Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

tadpod

Rejestracja: 21 Dec 2007
Offline Ostatnio: Apr 03 2018 22:01
*****

#118838 Znajdź najmniejszą wartość funkcji

Napisane przez tadpod w 29.11.2014 - 00:20

Jaka jest najmniejsza wartość funkcji: f(x)=-3cos(300^{\circ} - 3x)

otóż, np. tak :

\bl f(x)= -3cos(300^{\circ} - 3x)= -3cos(-(3x-300^{\circ})= -3cos(3x-300^{\circ}, czyli \re -3 - szukana najmniejsza wartość funkcji f . :)


  • 1


#118837 Uprościć wyrażenie trygonometryczne

Napisane przez tadpod w 28.11.2014 - 23:54

Ile równe jest wyrażenie: 2sin7\alpha cos2\alpha-sin5\alpha

no to liczmy : ze wzoru na sinus sumy \bl sin(\al+\be)= sin\al cos\be+sin\be cos\al

np. tak :

\bl 2sin7\al cos2\al-sin5\al=  2sin(2\al+5\al) cos2\al-sin5\al=  2(sin2\al cos5\al+sin5\al cos2\al) cos2\al-sin5\al=

 2sin2\al cos2\al cos5\al+2sin5\al cos^22\al -sin5\al=  sin4\al cos5\al+2sin5\al cos^22\al -sin5\al=  sin4\al cos5\al+sin5\al (2cos^22\al -1)=

 sin4\al cos5\al+sin5\al (cos^22\al -sin^22\al)=  sin4\al cos5\al+sin5\al cos4\al= sin(4\al+5\al)= \re sin9\al

II sposób

natychmiastowy ze wzoru tablicowego, rzadziej stosowany \bl 2sin\al cos\be= sin(\al+\be)+cos(\al-\be) mamy

\bl 2sin7\al cos2\al-sin5\al= sin(7\al+2\al)+sin(7\al-2\al)-sin5\al= sin9\al+sin5\al-sin5\al= \re sin9\al i tyle . ... ;)


  • 1


#117723 Całka funkcji niewymiernej

Napisane przez tadpod w 24.10.2014 - 19:33

\int \frac{x^2 dx}{ \sqrt{4-x^2}}

..., np. przez części

I=\int \frac{x^2 dx}{ \sqrt{4-x^2}}=  \|u=x,\ to\ du=dx\ i\ dv=\frac{xdx}{\sqrt{4-x^2}},\ to\ v= \int \frac{xdx}{\sqrt{4-x^2}}\|= , gdzie

jeśli \sqrt{4-x^2}=t,\ to\ 4-x^2=t^2\ i\ x^2=4-t^2,\ 2xdx=-2tdt,\ xdx=-tdt, to v= \int \frac{-tdt}{t}= -\int dt=-t= -\sqrt{4-x^2} ,

zatem dalej   I= uv-\int vdu= -x\sqrt{4-x^2}+\int \sqrt{2^2-x^2}dx , a to jak mi się wydaje  już całka tablicowa (poszukaj sobie ją )


  • 2


#117541 Całka funkcji trygonometrycznej

Napisane przez tadpod w 20.10.2014 - 21:43

Oblicz całkę z funkcji trygonometrycznych: \int \frac{1+ \sin x}{1+cos x}dx

... , widziałbym przez podstawienie \bl sinx, cosx  w funkcji \re t=tg\frac{x}{2} , a teraz  online  próbowałbym kolejno tak :

\bl \int \frac{1+ \sin x}{1+cos x}dx= \int \frac{1}{1+cos x}dx + \int \frac{ \sin x}{1+cos x}dx= \int \frac{1-cos^2x+cos^2x}{1+cos x}dx + \int \frac{ \sin x}{1+cos x}dx=

\int \frac{1-cos^2x}{1+cosx}dx+\int \frac{cos^2x}{1+cos x}dx + \int \frac{ \sin x}{1+cos x}dx= \int \frac{(1+cosx)(1-cosx)}{1+cosx}dx+\int \frac{cos^2x}{1+cos x}dx - \int \frac{ -\sin x}{1+cos x}dx=

\int(1-cosx)dx+\int \frac{cos^2x}{1+cos x}dx - ln|sinx|+C= \int dx-\int cosxdx+\int \frac{cos^2x}{1+cos x}dx - ln|sinx|+C=

\re = x-snx -ln|sinx+ \bl I - ln|sinx|+C= , gdzie \bl I=  \re \int \frac{cos^2x}{1+cos x}dx=\ .. ??? ...

i może  dalej  sam(a), bo ja ... ;)  - jak na razie nie mam pomysłu innego jak  tylko podstawić  \re cosx=f\(tg\frac{x}{2}\)=f(t)


