Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

tadpod

Rejestracja: 21 Dec 2007
Offline Ostatnio: Apr 03 2018 22:01
*****

#69929 pochodna z definicji

Napisane przez tadpod w 19.08.2010 - 20:34

Żartowniś :P e mogę dawać linków do konkurencyjnego forum, więc powiem tylko, że wystarczy znać dowód na pochodną funkcji złożonej w pkt. ;]

... no jasne, żartowniś i widzę, że ci chyba "płacą" z tego twojego konkurencyjnego forum, bo ciągle czytam w twoich postach o niczym innym,
tylko o tym tajemniczym forum ... z krainy dreszczowców, które ja jednak oleję i nie będę szukać. ... :rolleyes:
  • 1


#69908 pochodna z definicji

Napisane przez tadpod w 19.08.2010 - 15:42

hmm, ... kurcze, macie chyba rację, bo nie pomyślałem o tym, że do obliczenia granicy użyłem metody H w której korzystam
z operacji różniczkowania ( ale nie z definicji pochodnej), bo na inny sposób jej obliczenia nie wpadłem, no
ale ty miki mógłbyś się pochwalić swoja metodą obliczenia tej granicy - może być w nie całej ... rozciągłości, . ... :rolleyes:
  • 1


#69876 pochodna z definicji

Napisane przez tadpod w 18.08.2010 - 14:25

f(x)=2^sqrt{x} w punkcie  x=4

... otóż, np. tak: z definicji pochodnej w punkcie  f'(x_o)=\lim_{x\to x_o} \frac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o} i reguły l'Hospitala
masz
 f'(4)=\lim_{x \to 4} \frac{2^{\sqrt x}-f(4)}{x-4}= \lim_{x \to 4} \frac{2^{\sqrt x}-2^{\sqrt4}}{x-4}= \lim_{x \to 4} \frac{2^{\sqrt x}-4}{x-4}\ \bl \overset {H}{=}\  \lim_{x \to 4} \frac{\(2^{\sqrt x}-4\)'}{(x-4)'}= \lim_{x \to 4} \frac{2^{\sqrt x}ln2\cdot \frac{1}{2\sqrt x}}{1}=

= \lim_{x \to 4}\  \frac{2^{\sqrt x}}{2\sqrt x}\cdot ln2= \frac{2^{\sqrt 4}}{2\sqrt 4}\cdot ln2= \frac{2^2}{2\cdot 2}\cdot ln2=\re  ln2\ - szukana wartość pochodnej w punkcie . ... :rolleyes: ^{^{*R}}
  • 1


#69874 Punkty nieciągłości funkcji

Napisane przez tadpod w 17.08.2010 - 20:31

Wyznacz punkty nieciągłości funkcji: f(x)= \begin{cases}  \frac{x+2}{x^2-4}\ \mbox{dla} \ x \neq -2 \ \mbox{i} \ x \neq 2  \\ - \frac{1}{4} \ \mbox{dla} \ x=2 \ \mbox{lub} \ x=-2  \end{cases}

...otóż,punktów nieciągłości możesz się spodziewać w x=2\ lub x=-2, dlatego badasz granice w tych punktach
i tak
\{\lim _{x\to 2^{\pm}}\ \frac{x+2}{x^2-4}=\lim _{x\to 2^{\pm}}\ \frac{1}{x-2}=\frac{1}{2^{\pm}-2}=\[\frac{1}{0^{\pm}}\]=\pm\infty\ \ne f(2)=-\frac{1}{4}\\ \lim _{x\to -2^{\pm}}\ \frac{x+2}{x^2-4}=\lim _{x\to -2^{\pm}}\ \frac{1}{x-2}=\frac{1}{-2^{\pm}-2}=-\frac{1}{4}=\ f(-2)=-\frac{1}{4}<br />, a więc tylko w punkcie \re x=2

dana funkcja f nie jest ciągła (jest w nim tzw. nieciągłość II-ego rodzaju). ... :rolleyes: ^{^{*R}}
  • 1


#69871 oblicz granice

Napisane przez tadpod w 17.08.2010 - 18:51

\lim_{x \to 0}\ \frac{ln(cos2x)}{ln(cosx)}=4

... lub stosując dwukrotnie regułę de'Hospitala,np
tak:
\lim_{x \to 0}\ \frac{ln(cos2x)}{ln(cosx)}\ \bl \overset{H}{=}\ \lim_{x \to 0}\ \frac{\frac{1}{cos2x}\cdot (-sin2x)\cdot 2}{\frac{1}{cosx}\cdot (-sinx)}=\lim_{x \to 0}\ \frac{2tg2x}{tgx}\ \bl  \overset{H}{=}\ \lim_{x \to 0}\ \frac{2\cdot\ \frac{1}{cos^2 2x}\ \cdot 2}{\frac{1}{cos^2x}}=\lim_{x \to 0}\ 4\cdot\  \frac{cos^2x}{cos^2 2x}=4 \cdot \ \frac{1}{1}=\ \re 4. ... :rolleyes: ^{^{*R}}
  • 1


#69870 Zadanie z resztą

Napisane przez tadpod w 17.08.2010 - 18:21

Pewną liczbę naturalną c podzielono przez 90 i otrzymano resztę 56. Oblicz resztę z dzielenia liczby c przez 15.

