Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

tadpod

Rejestracja: 21 Dec 2007
Offline Ostatnio: Apr 03 2018 22:01
*****

#123843 Przekrój ostrosłupa

Napisane przez Jarekzulus w 14.10.2015 - 22:58

Ereinion  - zwracam honor, literki mi się pomyliły

 

Po prostu spodek wysokości trójkąta DBG z wierzchołka G (punkt I) nie pokrywa się, że spodkiem wysokości z trójkąta DBC z wierzchołka C (punkt J)

 

|GH|=\frac{1}{2}H bezapelacyjnie :D    oraz     IH=\frac{1}{2}|JC|      i       jeszcze    |JG|=|EG|=|CG|=\frac{1}{2}|CF|     mam nadzieję, że teraz jest ok

 

Basiu masz rację one są równoległe - jakoś mi punkt I zjechał (na prostokącie już to lepiej widać, że równoległe)

 

Ja chciałem napisać, że |GK|>\frac{1}{2}H (do spodka) tyle, że go jeszcze nie było na rysunku    a    \frac{1}{2}|JC|> |KJ|

 

eee za dużo tych literek :)

 

p.s. Dałem obliczenia w 1 poście

 

Pozdrawiam


  • 2


#123840 Przekrój ostrosłupa

Napisane przez bb314 w 14.10.2015 - 21:08

\bl GH\re\,=\,\bl\fr12\cd EF

 

a rysunek ma błąd - powinno być  HI\parallel CJ gdyż  I jest środkiem odcinka EJ

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

  • 2


#123835 Przekrój ostrosłupa

Napisane przez Ereinion w 14.10.2015 - 10:49

Bardzo lubię robić zadania po Jarku, bo robi on wysokiej jakości rysunki, więc i tym razem pozwolę sobie z takiego "gotowca" skorzystać. Czyli oznaczenia jak u Jarka :)

 

Niech h - wysokość \Delta BCD. Wtedy

 

|HI| = \frac{1}{2} \cdot h oraz |GH| = \frac{1}{2} \cdot H

 

Stąd

 

P_{BGD} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{\frac{h^2+H^2}{4}} = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2)\left(H^2 + \frac{a^2b^2}{a^2+b^2} \right)} = \frac{1}{4}\sqrt{H^2a^2+H^2b^2 + a^2b^2}


  • 2


#123832 Przekrój ostrosłupa

Napisane przez Jarekzulus w 13.10.2015 - 23:27

pre_1444774296__przek.jpg

 

\alpha=\beta bo równoległy przekrój

 

Boki prostokąta |BC|=b    |AB|=a

|IG| - wysokość przekroju BDG    Trójkąt BDG nie jest równoramienny choć wygląda :bigshock:

|BD|=|AC|=\sqrt{a^2+b^2}       wiadomo dlaczego

 

z tw Talesa  dla ACF          CG=\frac{1}{2} CF

 

I to jest punkt wyjścia do dalszych rozważań

 

Odcinki BG i DG środkowe odpowiednio w trójkątach BCF i DCF i możemy policzyć ich długość ze wzoru

 

środkowa \fbox{d= \frac{1}{2} \sqrt{ 2a^2 + 2b^2 - c^2}} (nie mylić z bokami a, b - to tylko wzór ogólny na środkową opadającą na bok c dla trójkąta o bokach a,b,c

 

Najpierw jednak krawędź boczna L

 

z tw Pitagorasa L^2=\frac{1}{4}(a^2+b^2)+H^2=\frac{4H^2+a^2+b^2}{4}

 

I teraz środkowa |BG|=\frac{1}{2} \sqrt{2b^2+2L^2-L^2}=\frac{1}{2} \sqrt{2b^2+L^2}

 

analogicznie         |DG|=\frac{1}{2} \sqrt{2a^2+2L^2-L^2}=\frac{1}{2} \sqrt{2a^2+L^2} i trzeba podstawić L^2

 

A teraz pole przekroju ze wzoru Herona

 

\fbox{\re {S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}}

 

Niech wymiary rzeczonego trójkąta to x,y,z, czyli |BD|=x        |BG|=y         |DG|=z      wtedy mamy

 

P=\frac{1}{4}\cdot\sqrt{(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)}=\frac{1}{4}\sqrt{(x^2+2xy+y^2-z^2)(-x^2+2xy-y^2+z^2)}=\\ \frac{1}{4}\sqrt{-x^4+2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2-y^4-z^4}

 

Teraz podstawmy i po redukujmy

 

\bl \fbox{x=\sqrt{a^2+b^2}\Rightarrow x^2=a^2+b^2\\y=\frac{1}{2} \sqrt{2b^2+L^2}=\frac{1}{2} \sqrt{2b^2+\frac{4H^2+a^2+b^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9b^2+a^2+4H^2}{4}}\Rightarrow y^2=\frac{9b^2+a^2+4H^2}{16}\\z^2=\frac{1}{2} \sqrt{2a^2+L^2}=\frac{1}{2} \sqrt{2a^2+\frac{4H^2+a^2+b^2}{4}}\Rightarrow z^2=\frac{9a^2+b^2+4H^2}{16}

 

P=\frac{1}{4}\sqrt{-(a^2+b^2)^2+2(a^2+b^2)\(\frac{9b^2+a^2+4H^2}{16}\)+2(a^2+b^2)\(\frac{9a^2+b^2+4H^2}{16}\)+2(\frac{9b^2+a^2+4H^2}{16})(\frac{9a^2+b^2+4H^2}{16})-(\frac{9b^2+a^2+4H^2}{16})^2-(\frac{9a^2+b^2+4H^2}{16})^2}

 

=\frac{1}{4}\sqrt{a^2H^2+a^2b^2+b^2H^2}=\frac{1}{4}\sqrt{=a^2h^2+a^2b^2+b^2h^2}

 

 

Czyli pole wynosi \fbox{\fbox{P=\frac{1}{4}\sqrt{=a^2h^2+a^2b^2+b^2h^2}}


  • 2


#123309 Całka wymierna podchodzi pod metodę Ostrogradskiego

Napisane przez Jarekzulus w 02.09.2015 - 22:06

Albo jeszcze bardziej elegancko :)    (podejście bardzo bardzo podobne)

 

Też przez części choć może nieco prościej w zapisie.