  • 2


#117526 Całkowanie za pomocą podstawienia 3

Napisane przez tadpod w 20.10.2014 - 12:06

Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć podane całki nieoznaczone:  \int \frac{dx}{\sqrt{4x-x^2}}

..., np. tak :

\re \int \frac{dx}{\sqrt{4x-x^2}} = \int \frac{dx}{\sqrt{4-4+4x-x^2}} = \int \frac{dx}{\sqrt{4-(4-4x+x^2)}} =  \int \frac{dx}{\sqrt{2^2-(x-2)^2}}=

= podstawienie :  \| x-2=t,\ dx=dt \|= \int \frac{dt}{\sqrt{2^2-t^2}}=  arcsin\frac{t}{2}+C= \re arcsin\frac{x-2}{2}+C .:)


  • 2


#117479 Rozłóż na czynniki

Napisane przez tadpod w 18.10.2014 - 14:58

Rozłóż wyrażenia na czynniki : 8a^2b^2 - 16ab =  ;   a^2 + 4ab +4b^2 =

..., np tak:

\bl 8a^2b^2 - 16ab =  8ab\cd ab-8ab\cd2= \re 8ab\cd (ab-20)  ;

\bl a^2 + 4ab +4b^2 = a^2 + 2\cda\cd2b +(2b)^2 = \re (a+2b)^2 . ... ;)


  • 2


#117453 Równanie z wartością bezwzględną

Napisane przez tadpod w 17.10.2014 - 12:55

2^{|x+2|}-|2^{x+1}-1|=2^{x+1}+1

...,    lub tak : 

ponieważ wyrażenia pod modułami  x+2=0\ \vee\ 2^{x+1}-1=0  \bl \Leftrightarrow   x=-2\ \vee\ 2^{x+1}=2^0  \bl \Leftrightarrow   x=-2\ \re \vee\  x=-1 , zerują się w tych argumentach x,

to  dane równanie jest równoważne alternatywiom  koniunkcji w następujący sposób:  \re 2^{|x+2|}-|2^{x+1}-1|=2^{x+1}+1  \bl \Leftrightarrow  

 

\bl \Leftrightarrow   x<-2\ \wed\ 2^{-x-2}-(-2^{x+1}+1)=2^{x+1}+1  \re \vee -2\le x\le- 1\ \wed\ 2^{x+2}-(-2^{x+1}+1)=2^{x+1}+1  \re \vee\ x>-1\ \wed\ 2^{x+2}-(2^{x+1}-1)=2^{x+1}+1  \bl \Leftrightarrow

 

\bl \Leftrightarrow   x<-2\ \wed\ 2^{-x-2}+2^{x+1}-1=2^{x+1}+1  \re \vee  -2\le x\le- 1\ \wed\ 2^{x+2}+2^{x+1}-1=2^{x+1}+1  \re \vee\ x>-1\ \wed\ 2^{x+2}-2^{x+1}+1=2^{x+1}+1  \bl \Leftrightarrow  

 

\bl \Leftrightarrow   x<-2\ \wed\ 2^{-x-2}=2^1  \re \vee  -2\le x\le- 1\ \wed\ 2^{x+2}=2^1  \re \vee\ x>-1\ \wed\ 2^{x+2}=2\cd2^{x+1}  \bl \Leftrightarrow

 

\bl \Leftrightarrow   x<-2\ \wed\ -x-2=1  \re \vee  -2\le x\le- 1\ \wed\ x+2=1  \re \vee\ x>-1\ \wed\ 2^{x+2}=2^{x+2} \ \bl \Leftrightarrow\   x<-2\ \wed\ x=-3  \re \vee  -2\le x\le- 1\ \wed\ x=-1  \re \vee\ x>-1\ \wed\ x\in \mathb{R}  \bl \Leftrightarrow

 

\bl \Leftrightarrow\    x=-3  \re \vee   x=-1  \re \vee\ x>-1  \bl \Leftrightarrow\    x=-3  \re \vee  x\ge-1  \bl \Leftrightarrow\   \re x\in\{-3\}\ \cup\ \<-1;+\infty\)   - zbiór rozwiązań danej nierówności . .. ;)


  • 2


#117404 Funkcja wykładnicza

Napisane przez tadpod w 15.10.2014 - 13:05

( \sqrt{2- \sqrt{3} } )^x + ( \sqrt{2+ \sqrt{3} } )^x =4

... np. tak : 

niech np. \sqrt{2- \sqrt{3}}=t\ /^2  i  \re t\ >0  \bl \Rightarrow   2- \sqrt{3}=t^2 /\cd (2+\sqrt{3})  \ \bl \Rightarrow   4-3=t^2(2+\sqrt{3})  \bl \Rightarrow  2+\sqrt{3}= \frac{1}{t^2} , wtedy dane równanie:

