupa rtęci.


  • 1


#129298 usługi telekomunikacyjne

Napisane przez janusz w 06.05.2017 - 21:15

b)

 

Dwustronny przedział ufności dla średniej (rozkład normalny,  mała próba, \sigma - znane).

 

\langle \overline{X_{10}} - \frac{S_{10}u_{0,02}}{\sqrt{10 -1}}, \ \  \overline{X_{10}} + \frac{S_{10} u_{0,02}}{\sqrt{10 -1}} \rangle (1)

 

 u_{0,02} jest kwantylem rozkładu Studenta rzędu  0,02 o  n-1 = 10-1 = 9 stopniach swobody.

 

Z tablicy  rozkładu Studenta odczytujemy wartość tego kwantyla  równą  2,821.

 

Podstawiając dane liczbowe do wzoru (1), otrzymujemy przedział:

 

 \langle 256 - \frac{30\cdot 2,821}{3}, \ \  256 + \frac{30 \cdot 2,821}{3} \rangle = \langle 227,79; \ \ 284, 21 \rangle  zł.

 

Błąd precyzji oszacowania  d =\frac{30 \cdot 2,821}{3} = 28,21 zł.

 

Interpretacja otrzymanego przedziału ufności

 

Należy oczekiwać, że przedział o końcach  227, 79 , \ \ 284, 21 złotych jest tym przedziałem ufności, który z prawdopodobieństwem  0,98 pokryje średnie miesięczne opłaty za usługi komunikacyjne w populacji  4 osobowych rodzin, a nie tylko  próby 10- elementowej.

 

Podobnie:

 

 a) ( \sigma znane)  -  dzielimy przez  \sqrt{n}= \sqrt{10}  i  wartość kwantyla  u_{\alpha}  rzędu  1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,01 =0,99 - odczytujemy z tablicy standaryzowanego rozkładu normalnego.

 

Błąd precyzji  obliczamy ze wzoru  d = \frac{u_{\alpha}\sigma}{\sqrt{n}}.


  • 1


#129297 liczba papierosów

Napisane przez janusz w 06.05.2017 - 20:11

Dane:

 

 n = 200, \ \ \sigma = 7, \ \ \alpha = 0,01.

 

Hipotezy:

 

 H_{0}: \sigma = 5;

 

 H_{1}: \sigma \neq 5.

 

Statystyka testowa:

 

 C= \frac{nS^2_{n}}{\sigma^2_{0}}.

 

Wartość statystyki testowej dla danej próby

 

 c= \frac{200\cdot 7^2}{5^2} = 392.

 

Dwustronny obszar krytyczny:

 

 K = \left\(0, \ \ k\rangle \cup \langle l, \ \ \infty \right \ ).

 

Wartość kwantyli rozkładu  \chi^2 o   n-1 = 200 -1 =199 stopniach swobody, rzędu  \frac{\alpha}{2}=0,005 i  1- \frac{\alpha}{2} = 0.995 odczytujemy z tablicy rozkładu  \chi^2  lub programu komputerowego na przykład R:

 

 P(Y_{199} \geq k) = 0.005, \ \ k \approx 151,4.

 

 P(Y_{199}\geq l = 0,995, \ \ l = \approx 254,1.

> k = qchisq(0.005,199)
> k
[1] 151.3699
> l = qchisq(0.995,199)
> l
[1] 254.1352
 
Wartość statystyki  c = 392 \in K = \left\ (0, \ \ 151,4\rangle \cup \langle 254, 1, \ \ \infty\right\).
 
Decyzja
 
Są podstawy do do odrzucenia hipotezy  H_{0}, że odchylenie standardowe ilości dziennie wypalanych papierosów przez studentów wynosi  5  sztuk i przyjęcia hipotezy alternatywnej  H_{1}, że odchylenie to jest różne od  5 sztuk dziennie.

  • 1


#129233 Równanie różniczkowe

Napisane przez janusz w 21.04.2017 - 21:07

 \omega = x^2 -y.

 

 \mu = \mu(x^2 -y)= \mu(\omega) .

 

 

 \left( Q(x,y) \omega'_{|x} - P(x,y) \omega'_{|y}\right)\mu'(\omega)= (P'_{|y}(x,y) - Q'_{|x}(x,y) )\mu .

 

 [ -2x + (\sqrt{\omega}+ 2x)] \mu'(\omega) = \left( \frac{-1}{2\sqrt{\omega}} - 0 \right)\mu.

 

 \sqrt{\omega} \frac{d\mu}{d\omega} = -\frac{1}{2\sqrt{\omega}} \mu .

 

\mu(\omega) = \frac{1}{\sqrt{\omega}}.

 

 \mu( x^2 -y) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - y}}.

 

 \left( 1 + \frac{2x}{\sqrt{x^2 -y}}\right ) dx - \frac{1}{\sqrt{x^2 -y }} dy = 0.

 

 \phi(x,y) = \int_{x_{0}}^{x}\left( 1 + \frac{2t}{\sqrt{t^2 -y}} \right)dt - \int_{y_{0}}^{y} \frac{1}{\sqrt{x^2 - t}}dt =...


  • 1


#129216 Nierownosc z parametrem

Napisane przez janusz w 13.04.2017 - 21:24

a)

 

Parabola ma  pod osią OX skierowana ramionami do dołu.

 

 

b)

 

Parabola nad osią OX skierowana ramionami do góry.

 

 

Dla  m=1 nierówność jest również spełniona dla każdej wartości  x\in R , bo otrzymujemy nierówność prawdziwą  1 > 0.


  • 1