 

Pierwszy krok przekształcamy całkę \int \frac{dx}{(x^2+a)^n}  do postaci A\int\frac{dt}{(t^2+1)^n}  Gdzie A to pewna liczba - jak to zrobić pokazałem dwa posty wyżej

 

Pomijając liczbę A i zamieniając t na x (tylko dla wygody) obliczmy całkę

 

I_n=\int \frac{dx}{(1+x^2)^n}

 

całkuje funkcję o indeksie o jeden mniejszym czyli staramy się policzyć całkę      \int \frac{dx}{(1+x^2)^{n-1}} a jako produkt uboczny dostaniemy naszą całkę :) Ot taki sprytny pomysł.

 

Całkujemy przez części biorąc                

f(x)=\frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}                            g'(x)= 1

 

f'(x) patrz niżej                                      g(x)=x

 

 

 

\fbox{\(\frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}\)'=\frac{-(n-1)(1+x^2)^{n-2}\cdot 2x}{((1+x^2)^{n-1})^2}=\frac{-(n-1)(1+x^2)^{n-1}\cdot (1+\cdot x^2)^{-1}\cdot 2x}{(1+x^2)^{n-1}\cdot (1+x^2)^{n-1}}=\frac{-(n-1)\cdot 2x}{(1+x^2)^{n-1}\cdot (1+x^2)}=-\frac{(n-1)\cdot 2x}{(1+x^2)^{n}}}

 

I_{n-1}=\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}+2(n-1)\int \frac{x^2}{(1+x^2)^n}dx=\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}+2(n-1)\int \frac{1+x^2-1}{(1+x^2)^n}dx=\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}+2(n-1)\int \frac{dx}{(1+x^2)^{n-1}}-2(n-1)\int \frac{dx}{(1+x^2)^n}

 

czyli

 

I_{n-1}=\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}+2(n-1)I_{n-1}-2(n-1)I_n

 

Jak przeniesiemy dostaniemy

 

(2n-2)I_n=\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}+(2n-3)I_{n-1}

 

czyli

 

\int\frac{dx}{(1+x^2)^n}=\frac{x}{(2n-2)(1+x^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2n-2}\int\frac{dx}{(1+x^2)^{n-1}}


  • 3


#123308 Całka wymierna podchodzi pod metodę Ostrogradskiego

Napisane przez janusz w 02.09.2015 - 21:15

Rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste 

 

  \frac{1}{(x^2+13)^3} = \frac{Ax+B}{x^2+13}+ \frac{Cx+ D}{(x^2+13)^2} + \frac{Ex+F}{(x^2+13)^3}.

 

Po obliczeniu współczynników A,B,C,D,E,F każdą z trzech całek obliczamy metodami podstawienia.


Można pokusić się na elegantszą metodę obliczenia tej całki, jako całki rekurencyjnej

 

Zapisujemy  

 x^2 +c = \frac{1}{4}\[(2x)^2 +4c\].

 

Podstawiamy

   2x = t, dx = \frac{dt}{2}, \ \ 4c = \Delta.

 

Mamy całkę

 

I_{n} = \frac{4^{n}}{2}\int \frac{dt}{(t^2 +\Delta)^{n}}dt .

 

Całkujemy  przez części, otrzymując kolejno

 

 I_{n-1} = \frac{4^{n-1}}{2}\( \frac{t}{(t^2 +\Delta)^{n-1}} -2 (1-n)\int \frac{t^2 + \Delta -\Delta}{(t^2 +\Delta)^{n}}dt \).

 

 I_{n-1} = \frac{4^{n-1}t}{2( t^2 +\Delta)^{n-1} } - 4^{n-1}(1-n)\int \frac{dt}{(t^2 +\Delta)^{n-1}}+(1-n)4^{n-1}\int \frac{\Delta}{(t^2+\Delta)^{n}}dt,

 

 I_{n-1} = \frac{4^{n-1}t}{2(t^2+ \Delta)^{n-1}} - 2(1-n)I_{n-1} + \frac{2(1-n)\Delta}{4} I_{n}.

 

Rozwiązujemy  to równanie względem  I_{n}

 

 I_{n} = - \frac{4^{n-1}t}{2(t^2 +\Delta)^{n-1}} + \frac{(3-2n)2}{(1-n)\Delta}I_{n-1}.

 

Wracamy do podstawienia 

 

 t =2x, \ \ \Delta = 4c,

 

 I_{n} = \frac{4^{n-1}2x}{2(4x^2 + 4c)^{n-1}} + \frac{(3-2n)2}{(1-n)4c} I_{n-1} ( * )

 

We wzorze ( * ) podstawiamy    n=3 , \ \ 4c=13 . 


  • 2


#123200 Wielomian II

Napisane przez Jarekzulus w 26.08.2015 - 23:18

x^4+3x^3+x^2+6=x^4+x^3+2x^3+2x^2-x^2-x+x+1+5=x^3(x+1)+2x^2(x+1)-x(x+1)+1(x+1)+5=(x+1)(x^3+2x^2-x+1)+5

 

albo zwyczajnie podziel

 

(x^4+3x^3+x^2+6):(x+1)=(x^3+2x^2-x+1)+\frac{5}{x+1}


  • 1


#123125 Całka z pierwiastka ze zbioru Dróbka Szymański 574j

Napisane przez Jarekzulus w 21.08.2015 - 00:29

Mariusz to ja inaczej dla urozmaicenia :) tak wiem można prościej :bober:

 


\int{\sqrt{x+\sqrt{x}}\mbox{d}x}

 

przez części

 

f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x}},\:\:f'(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}+1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}},\:\:g'(x)=1,\:\:g(x)=x

 

Co nam da:

 

\int{\sqrt{x+\sqrt{x}}dx=\sqrt{x+\sqrt{x}}x-\int \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}+1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}xdx=x\sqrt{x+\sqrt{x}}-\int \frac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+1\right)x}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}dx

 

Ok teraz to "monstrum"

 

\int \frac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+1\right)x}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}dx=\frac{1}{2}\int \frac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+1\right)x}{\sqrt{x+\sqrt{x}}}dx

 