\re (\sqrt{2- \sqrt{3}})^x+(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x=4  \bl \Leftrightarrow    t^x+\frac{1}{t^x}= 4\ /\cd t^x  \bl \Leftrightarrow   t^{2x}-4t^x+1=0/\ +3  \bl \Leftrightarrow   t^{2x}-4t^x+4=3  \bl \Leftrightarrow   (t^x-2)^2= 3  \bl \Leftrightarrow

\bl \Leftrightarrow    |t^x-2|=\sqrt3  \bl \Leftrightarrow    t^x-2= \pm \sqrt3  \bl \Leftrightarrow    t^x= 2 \pm \sqrt3  \bl \Leftrightarrow    t^x=2-\sqrt3\ \vee\ t^x= 2+\sqrt3= (2-\sqrt3)^{-1}  \bl \Leftrightarrow  

 

\bl \Leftrightarrow    (\sqrt{2-\sqrt3})^x=(\sqrt{2-\sqrt3})^2  \re \vee  (\sqrt{2-\sqrt3})^x= (\sqrt{2-\sqrt3})^{-2}  \bl \Leftrightarrow    x=2  \re \vee   x=-2  \bl \Leftrightarrow   \re x\in\{-2,2\} - szukany zbiór rozwiązań .


  • 1


#117403 Nierówność logarytmiczna

Napisane przez tadpod w 15.10.2014 - 12:02

2^{log_{8}(x^2-6x+9)}<\ 3^{2log_{3}\sqrt{x}-1}

..., no to może tak :

2^{log_{8}(x^2-6x+9)}<\ 3^{2log_{3}\sqrt{x}-1}  i  x>0  \ \bl \Rightarrow\  2^{\frac{1}{3}log_2(x-3)^2}<\ \frac{1}{3}\cd3^{log_3x}\ /\cd 3   i  x>0\ i\ x\ne3  \ \bl \Rightarrow\    3\sqrt[3]{(x-3)^2} <\ x\ /^3  \ \bl \Leftrightarrow\  

\bl \Leftrightarrow\   \re x^3\ >\ 27(x-3)^2 , teraz narysuj sobie wykresy lewej i prawej strony tej nierówności w jednym układzie XOY pamiętając, że \re x>0\ i\ x\ne 3 ,

zaznacz przedziały w  jakich  krzywa 3-ego stopnia \re y=x^3 leży ponad parabolą  \re y=27(x-3)^2 , to będziesz  miała  rozwiązanie graficzne tej

nierówności, no i nie przeocz pustych kółeczek na wykresach w punktach o odciętej \bl x_o=3, wtedy na kolokwium zapewne dostaniesz jakiś ...

:) bonus, a może coś ... więcej; oczywiście jak znasz jakąś metodę przybliżoną to znajdź analitycznie \bl x_1, x_2 punktów przecięcia się tych wykresów,

a tym samym końce przedziałów rozwiązania danej  nierówności . ...


  • 1


#116155 Obliczanie kwoty do zapłaty z kwoty netto + podatek

Napisane przez tadpod w 15.07.2014 - 10:54

... ,  ;) ogólnie wyłączyć jakiś czynnik (nie musi być  wspólny) np. \bl ac przed (za) nawias sumy algebraicznej

np. takiej a+b-c  to znaczy zrobić nic innego jak podzielić (oczywiście "w głowie") tę sumę przez ten czynnik,

czyli \re a+b-c=ac\(\frac{a}{ac}+\frac{b}{ac}-\frac{c}{ac}\)=  i poskracać ile się da !!, a więc tu dalej \re=ac\(\frac{1}{c}+\frac{b}{ac}-\frac{1}{a}\) i to tyle ...


  • 1


#116113 Najmniejsza wartość wyrażenia

Napisane przez tadpod w 07.07.2014 - 11:17

Znaleźć najmnieszą wartość wyrażenia  \frac{1}{log\frac{4a-2}{a}\cdot log\frac{1}{a}} \ dla \ \frac{2}{3}<a<1

... , otóż  widzę to tak :dane wyrażenie osiąga najmniejszą wartość \ \Leftrightarrow mianownik log\frac{4a-2}{a}\cdot log\frac{1}{a} przyjmuje wartość największą ; ponieważ

w \(\frac{2}{3};\ 1\) czynniki mianownika i ich liczby logarytmowane są dodatnie, więc on sam będzie największy \ \Leftrightarrow\ te czynniki będą równe, czyli

 \Leftrightarrow\ \bl log\frac{4a-2}{a}=log\frac{1}{a} \ \Leftrightarrow    \frac{4a-2}{a}=\frac{1}{a} \ \Leftrightarrow   4a-2=1\ \Leftrightarrow \bl a=\frac{3}{4}  \in(\frac{2}{3};1)\ , a więc \bl \(log\frac{4}{3}\)^2   - największa wartość mianownika \bl log\frac{4a-2}{a}\cdot log\frac{1}{a},

a jego odwrotność, czyli \re \(log\frac{4}{3}\)^{-2}  \approx (0,1249)^{-2}\approx\re 64,06- szukana najmniejsza wartość danego wyrażenia. . ... ;)

