Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

janusz

Rejestracja: 17 Oct 2009
Offline Ostatnio: wczoraj, 15:22
*****

Moje posty

W temacie: Dowód, zbiory

wczoraj, 14:59

Zapoznajmy się z elementami każdego ze zbiorów:

 

Zakładamy, że liczba  0   należy do zbioru liczb naturalnych,

 

 A = \{ n\in N: \ \ n>3\} = \{ 0, 4, 5, 6, ...,14,...28,...,100, 101,..., 140,...,154,...\}.

 

 B = \{ n\in N: \ \ 14|n \} = \{0, 14, 28,..., 140, 154,...\}.

 

 C =\{ n\in N, \ \ n>5\wedge 7|n \wedge n = 2k, \ \ k\in N \} = \{ 14,...,28, ..., 140,...,154,...\}

 

 A\subseteq B - nieprawda

 

 B\subseteq A -  prawda

 

 C\subseteq A -prawda

 

 B=C   - nieprawda


W temacie: Obliczyć alfa dla której wektor będzie prostopadły

09.10.2018 - 16:29

 \vec{V} = \vec{A} +\alpha \vec{B} = [3 + 4\alpha, 1 - 3\alpha , -3 + \alpha ],

 

\vec{V}\perp \vec{C} \leftrightarrow \vec{V}\cdot \vec{C} = 0.

 

[3+4\alpha, 1 - 3\alpha, -3+\alpha)] \cdot [-2, 3, 5] = -2(3+4\alpha)+ 3(1 - 3\alpha) +5(-3+\alpha) = -6 -8\alpha +3 - 9\alpha-15 +5\alpha =0

 

-12 \alpha -18 =0 , \ \ \alpha = -\frac{18}{12}= -\frac{3}{2}.


W temacie: Prawdopodobieństwo i zbiory

23.09.2018 - 16:23

 Z treści zadania wynika, że musimy skorzystać ze wzoru  na prawdopodobieństwo warunkowe:

 

 Pr(A|B) = \frac{Pr(A\cap B)}{P(B)} = \frac{|A\cap B|}{|B|} (1)

 

gdzie:

 

 \{A\cap B\} -  zdarzenie "  ostatnią liczbą jest   8 i pierwsza liczba jest liczbą parzystą".

 

Jakie jest prawdopodobieństwo takiego zdarzenia?

 

Zakładając, że wszystkie ustawienia liczb w ciąg są jednakowo możliwe:

 

 |A\cap B| = \{2, 4, 6 \} ...6!.. \{8\} = 3\cdot 6! (2)

 

 

 B   - zdarzenie " pierwszą liczbą jest liczba parzysta"

 

 |B| = {2, 4, 6, 8}.......= 4\cdot 7!   (3)

 

 Pr(A|B) = \frac{3\cdot 6!}{4\cdot 7!} = \frac{3}{4\cdot 7} = \frac{3}{28}.

 

 

Interpretacja otrzymanego wyniku

 

Jeśli będziemy ustawiali losowo w ciąg  kolejne liczby od  1 do  8 to w  10,8\% wszystkich takich  ustawień, jeżeli pierwszą  liczbą  będzie liczba parzysta   2,4,6, to ostatnią liczbą będzie   8.  


W temacie: 2 zadania z równań - pomocy!

19.09.2018 - 10:23

Zadanie 2

 

http://www.math.edu....t,studia,5799,0

 

Zadanie 1

 

 y^{''} + 9y = ctg(3x) (0)

 

Równanie charakterystyczne:

 

 r^2 +9 = 0, \ \ r_{1}= -3i, \ \ r_{2} = 3i .

 

Rozwiązania szczególne:

 

 y_{1} = \sin(3x), \ \ y_{2} = \cos(3x).

 

 

Wrońskian  rozwiązań szczególnych:

 

 W(x) = \left | \begin{matrix} \sin(3x)& \cos(3x)\\ 3\cos(3x)& -3\sin(3x) \end{matrix} \right| = -3\sin^2(x) - 3\cos^2(x) = -3\neq 0.

 

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego: 

 

 y_{0} = A\sin(3x) + B\cos(3x)

 

Poszukujemy całki ogólnej równania  niejednorodnego w postaci:

 

 y = A(x)\sin(3x) + B(x) \cos(3x) (1)

 

 

Nieznane funkcje  A(x), \ \ B(x)   znajdujemy z układu równań:

 

 A'(x)\sin(3x) + B'(x)\cos(3x) = 0

i

 3A'(x)\cos(3x) - 3B'(x)\sin(3x) = ctg (3x).

 

 

Rozwiązując ten układ na przykład metodą przeciwnych współczynników otrzymujemy (proszę sprawdzić):

 

A '(x) = \frac{1}{3}\cos(3x) ctg (3x), \ B'(x) = -\frac{1}{3}\cos(3x).

 

Stąd

 

 A(x) =\int \frac{1}{3} \cos(3x) ctg(3x) dx= \frac{1}{3} \int \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)}dx = \frac{1}{3}\int \frac{1 -\sin^2(x)}{\sin(x)} dx =...= \frac{1}{9} \cos(3x) + \frac{1}{9}\ln \left(ctg( \frac{3}{2}x)\right) + C.  

 

 

 B(x) = -\frac{1}{3}\int \cos(3x)dx = -\frac{1}{9} \sin(3x) + D . 

 

Podstawiając funkcje:  A(x), \ \ B(x)   do (1),  otrzymujemy rozwiązanie ogólne równania (0):

 

 y = C\sin(3x) + D\cos(3x) + \frac{1}{9}\sin(3x)\cos(3x) + \frac{1}{9}\sin(3x) \ln \left(ctg(\frac{3}{2}x) \right) - \frac{1}{9}\sin(3x}\cos(3x) = C\sin(3x) + D\cos(3x) + \frac{1}{9}\sin(3x) \ln \left(ctg (\frac{3}{2}x) \right) .


W temacie: Przynależność zdarzenia

19.09.2018 - 08:40

Ottt 

 

Nie można mieszać prawdopodobieństw zdarzeń z samymi zdarzeniami .

 

Prawdopodobieństwo zdarzenia jest wartością funkcji  z przedziału   [0,1]. Zdarzenie jest zbiorem ograniczonym lub nieograniczonym.

 

Zadanie  ma sens, gdy mamy najpierw wykazać  implikację:

 

Jeśli  P(A) = 0,9 i  P(B) = 0,7 to  P(A\cap B') < P(B') (1)

 

Dopiero po  wykazaniu (1)  na podstawie własności monotoniczności funkcji prawdopodobieństwa, możemy wnioskować, że zachodzi zawieranie się zdarzeń  A\cap B'\subset B'.