Jakoś trzeba to po redukować, więc teraz podstawienie

 

u=\sqrt{x+\sqrt{x}}                                                 x=\frac{2u^2+1}{2}-\frac{\sqrt{4u^2+1}}{2}

 

du=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}+1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}dx\quad \:du=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}+1}{2u}dx,\:\quad \:dx=\frac{2u}{\frac{1}{2\sqrt{x}}+1}du

 

Dzięki temu mamy

 

=\frac{1}{2}\int \frac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+1\right)x}{u}\frac{2u}{\frac{1}{2\sqrt{x}}+1}du=\frac{1}{2}\int \:2xdu=\frac{1}{2}\int \:2\left(\frac{2u^2+1}{2}-\frac{\sqrt{4u^2+1}}{2}\right)du

 

=\int \frac{2u^2+1}{2}-\frac{\sqrt{4u^2+1}}{2}du=\int \:u^2-\frac{\sqrt{4u^2+1}}{2}+\frac{1}{2}du=\int \:u^2du-\int \frac{\sqrt{4u^2+1}}{2}du+\int \frac{1}{2}du

 

Została tylko środkowa do policzenia

 

\int \frac{\sqrt{4u^2+1}}{2}du=\frac{1}{2}\int \sqrt{4u^2+1}du                 Można tak : Całka z pierwiastka

 

Ale jak już skombinować to może tak:

 

Zrobimy podstawienie trygonometryczne

 

u=\frac{1}{2}tg (v):\quad \quad du=\frac{1}{2 cos^2(v)}dv=\frac{\sec ^2\left(v\right)}{2}dv

 

i dostaniemy

 

=\frac{1}{2}\int \sqrt{4\left(\frac{1}{2}tg \left(v\right)\right)^2+1}\frac{\sec ^2\left(v\right)}{2}dv=\frac{1}{2}\int \frac{\sqrt{tg ^2\left(v\right)+1}\sec ^2\left(v\right)}{2}dv=\frac{1}{4}\int \sqrt{tg ^2\left(v\right)+1}\cdot \sec ^2\left(v\right)dv

 

Korzystając z                                \fbox{\re{1+tg ^2\left(x\right)=\sec ^2\left(x\right)}}

 

=\frac{1}{4}\int \sqrt{\sec ^2\left(v\right)}\cdot \sec ^2\left(v\right)dv=\frac{1}{4}\int \sec ^3\left(v\right)dv

 

Teraz można na kilka sposobów: Patrz tu

 

To może korzystając z wzoru \gr{\fbox{\fbox{\int \:\sec ^n\left(x\right)dx=\frac{\sec ^{n-1}\left(x\right)\sin \left(x\right)}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \sec ^{n-2}\left(x\right)dx}}}

 

mamy

 

\int \sec ^3\left(v\right)dv=\frac{\sec ^2\left(v\right)\sin \left(v\right)}{2}+\frac{1}{2}\int \sec \left(v\right)dv

 

więc

 

\frac{1}{4}\int \sec ^3\left(v\right)dv=\frac{1}{4}\(\frac{\sec ^2\left(v\right)\sin \left(v\right)}{2}+\frac{1}{2}\int \sec \left(v\right)dv\)=\frac{1}{4}\(\frac{\sec ^2\left(v\right)\sin \left(v\right)}{2}+\frac{1}{2}\ln \left(tg \left(v\right)+\sec \left(v\right)\right)\)+C

 

bo  \int \:\sec \left(v\right)dv=\ln \left(tg \left(v\right)+\sec \left(v\right)\right)   taki mały skrót bo zaczyna robić się długie :champagne:

Odwracamy podstawienia v=arctg \left(2u\right)

 

I dostaniemy kolosa

 

\frac{1}{4}\(\frac{\sec ^2\left(arctg \left(2u\right)\right)\sin \left(arctg \left(2u\right)\right)}{2}+\frac{1}{2}\ln \left(\tan \left(arctg \left(2u\right)\right)+\sec \left(arctg \left(2u\right)\right)\right)\)+C

 

Czarodziejskimi sposobami można to uprościć do postaci (albo tu)

 

=\frac{1}{4}\(\sqrt{4u^2+1}u+\frac{\ln \left(\sqrt{4u^2+1}+2u\right)}{2}\)+C

 

W całości (te trzy całki) dadzą nam:

 

\int \:u^2du-\int \frac{\sqrt{4u^2+1}}{2}du+\int \frac{1}{2}du=\frac{u^3}{3}-\frac{\sqrt{4u^2+1}u+\frac{\ln \left(\sqrt{4u^2+1}+2u\right)}{2}}{4}+\frac{u}{2}+C

 

Zostaje powrót do zmiennej x :whistle:

 

\frac{\left(\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)^3}{3}-\frac{\sqrt{4\left(\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)^2+1}\sqrt{x+\sqrt{x}}+\frac{\ln \left(\sqrt{4\left(\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)^2+1}+2\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)}{2}}{4}+\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{2}+C

 

Tak wiem można było łatwiej :devil:  choć przyznacie plusik się należy  :crazy:


  • 6


#123146 Całka z pierwiastka ze zbioru Dróbka Szymański 574j

Napisane przez Mariusz M w 22.08.2015 - 19:43

\int{\frac{-4t^2}{\left(t^2-1\right)^4}\mbox{d}t}

 

R\left(t\right)=\left(t^2-1\right)^4\\</p>\\<p>R'\left(t\right)=4\left(t^2-1\right)^3\cdot 2t=8t\left(t^2-1\right)^3\\</p>\\<p>\gcd{\left(\left(t^2-1\right)^4,8t\left(t^2-1\right)^3\right)}=\left(t^2-1\right)^3</p>\\<p>

 