------------------------------------------ 

p.s. skorzystałem tu z nierówności \sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}\ \tex dla\ x>0, y>0,\ gdzie\ \sqrt{xy}=\frac{x+y}{2} \ \Leftrightarrow    x=y


  • 1


#115683 Trójkąt równoboczny

Napisane przez tadpod w 08.06.2014 - 11:25

Jeżeli w trójkącie zachodzi równość h_a^2+h_b^2+h_c^2=p^2, gdzie h_a^2, h_b^2, h_c^2- wysokości trójkąta, a p- połowa obwodu, to trójkąt jest równoboczny.

...,  no to może zacznij tak :wiadomo, że pole trójkąta S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}ch_c  \Rightarrow \bl h_a=\frac{2S}{a} itp., więc

\bl h_a^2+h_b^2+h_c^2=p^2 \ \Rightarrow   h_a^2+h_b^2+h_c^2-\frac{1}{4}(a+b+c)^2= 0 \ \Rightarrow \frac{4S^2}{a^2}+\frac{4S^}{b^2}+\frac{4S^2}{c^2}-\frac{1}{4}(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac)= 0 \ /\cd 4a^2b^2c^2 \ \Rightarrow   itd.

albo może kombinuj z kątami, bo np. S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}absin\ga  \Rightarrow \bl h_a=bsin\ga i analogicznie itp, itd., a to nawet ciekawe i może i lepsze od powyżej . ... :)


  • 1


#115332 Zbiór wartości

Napisane przez tadpod w 21.05.2014 - 16:40

Wyznacz zbiór wartości funkcji:  f(x)=cos^22x-cos2x-2

..., np.tak :  rozpatruję funkcję f jako funkcję kwadratową zmiennej cos2x, a więc

\bl f(cos2x)=  cos^22x-cos2x-2=cos^22x-2cos2x\cd \frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-2= \bl (cos2x-\frac{1}{2})^2-2\frac{1}{4}, czyli f osiąga wartość najmniejszą \bl f(\frac{1}{2})= -2\frac{1}{4},

ale z własności funkcji y=cos2x ,|cosx|\le1, więc \bl f(-1)= (-1-\frac{1}{2})^2-2\frac {1}{4}= \bl 0 , oraz \bl f(1)= (1-\frac{1}{2})^2-2\frac {1}{4}= \bl-2, zatem oznacza

to, że \bl -2\frac{1}{4}\le f(x) \le 0 , czyli   \re E_{f}=\<-2\frac{1}{4};\ 0\> - szukany zbiór wartości danej funkcji. ... :)


  • 1


#115213 Funkcje trygonometryczne sumy kątów

Napisane przez tadpod w 09.05.2014 - 09:10

Sprawdź ,czy prawdziwe są następujące tożsamości:

cos\alpha cos(\alpha + \beta ) + sin\alpha sin(\alpha + \beta )= cos \beta

lub z tablicowego wzoru  cos\al cos\be+sin\al sin\be=cos(\al-\be) i parzystości funkcji

y=cosx, czyli cos(-\al)=cos\al

 \re L= cos(\al-\al-\be)= cos(-\be)=cos\be=\re P , a więc TAK, jest to tożsamość. ;)


  • 1


#114367 Rozwiąż nierówność

Napisane przez tadpod w 27.03.2014 - 16:27

sqrt{x+4}-x+2>0

...., np. tak : z definicji pierwiastka stopnia parzystego  interesują nas tylko takie x, że  x+4\ge 0 , czyli (*) \re x\ge -4 ,

wtedy

\re \sqrt{x+4}-x+2\ >0   \ \bl \Leftrightarrow\    \sqrt{x+4}-(x+4)+6\ >0   \ \bl \Leftrightarrow\    \sqrt{x+4}-(\sqrt{x+4})^2+6\ >0\ /\cd (-1) \ \bl \Leftrightarrow\

\bl \Leftrightarrow\   (sqrt{x+4})^2-\sqrt{x+4}-6<\ 0\ \ \bl \Leftrightarrow\   (sqrt{x+4}+2)(\sqrt{x+4}-3)<\ 0\ \ \bl \Leftrightarrow\    \sqrt{x+4}-3<\ 0 \ \bl \Leftrightarrow\

\bl \Leftrightarrow\    \sqrt{x+4}<\ 3\ \ /^2 obustronnie \ \bl \Leftrightarrow\   x+4<\ 9\ i\ x\ge -4  z (*)  \ \bl \Leftrightarrow   -4\le x < 5 \ \bl \Leftrightarrow  x\in [-4;\ 5)\re . ... ;)


  • 2