... lub z treści zadania dla k\in N kolejno np.
tak:
\frac{c}{90}=k+\frac{56}{90}\ /\cdot 6\ \bl \Leftrightarrow\\frac{c}{15}=6k+\frac{56}{15}\ \bl \Leftrightarrow\\frac{c}{15}=6k+\frac{45+11}{15}\ ... i już widać szukaną resztę \ \re r=11, bo

dalej \ \bl \Leftrightarrow\\frac{c}{15}=6k+3+\frac{11}{15}\ /\cdot 15\ \bl \Leftrightarrow\\re c=15m+11\ , gdzie  m=6k+3=3(2k+1)\in N. ... :rolleyes: ^{^{*R}}
  • 2


#69802 Prostokąt

Napisane przez tadpod w 13.08.2010 - 15:41

Prostokąt o 2 cm i 5 cm rozcięto na dwa różne prostokąty podobne. Oblicz wymiary mniejszego z tych prostokątów

... o! natrafiłem na ciekawe, ... "nie ruszone" zadanie, które proponuję rozwiązać np. tak:
z warunków zadania wynika, że przy danych warunkach zadania, mogę "rozciąć" dany prostokąt
tylko prostopadle do dłuższego boku, a wtedy mam już 2cm - szukany dłuższy bok i z proporcji
\frac{x}{2}=\frac{2}{5} \ \bl \Leftrightarrow\ x=\frac{4}{5}= \re  0,8\ cm - szukany krótszy bok . ... :rolleyes: ^{^{*R}}
  • 1


#68702 Funkcja gęstości prawdopodobieństwa

Napisane przez tadpod w 10.06.2010 - 15:49

Sprawdzić że funkcja P(1<x<2)

... otóż, ja nie ... :) widzę twojego rozwiązania, a chciałbym to zobaczyć np. tak
\[-\frac{1}{e^{\infty}}+\frac{1}{e^0}\]=[-0+1]=\int_{1}^{2}f(x)dx= \int_{1}^{2}e^{-x}dx=-e^{-x}\|_1^2=-e^{-2}-\(-e^{-1}\)=\frac{1}{e}-\frac{1}{e^2}=^{^{*R}}
  • 1


#63970 Okrag opisany na trapezie

Napisane przez tadpod w 09.04.2010 - 21:34

W traapezie równoramiennym jedna z podstaw jest 2 razy dłuższa od drugiej, a przekątna jest dwusieczną kata przy dłuższej
podstawie. Oblicz długości boków tego traapezu wiedząc, że jego pole jest równe 9cm2. Oblicz pole koła opisanego na tym traapezie.

... otóż, to zadanie na tym forum rozwiązywałem już chyba nie raz, dlatego powiem np. tak
łatwo wykazać, że jego ramiona i krótsza podstawa są równe np. ^{^{*R}}
  • 1


#21972 wyrażenie i przedział do którego należy x

Napisane przez tadpod w 02.11.2008 - 22:53

Wyrażenie W(x)= \frac {\sqrt {4x^{2}-20x+25}}{25-4x^{2}} dla pewnej liczby  x można przedstawić w postaci W(x)= \frac{1}{2x+5}. Do jakiego przedziału liczbowego należy x ?

hmm ... :? , otóż,

\re  W(x)= \frac {\sqrt {4x^{2}-20x+25}}{25-4x^{2}} = \frac {\sqrt {(2x)^2-2\cdot 5\cdot x+5^2}}{5^2-(2x)^2} = \frac {\sqrt {(2x-5)^2}}{(5-2x)(5+2x)} = \frac {|2x-5|}{(5-2x)(2x+5)}=

= \frac {|-(5-2x)|}{(5-2x)(2x+5)} = \frac {|-1|\cdot |5-2x|}{(5-2x)(2x+5)} = \frac {|5-2x|}{(5-2x)(2x+5)} = \frac {\cancel{5-2x}}{(\cancel{5-2x})(2x+5)} \re =\frac{1}{2x+5} \ \bl \Leftrightarrow

 \bl \Leftrightarrow \fbox{\ 5-2x>0}\  \bl \Leftrightarrow\ 5>2x\ /:2 \ \bl \Leftrightarrow\  \fbox{\re  x<\frac{5}{2}} \ \bl \Leftrightarrow\  \fbox{\re  x\in \left(-\infty;\ \frac{5}{2}\right )}\ - szukany przedział wartości  \re x
spełniający warunki zadania . ... 8)
  • 1