\int{\frac{-4t^2}{\left(t^2-1\right)^4}\mbox{d}t}=\frac{a_{5}t^5+a_{4}t^4+a_{3}t^3+a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}}{\left(t^2-1\right)^3}+\int{\frac{b_{1}t+b_{0}}{t^2-1}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{-4t^2}{\left(t^2-1\right)^4}=\frac{\left(5a_{5}t^4+4a_{4}t^3+3a_{3}t^2+2a_{2}t+a_{1}\right)\left(t^2-1\right)^3-\left(a_{5}t^5+a_{4}t^4+a_{3}t^3+a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)\left(t^2-1\right)^2\cdot 6t}{\left(t^2-1\right)^6}+\frac{b_{1}t+b_{0}}{t^2-1}\\</p>\\<p>\frac{-4t^2}{\left(t^2-1\right)^4}=\frac{\left(5a_{5}t^4+4a_{4}t^3+3a_{3}t^2+2a_{2}t+a_{1}\right)\left(t^2-1\right)-6t\left(a_{5}t^5+a_{4}t^4+a_{3}t^3+a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)+\left(b_{1}t+b_{0}\right)\left(t^2-1\right)^3}{\left(t^2-1\right)^4}\\</p>\\<p>-4t^2=\left(5a_{5}t^4+4a_{4}t^3+3a_{3}t^2+2a_{2}t+a_{1}\right)\left(t^2-1\right)-6t\left(a_{5}t^5+a_{4}t^4+a_{3}t^3+a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)+\left(b_{1}t+b_{0}\right)\left(t^6-3t^4+3t^2-1\right)\\</p>\\<p>-4t^2=\left(5a_{5}t^6+4a_{4}t^5+3a_{3}t^4+2a_{2}t^3+a_{1}t^2-5a_{5}t^4-4a_{4}t^3-3a_{3}t^2-2a_{2}t-a_{1}\right)-\left(6a_{5}t^6+6a_{4}t^5+6a_{3}t^4+6a_{2}t^3+6a_{1}t^2+6a_{0}t\right)</p>\\<p>+\left(b_{1}t^7-3b_{1}t^5+3b_{1}t^3-b_{1}t+b_{0}t^6-3b_{0}t^4+3b_{0}t^2-b_{0}\right)\\</p>\\<p>-4t^2=b_{1}t^{7}+\left(b_{0}-a_{5}\right)t^6+\left(-3b_{1}-2a_{4}\right)t^5+\left(-3b_{0}-3a_{3}-5a_{5}\right)t^4+\left(3b_{1}-4a_{2}-4a_{4}\right)t^3+\left(3b_{0}-5a_{1}-3a_{3}\right)t^2<br>\\+\left(-b_{1}-2a_{2}-6a_{0}\right)t+\left(-b_{0}-a_{1}\right)\\</p>\\<p>

 

\begin{cases}b_{1}=0\\b_{0}-a_{5}=0\\-3b_{1}-2a_{4}=0\\-3b_{0}-3a_{3}-5a_{5}=0\\3b_{1}-4a_{2}-4a_{4}=0\\3b_{0}-5a_{1}-3a_{3}=-4\\-b_{1}-2a_{2}-6a_{0}=0\\-b_{0}-a_{1}=0\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=0\\b_{0}=a_{5}\\a_{4}=0\\-3a_{3}-8a_{5}=0\\a_{2}=0\\-8a_{1}-3a_{3}=-4\\-b_{1}-2a_{2}-6a_{0}=0\\b_{0}=-a_{1}\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=0\\b_{0}=a_{5}\\a_{4}=0\\-3a_{3}+8a_{1}=0\\a_{2}=0\\-8a_{1}-3a_{3}=-4\\a_{0}=0\\b_{0}=-a_{1}\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=0\\b_{0}=a_{5}\\a_{4}=0\\8a_{1}=3a_{3}\\a_{2}=0\\3a_{3}=2\\a_{0}=0\\a_{5}=-a_{1}\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=0\\4b_{0}=-1\\a_{4}=0\\4a_{1}=1\\a_{2}=0\\3a_{3}=2\\a_{0}=0\\4a_{5}=-1\end{cases}\\</p>\\<p>

 

 

\int{\frac{-4t^2}{\left(t^2-1\right)^4}\mbox{d}t}=\frac{-\frac{1}{4}t^5+\frac{2}{3}t^3+\frac{1}{4}t}{\left(t^2-1\right)^3}-\frac{1}{4}\int{\frac{\mbox{d}t}{t^2-1}}\\</p>\\<p>-\frac{1}{4}\int{\frac{\mbox{d}t}{t^2-1}}=\int{\frac{A}{t-1}\mbox{d}t}+\int{\frac{B}{t+1}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>-\frac{1}{4}\frac{1}{t^2-1}=\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t+1}\\</p>\\<p>-\frac{1}{4}=A\left(t-1\right)+B\left(t+1\right)\\</p>\\<p>\begin{cases}A+B=0\\A-B=-\frac{1}{4}\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}B=-A\\2A=-\frac{1}{4}\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}B=-A\\A=-\frac{1}{8}\end{cases}\\</p>\\<p>-\frac{1}{4}\int{\frac{\mbox{d}t}{t^2-1}}=-\frac{1}{8}\int{\frac{1}{t-1}\mbox{d}t}+\frac{1}{8}\int{\frac{1}{t+1}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>-\frac{1}{4}\int{\frac{\mbox{d}t}{t^2-1}}=\frac{1}{8}\ln{\left|\frac{t+1}{t-1}\right|}+C\\</p>\\<p>\int{\frac{-4t^2}{\left(t^2-1\right)^4}\mbox{d}t}=\frac{-\frac{1}{4}t^5+\frac{2}{3}t^3+\frac{1}{4}t}{\left(t^2-1\right)^3}+\frac{1}{8}\ln{\left|\frac{t+1}{t-1}\right|}+C\\</p>\\<p>

 


  • 6


#122852 Całka - wyprowadzenie wzorów (1)

Napisane przez Mariusz M w 10.08.2015 - 18:20

Jednym z zastosowań całkowania przez części jest wyprowadzenie wzorów rekurencyjnych

 

<br>\\\int{\sin^{n}{x}\mbox{d}x}=\int{\sin{x}\cdot\sin^{n-1}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\sin^{n}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^{n-1}{x}-\int{\left(\left(-cos{x}\right)\left(n-1\right)\sin^{n-2}{x}\cos{x}\right)\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\sin^{n}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^{n-1}{x}+\left(n-1\right)\int{\sin^{n-2}{x}\cos^{2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\sin^{n}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^{n-1}{x}+\left(n-1\right)\int{\sin^{n-2}{x}\left(1-\sin^{2}{x}\right)\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\sin^{n}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^{n-1}{x}+\left(n-1\right)\int{\sin^{n-2}{x}\mbox{d}x}-\left(n-1\right)\int{\sin^{n}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\n\int{\sin^{n}{x}\mbox{d}x}=-\cos{x}\sin^{n-1}{x}+\left(n-1\right)\int{\sin^{n-2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\sin^{n}{x}\mbox{d}x}=-\frac{1}{n}\cos{x}\sin^{n-1}{x}+\frac{n-1}{n}\int{\sin^{n-2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\I_{n}=-\frac{1}{n}\cos{x}\sin^{n-1}{x}+\frac{n-1}{n}I_{n-2}\\<br>\\\frac{n-1}{n}I_{n-2}=\frac{1}{n}\cos{x}\sin^{n-1}{x}+I_{n}\\<br>\\I_{n-2}=\frac{1}{n-1}\cos{x}\sin^{n-1}{x}+\frac{n}{n-1}I_{n}\\<br>\\n-2=-k\\<br>\\I_{-k}=\frac{1}{-k+1}\cos{x}\sin^{-k+1}{x}+\frac{-k+2}{-k+1}I_{-k+2}\\<br>\\I_{-k}=-\frac{1}{k-1}\frac{\cos{x}}{\sin^{k-1}{x}}+\frac{k-2}{k-1}I_{-\left(k-2\right)}\\<br>\\I_{-1}=\int{\frac{\mbox{d}x}{\sin{x}}}=\int{\frac{\sin{x}}{\sin^{2}{x}}\mbox{d}x}\\<br>\\I_{-1}=\int{\frac{\sin{x}}{1-\cos^{2}{x}}\mbox{d}x}=\int{\frac{\sin{x}}{\left(1-\cos{x}\right)\left(1+\cos{x}\right)}\mbox{d}x}\\<br>\\I_{-1}=\frac{1}{2}\int{\frac{\sin{x}\left(1+\cos{x}+1-\cos{x}\right)}{\left(1-\cos{x}\right)\left(1+\cos{x}\right)}\mbox{d}x}\\<br>\\I_{-1}=\frac{1}{2}\left(\int{\frac{\sin{x}}{1-\cos{x}}\mbox{d}x}+\int{\frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}\mbox{d}x}\right)\\<br>\\I_{-1}=\frac{1}{2}\left(\ln{\left|1-\cos{x}\right|}-\ln{\left|1+\cos{x}\right|}\right)+C\\<br>\\I_{-1}=\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}\right|}+C\\<br>\\I_{-1}=\ln{\left|\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}\right|}+C\\<br>\\I_{0}=x+C\\<br>\\I_{1}=\cos{\left(x\right)}+C\\<br><br>\\\fbox{<br>\\I_{n}=-\frac{1}{n}\cos{x}\sin^{n-1}{x}+\frac{n-1}{n}I_{n-2}\\<br>\\I_{-k}=-\frac{1}{k-1}\frac{\cos{x}}{\sin^{k-1}{x}}+\frac{k-2}{k-1}I_{-\left(k-2\right)}\\<br>\\I_{-1}=\ln{\left|\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}\right|}+C\\<br>\\I_{0}=x+C\\<br>\\I_{1}=-\cos{\left(x\right)}+C\\<br>\\}<br><br>\\
 

<br>\\\int{\cos^{n}{x}\mbox{d}x}=\int{\cos{x}\cos^{n-1}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\cos^{n}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos^{n-1}{x}-\int{\cos{x}\left(\left(n-1\right)\cos^{n-2}{x}\left(-\sin{x}\right)\right)\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\cos^{n}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos^{n-1}{x}+\left(n-1\right)\int{\cos^{n-2}{x}\sin^{2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\cos^{n}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos^{n-1}{x}+\left(n-1\right)\int{\cos^{n-2}{x}\left(1-\sin^{2}{x}\right)\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\cos^{n}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos^{n-1}{x}+\left(n-1\right)\left(\int{\cos^{n-2}{x}\mbox{d}x}-\int{\cos^{n}{x}\mbox{d}x}\right)\\<br>\\\int{\cos^{n}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos^{n-1}{x}+\left(n-1\right)\int{\cos^{n-2}{x}\mbox{d}x}-\left(n-1\right)\int{\cos^{n}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\n\int{\cos^{n}{x}\mbox{d}x}=\sin{x}\cos^{n-1}{x}+\left(n-1\right)\int{\cos^{n-2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\cos^{n}{x}\mbox{d}x}=\frac{1}{n}\sin{x}\cos^{n-1}{x}+\frac{n-1}{n}\int{\cos^{n-2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\I_{n}=\frac{1}{n}\sin{x}\cos^{n-1}{x}+\frac{n-1}{n}I_{n-2}\\<br>\\\frac{n-1}{n}I_{n-2}=-\frac{1}{n}\sin{x}\cos^{n-1}{x}+I_{n}\\<br>\\I_{n-2}=-\frac{1}{n-1}\sin{x}\cos^{n-1}{x}+\frac{n}{n-1}I_{n}\\<br>\\n-2=-k\\<br>\\I_{-k}=-\frac{1}{-k+1}\sin{x}\cos^{-k+1}{x}+\frac{-k+2}{-k+1}I_{-k+2}\\<br>\\I_{-k}=\frac{1}{k-1}\frac{\sin{x}}{\cos^{k-1}{x}}+\frac{k-2}{k-1}I_{-\left(k-2\right)}\\<br>\\I_{-1}=\int{\frac{\mbox{d}x}{\cos{x}}}=\int{\frac{\cos{x}}{\cos^{2}{x}}\mbox{d}x}\\<br>\\I_{-1}=\int{\frac{\cos{x}}{1-\sin^{2}{x}}\mbox{d}x}=\int{\frac{\cos{x}}{\left(1-\sin{x}\right)\left(1+\sin{x}\right)}\mbox{d}x}\\<br>\\I_{-1}=\frac{1}{2}\int{\frac{\cos{x}\left(1+\sin{x}+1-\sin{x}\right)}{\left(1-\sin{x}\right)\left(1+\sin{x}\right)}\mbox{d}x}\\<br>\\I_{-1}=\frac{1}{2}\left(\int{\frac{\cos{x}}{1-\sin{x}}\mbox{d}x}+\int{\frac{\cos{x}}{1+\sin{x}}\mbox{d}x}\right)\\<br>\\I_{-1}=\frac{1}{2}\left(\ln{\left|1+\sin{x}\right|}-\ln{\left|1-\sin{x}\right|}\right)+C\\<br>\\I_{-1}=\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}\right|}+C\\<br>\\I_{-1}=\ln{\left|\frac{1+\sin{x}}{\cos{x}}\right|}+C\\<br><br>\\\fbox{<br>\\I_{n}=\frac{1}{n}\sin{x}\cos^{n-1}{x}+\frac{n-1}{n}I_{n-2}\\<br>\\I_{-k}=\frac{1}{k-1}\frac{\sin{x}}{\cos^{k-1}{x}}+\frac{k-2}{k-1}I_{-\left(k-2\right)}\\<br>\\I_{-1}=\ln{\left|\frac{1+\sin{x}}{\cos{x}}\right|}+C\\<br>\\I_{0}=x+C\\<br>\\I_{1}=\sin{\left(x\right)}+C\\<br>\\}<br><br>\\