#5810 Układ równań --- napełnianie zbiornika

Napisane przez tadpod w 02.03.2008 - 17:23

Przy jednoczesnej pracy dwóch kranów zbiornik można zapełnić w ciągu 1 godziny 20 minut. Jeśli pierwszy kran będzie otwarty 10 minut,
a drugi 12 minut, to napełnią 2/15 zbionika. W jakim czasie może napełnić zbiornik każdy kran osobno?

otóż, niech 1-szy kran napełnia zbiornik w ciągu \ x godzin (h), to wydajność tego kranu oznacza, że w ciągu \ 1h napełni on \ \frac{1}{x}\ część zbiornika,
zaś, jeżeli w czasie \ y (h) - napełnia zbiornik 2-gi kran, to wydajność (sprawność) tego kranu oznacza, że w ciągu \ 1h ten kran napełni \ \frac{1}{y} część tego zbiornika.

No to czytamy pierwsze zdanie treści zadania i mamy równanie: \ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac {1}{1h\  20 min}\ <=> \ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{1\frac{20}{60}}\ <=> \ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{1\frac{1}{3}}\  <=> \ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{\frac{4}{3}}\  <=> \ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4}\  ,

zaś czytając drugie zdanie w treści, mamy,że 1-szy kran będąc otwarty \ 10\ min=\frac{10}{60}h=\frac{1}{6}h\ napełni \  \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{6x}\ część zbiornika i analogicznie rozumując

2-gi otwarty kran napełni \ \frac{12}{60}\cdot \frac{1}{y}= \frac{1}{5}\cdot {1}{y}=\frac{1}{5y}\ część zbiornika, zatem razem napełnią \ \frac{2}{15}\ część zbiornika, czyli mamy równanie: \ \frac{1}{6x}+\frac{1}{5y}=\frac{2}{15}\ . I w ten sposób

musimy rozwiązać układ równań: \ \{  \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4}\ /\cdot 4\\ \frac{1}{6x}+\frac{1}{5y}=\frac{2}{15}\ /\cdot 30\ <=> \ \{ 4 \frac{1}{x}+4\frac{1}{y}=3\ /\cdot (3)\\ 5\frac{1}{x}+6\frac{1}{y}=4\ /\cdot (-2)\ <=> \ \{12\frac{1}{x}+12\frac{1}{y}=9\\ -10\frac{1}{x}+-12\frac{1}{y}=-8\ => dodając stronami równania układu

otrzymujemy układ równoważny: \ \{2\cdot \frac{1}{x}=1\\ \frac{1}{y}=\frac{3}{4}-\frac{1}{x}\ <=> \ \{x=2\\ \frac{1}{y}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\ <=> \ \{x=2\\ \frac{1}{y}=\frac{3}{4}-\frac{2}{4}\ <=> \ \{x=2\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{4}\ <=> \ \{x=2\\ y=4\  .

Odp. Otwarty tylko 1-szy kran, napełni zbiornik w 2 godziny, a otwarty tylko 2-gi , napełni ten zbiornik w  4 godziny . ... :rolleyes:
  • 1


#5357 Długość odcinka łączącego środki podstaw trapezu

Napisane przez tadpod w 25.02.2008 - 00:05

Podstawy trapezu mają długość a i b (a>b). Suma miar kątów wewnętrznych
przy dłuższej podstawie wynosi 90 stopni. Oblicz długość odcinka łączącego środki podstaw trapezu.

otóż, piękne zadanie, trzeba tylko zauważyć, że przedłużając ramiona danego trapezu do przecięcia się, otrzymujemy trójkąt prostokątny o kącie
\ 90^o\ przy tym punkcie przecięcia (dodaj do siebie kąty przy podstawie trapezu: \ \alpha +90^o-\alpha=90^o\ , więc ...).Teraz poprowadź z tego wierzchołka
kąta prostego środkową trójkąta, to oczywiście przecina ona podstawy trapezu w ich środkach i odcinek łączący je, to odcinek, którego długość mamy znaleźć,
oznaczmy go więc przez \ x\ . I jeszcze jedno musimy sobie powiedzieć, otóż odcinek śodkowej tego trójkąta jest połową przeciwprostokątnej
(jest długością promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym) i równa się   \frac{a}{2} \ . No to powiedzieliśmy sobie już wszystko. Teraz więc
z podobieństwa odpowiednich trójkątów, lub z tw. Talesa mamy proporcję np. taką: \ \frac {\frac{a}{2}-x}{\frac{a}{2}}\ =\ \frac{b}{a}\ <=> \ \frac{a-2x}{a}\ =\ \frac{b}{a}\ <=> \ a-2x=b\ <=>
<=> \ x=\frac{a-b}{2}\ - szukana długość. ... 8)
  • 1