 

<br>\\\int{\tan^{n}{x}\mbox{d}x}=\int{\tan^{n-2}{x}\left(\sec^{2}{x}-1\right)\mbox{d}x}=\int{\tan^{n-2}{x}\sec^{2}{x}}-\int{\tan^{n-2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\tan^{n}{x}\mbox{d}x}=\tan^{n-2}{x}\tan{x}-\int{\tan{x}\left(n-2\right)\tan^{n-3}{x}\sec^{2}{x}\mbox{d}x}-\int{\tan^{n-2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\tan^{n}{x}\mbox{d}x}=\tan^{n-1}{x}-\left(n-2\right)\int{\tan^{n-2}{x}\sec^{2}{x}\mbox{d}x}-\int{\tan^{n-2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\tan^{n}{x}\mbox{d}x}=\tan^{n-1}{x}-\left(n-2\right)\int{\tan^{n-2}{x}\left(\tan^{2}{x}+1\right)\mbox{d}x}-\int{\tan^{n-2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\tan^{n}{x}\mbox{d}x}=\tan^{n-1}{x}-\left(n-2\right)\int{\tan^{n}{x}\mbox{d}x}-\left(n-2\right)\int{\tan^{n-2}{x}\mbox{d}x}-\int{\tan^{n-2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\tan^{n}{x}\mbox{d}x}=\tan^{n-1}{x}-\left(n-2\right)\int{\tan^{n}{x}\mbox{d}x}-\left(n-1\right)\int{\tan^{n-2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\left(n-1\right)\int{\tan^{n}{x}\mbox{d}x}=\tan^{n-1}{x}-\left(n-1\right)\int{\tan^{n-2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\tan^{n}{x}\mbox{d}x}=\frac{1}{n-1}\tan^{n-1}{x}-\int{\tan^{n-2}{x}\mbox{d}x}\\<br>\\I_{n}=\frac{1}{n-1}\tan^{n-1}{x}-I_{n-2}\\<br>\\I_{n-2}=\frac{1}{n-1}\tan^{n-1}{x}-I_{n}\\<br>\\n-2=-k\\<br>\\I_{-k}=\frac{1}{-k+1}\tan^{-k+1}{x}-I_{-\left(k-2\right)}\\<br>\\I_{-k}=-\frac{1}{k-1}\frac{1}{\tan^{k-1}{x}}-I_{-\left(k-2\right)}\\<br><br>\\I_{-1}=\int{\frac{1}{\tan{x}}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\frac{1}{\tan{x}}\mbox{d}x}\\<br>\\t=\tan{x}\\<br>\\\mbox{d}t=\frac{\mbox{d}x}{\cos^{2}{x}}\\<br>\\\mbox{d}t=\frac{\cos^{2}{x}+\sin^{2}{x}}{\cos^{2}{x}}\mbox{d}x\\<br>\\\mbox{d}t=\left(1+\tan^{2}{x}\right)\mbox{d}x\\<br>\\\mbox{d}t=\left(1+t^2\right)\mbox{d}x\\<br>\\\mbox{d}x=\frac{\mbox{d}t}{1+t^2}\\<br>\\\int{\frac{\mbox{d}t}{t\left(1+t^2\right)}}=\int{\frac{1+t^2-t^2}{t\left(1+t^2\right)}\mbox{d}t}\\<br>\\\int{\frac{\mbox{d}t}{t\left(1+t^2\right)}}=\int{\frac{\mbox{d}t}{t}}-\int{\frac{t}{1+t^2}\mbox{d}t}\\<br>\\\int{\frac{\mbox{d}t}{t\left(1+t^2\right)}}=\ln{\left|t\right|}-\frac{1}{2}\ln{\left|1+t^2\right|}+C\\<br>\\I_{-1}=\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{\tan^{2}{x}}{1+\tan^{2}{x}}\right|}+C\\<br>\\I_{1}=\int{\tan{x}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\tan{x}\mbox{d}x}\\<br>\\t=\tan{x}\\<br>\\\mbox{d}t=\frac{\mbox{d}x}{\cos^{2}{x}}\\<br>\\\mbox{d}t=\frac{\cos^{2}{x}+\sin^{2}{x}}{\cos^{2}{x}}\mbox{d}x\\<br>\\\mbox{d}t=\left(1+\tan^{2}{x}\right)\mbox{d}x\\<br>\\\mbox{d}t=\left(1+t^2\right)\mbox{d}x\\<br>\\\mbox{d}x=\frac{\mbox{d}t}{1+t^2}\\<br>\\\int{\frac{t}{1+t^2}}=\frac{1}{2}\ln{\left|1+t^2\right|}+C\\<br>\\I_{1}=\frac{1}{2}\ln{\left|1+t^2\right|}+C\\<br><br>\\\fbox{<br>\\I_{n}=\frac{1}{n-1}\tan^{n-1}{x}-I_{n-2}\\<br>\\I_{-k}=-\frac{1}{k-1}\frac{1}{\tan^{k-1}{x}}-I_{-\left(k-2\right)}\\<br>\\I_{-1}=\frac{1}{2}\ln{\left|\frac{\tan^{2}{x}}{1+\tan^{2}{x}}\right|}+C\\<br>\\I_{0}=x+C\\<br>\\I_{1}=\frac{1}{2}\ln{\left|1+\tan^2{x}\right|}+C\\<br>\\}<br><br>\\

 

 

 

<br>\\\int{\left(x^2+1\right)^{n}\mbox{d}x}=\int{1\cdot\left(x^2+1\right)^{n}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\left(x^2+1\right)^{n}\mbox{d}x}=x\left(x^2+1\right)^{n}-\int{x\cdot n\left(x^2+1\right)^{n-1}\cdot 2x\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\left(x^2+1\right)^{n}\mbox{d}x}=x\left(x^2+1\right)^{n}-2n\int{x^2\left(x^2+1\right)^{n-1}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\left(x^2+1\right)^{n}\mbox{d}x}=x\left(x^2+1\right)^{n}-2n\int{\left(\left(x^2+1\right)-1\right)\left(x^2+1\right)^{n-1}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\left(x^2+1\right)^{n}\mbox{d}x}=x\left(x^2+1\right)^{n}-2n\left(\int{\left(x^2+1\right)^{n}\mbox{d}x}-\int{\left(x^2+1\right)^{n-1}\mbox{d}x}\right)\\<br>\\\int{\left(x^2+1\right)^{n}\mbox{d}x}=x\left(x^2+1\right)^{n}-2n\int{\left(x^2+1\right)^{n}\mbox{d}x}+2n\int{\left(x^2+1\right)^{n-1}\mbox{d}x}\\<br>\\\left(2n+1\right)\int{\left(x^2+1\right)^{n}\mbox{d}x}=x\left(x^2+1\right)^{n}+2n\int{\left(x^2+1\right)^{n-1}\mbox{d}x}\\<br>\\\int{\left(x^2+1\right)^{n}\mbox{d}x}=\frac{1}{2n+1}x\left(x^2+1\right)^{n}+\frac{2n}{2n+1}\int{\left(x^2+1\right)^{n-1}\mbox{d}x}\\<br>\\I_{n}=\frac{1}{2n+1}x\left(x^2+1\right)^{n}+\frac{2n}{2n+1}I_{n-1}\\<br>\\\frac{2n}{2n+1}I_{n-1}=-\frac{1}{2n+1}x\left(x^2+1\right)^{n}+I_{n}\\<br>\\I_{n-1}=-\frac{1}{2n}x\left(x^2+1\right)^{n}+\frac{2n+1}{2n}I_{n}\\<br>\\n-1=-k\\<br>\\I_{-k}=-\frac{1}{-2k+2}x\left(x^2+1\right)^{-k+1}+\frac{-2k+3}{-2k+2}I_{-k+1}\\<br>\\I_{-k}=\frac{1}{2k-2}\frac{x}{\left(x^2+1\right)^{k-1}}+\frac{2k-3}{2k-2}I_{-\left(k-1\right)}\\<br>\\\fbox{I_{n}=\frac{1}{2n+1}x\left(x^2+1\right)^{n}+\frac{2n}{2n+1}I_{n-1}\\<br>\\I_{-k}=\frac{1}{2k-2}\frac{x}{\left(x^2+1\right)^{k-1}}+\frac{2k-3}{2k-2}I_{-\left(k-1\right)}\\<br>\\I_{0}=x+C\\<br>\\I_{-1}=\arctan{\left(x\right)}+C\\}<br><br>\\


  • 4


#111232 Całka - wyprowadzenie wzorów (1)

Napisane przez Jarekzulus w 20.11.2013 - 11:39

Zacznijmy może od tego, że pochodna to miara szybkości zmian wartości funkcji względem zmian jej argumentów albo jak to się zwykło mówić granica pewnego ilorazu różnicowego;

 

\bl\fbox{\left( f \left( x \right)\right) '=\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right)-f \left( x \right)}{h}}

 

Dowiemy się dzięki temu jak zmieni się wartość funkcji jeśli argument zmieni się nieznacznie (przyrost h \to0).

 

Dla iloczynu funkcji mamy:

 

\left( f \left( x \right) \cdot g \left( x \right) \right) '=\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) g \left( x+h \right) -f \left( x \right) g \left( x \right) }{h}= \\=\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) g \left( x+h \right) -f \left( x \right) g \left( x \right) +f \left( x \right) g \left( x+h \right) -f \left( x \right) g \left( x+h \right) }{h}= \\=\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x \right) \left( g \left( x+h \right) -g \left( x \right) \right) +g \left( x+h \right) \left( f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}= f \left( x \right) \cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{g \left( x+h \right) -g \left( x \right) }{h}+g \left( x \right) \cdot\lim\limits_{h\to0}\frac{f \left( x+h \right) -f \left( x \right) }{h}= f \left( x \right) \cdot g' \left( x \right) +f' \left( x \right) \cdot g \left( x \right)

 

Reasumując:

 

\bl\fbox{\(f(x)g(x)\)'=f \left( x \right) \cdot g' \left( x \right) +f' \left( x \right) \cdot g \left( x \right)}

 

Wzór ten będzie punktem wyjścia do wyznaczenia wzoru na całkę iloczynu funkcji, lub jak kto woli wzoru do całkowania przez części - jednej z podstawowych metod całkowania.

 

Mamy zatem:

 

\(f(x)g(x)\)'=f \left( x \right) \cdot g' \left( x \right) +f' \left( x \right) \cdot g \left( x \right)

 

f \left( x \right) \cdot g' \left( x \right)=\(f(x)g(x)\)' -f' \left( x \right) \cdot g \left( x \right)

 

Całkując obustronnie otrzymamy:

 

\int f \left( x \right) \cdot g' \left( x \right) dx=\int \(f(x)g(x)\)'dx -\int f' \left( x \right) \cdot g \left( x \right)dx

 

A ponieważ \int \(h(x)\)'dx=h(x) dostajemy:

 

\re\fbox{\int f \left( x \right) \cdot g' \left( x \right) dx=f(x)g(x)\) -\int f' \left( x \right) \cdot g \left( x \right)dx}

 

Zazwyczaj jednak pod całką mamy formę:

\int f \left(x \right) \cdot h\left( x \right) dx

to jest nie  widzimy tam pochodnej więc takową musimy tam wstawić wykonując obliczenia na boku (Jedną z funkcji oznaczamy jako pochodną innej funkcji i obliczamy jej funkcję pierwotną) np. funkcję h(x) oznaczę jako pochodną pewnej funkcji g(x) \fbox{\(h(x)=g'(x)\)} i mamy, co potrzeba. W praktyce robi się to następująco:

 

Wypisujemy jakie funkcję mamy w następujący sposób:

[1]=f(x)         [2]=h(x)=g'(x)

[3]=f'(x)        [4]=g(x)                   w punkcie [3] obliczamy pochodną funkcji f(x), a w punkcie [4] niejako całkę funkcji h(x)

 

Wynikiem jest:

\int [1][2]=[1][4]-\int[3][4]

 

 

 

Dwa przydane przykłady:

 

\re{1)}

\int x^2\cdot e^x dx=

 

[1]=f(x)=x^2         [2]=h(x)=g'(x)=e^2
[3]=f'(x)=2x        [4]=g(x)=e^2

 

 

\int x^2\cdot e^x dx=x^2\cdot e^x-2\int x\cdot e^2 dx=

 

[1]=x         [2]=e^2   
[3]=1        [4]=e^2

 

\int x^2\cdot e^x dx=x^2\cdot e^x-2\int x\cdot e^2 dx=x^2\cdot e^x-2\(x\cdot e^x-\int e^x dx\)=x^2\cdot e^x-2x\cdot e^x+2e^x +C

 

 

\re{2)}

\int e^x\cdot \cos(x) dx=

 

[1]=f(x)=cos(x)         [2]=g'(x)=e^2
[3]=f'(x)=-sin(x)        [4]=g(x)=e^2

 

\int e^x\cdot \cos(x) dx=\cos(x)\cdot e^x-(-\int sin(x)\cdot e^x dx)=\cos(x)\cdot e^x+\int sin(x)\cdot e^x dx)

 

[1]=sin(x)         [2]=e^2
[3]=cos(x)        [4]=e^2

 

\int e^x\cdot \cos(x) dx=\cos(x)\cdot e^x+\int sin(x)\cdot e^x dx)=\cos(x)\cdot e^x+\sin(x)\cdot e^x-\int e^x \cdot \cos(x) dx

 

czyli:

 

\int e^x\cdot \cos(x) dx=\cos(x)\cdot e^x+\sin(x)\cdot e^x-\int e^x \cdot \cos(x) dx

 

2\int e^x\cdot \cos(x) dx=\cos(x)\cdot e^x+\sin(x)\cdot e^x

 

\int e^x\cdot \cos(x) dx=\frac{1}{2}\cdot \(\cos(x)\cdot e^x+\sin(x)\cdot e^x\)=\frac{1}{2}e^x\cdot \(\cos(x)+\sin(x)\)


  • 6


#122318 Podział trójkąta - wykaż

Napisane przez Jarekzulus w 13.06.2015 - 10:35

pre_1434187902__dowdow3.jpg

W trójkącie DBC: odcinki DF i CE to środkowe więc przecinają się w stosunku 2:1 (|DG|=2|GF|)

 

\frac{h2}{h3}=2 z tw. Talesa

 

\frac{h3}{h1}=\frac{DF}{DG} więc h1=\frac{2\cdot h3}{3}=\frac{h2}{3}

 

P_{\Delta CDG}=\frac{1}{3}|AB|\cdot \frac{h2}{2}-\frac{1}{3}|AB|\cdot \frac{h2}{6}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}|AB|\cdot \frac{h2}{2}=\frac{|AB|\cdot h2}{9}

 

P_{\Delta ABC}= \frac{|AB|\cdot h2}{2}

 

\frac{P_{\Delta CDG}}{P_{\Delta ABC}}=\frac{|AB|\cdot h2}{9}\cdot \frac{2}{|AB|\cdot h2}=\frac{2}{9}


  • 2


#122304 Podział trójkąta - wykaż

Napisane przez Kinia7 w 12.06.2015 - 15:04

P_{CDE}=\frac{1}{3}P_{ABC} - bo podstawa mniejszego tr. jest 3 razy mniejsza a wysokości mają takie same

w tr. CDB połączmy środki jego boków E i F

otrzymamy tr. EFG podobny w skali 1:2 do tr. CDG

z tego wynika, że EG jest 2 razy krótszy niż CG, a to znaczy, że

P_{GDE}=\frac{1}{2}P_{CDG}\quad\to\quad P_{CDG}=\frac{2}{3}P_{CDE}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}P_{ABC}\quad\to\quad\frac{P_{CDG}}{P_{ABC}}=\frac{2}{9}


  • 1


#121286 Zbiór wartości funkcji wymiernej

Napisane przez bb314 w 08.04.2015 - 14:21

\bl f(x)=\frac{2x^{2}+x}{2x^{2}+x+3}

 

najsamwpierw zauważ, że   \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1  

i mianownik jest zawsze o 3 większy niż licznik, więc  f(x)<1

 

teraz liczysz pochodną i przyrównujesz ją do zera

f'(x)=0\gr\ \Rightarrow\ \bl x=-\frac14

 

w tym punkcie jest minimum

f_{min}(x)=f\(-\frac14\)=-\frac1{23}

 

zbiór wartości funkcji  \re\[-\frac1{23},\,1\)

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 1


#121259 Odległość punktu od prostej, wyznacz wzór prostej

Napisane przez bb314 w 06.04.2015 - 18:47

\{10=\frac{|4A-5B+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\\ -6A+15B+C=0\gr\ \Rightarrow\ \{10=\frac{|4-5\frac BA+\frac CA|}{\sqrt{1+\(\frac BA\)^2}}\\ -6+15\cd\frac BA+\frac CA=0\gr\ \Rightarrow\  podstawiam  \{\frac BA=b\\\frac CA=c

 

\{10=\frac{|4-5b+c|}{\sqrt{1+b^2}}\\ -6+15b+c=0\gr\ \Rightarrow\ \bl b=0\ \ \ \ c=6\\\ \ \ \ \ \ \ \ lub\\b=\frac43\ \ \ \ c=-14\gr\ \Rightarrow\ \re x+6=0\\\ \ \ \ lub\\x+\frac43y-14=0

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 3