Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

sakhmet

Rejestracja: 19 Mar 2009
Offline Ostatnio: Nov 26 2023 20:54
*****

#68706 Rzucamy dwiema monetami

Napisane przez sakhmet w 10.06.2010 - 18:16

Rozkład:
P(X=-3)=\frac{2}{4}\\<br />\\P(X=1)=\frac{1}{4}\\<br />\\P(X=5)=\frac{1}{4}

\mathbb{E}X=(-3)\cdot \frac{2}{4}+1\cdot \frac{1}{4}+5\cdot \frac{1}{4}=0\\<br />\\\mathbb{E}X^2=(-3)^2\cdot \frac{2}{4}+1^2\cdot \frac{1}{4}+5^2\cdot \frac{1}{4}=11\\<br />\\\mathbb{D}^2X=11-0=11
  • 1


#61304 Pochodna 2

Napisane przez sakhmet w 09.03.2010 - 18:41

g'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\cos (t+h)-\cos t}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{-2\sin \left(t+\frac{h}{2}\right)\sin\frac{h}{2}}{h}=-\sin t\lim_{h\to 0}\frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=-\sin t
  • 1


#56745 Wyznaczyć całkę niewłaściwą za pomocą residuów

Napisane przez sakhmet w 21.01.2010 - 17:18

Raczej pracochłonne :)
\Gamma kontur złożony z odcinka osi rzeczywistej [-R,R] i półokręgu o środku w (0.0) i promieniu R - \Gamma_1
2i, i\sqrt{3}, -2i, -i\sqrt{3}, ale tylko dwa pierwsze leża wewnątrz konturu.
\mbox{res}_{2i}f(z)=-\frac{exp{-2}}{2}\\<br />\\\mbox{res}_{i\sqrt{3}}f(z)=\frac{exp{-\sqrt{3}}}{2}\\<br />\\\int_{\Gamma}f(z)\mbox{d}z=2\pi i \cdot \frac{exp{-\sqrt{3}}-exp{-2}}{2}=\pi i \left(exp{-\sqrt{3}}-exp{-2}\right)
Z drugiej strony mamy
\int_{\Gamma}f(z)\mbox{d}z=\int_{\Gamma_1}f(z)\mbox{d}z+\int_{[-R,R]}f(z)\mbox{d}z\\<br />\\\int_{[-R,R]}\frac{z exp{iz}}{(z^2+4)(z^2+3)}\mbox{d}z=\int_{-R}^R\frac{x\cos x\mbox{d}x}{(x^2+4)(x^2+3)}+i\int_{-R}^R\frac{x\sin x\mbox{d}x}{(x^2+4)(x^2+3)}=i\int_{-R}^R\frac{x\sin x\mbox{d}x}{(x^2+4)(x^2+3)}\\<br />\\\int_{\Gamma_1}f(z)\mbox{d}z=\int_{\Gamma_1}\frac{z exp{iz}}{(z^2+4)(z^2+3)}\mbox{d}z=\\<br />\\=\left[z=R exp{i\Phi}\Rightarrow \mbox{d}z=iR exp{i\Phi}\mbox{d}\Phi\right]=\\<br />\\=\int_{[0,\pi]}\frac{iR^2 exp{2i\Phi} exp{iR exp{i\Phi}}}{\left(R^2 exp{2i\Phi}+4\right)\left(R^2 exp{2i\Phi}+3\right)\mbox{d}\Phi}=I\\<br />\\|I|\leq \int_0^{\pi}\frac{R^2}{|R^2-4||R^2-3|}\to 0\mbox{ gdy }R\to\infty\\<br />\\\pi i \left(exp{-\sqrt{3}}-exp{-2}\right)=i\int_{-R}^R\frac{x\sin x\mbox{d}x}{(x^2+4)(x^2+3)}\\<br />\\\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin x\mbox{d}x}{(x^2+4)(x^2+3)}=\pi  \left(exp{-\sqrt{3}}-exp{-2}\right)<br />\\
  • 1


#54981 Całka funkcji trygonometrycznej

Napisane przez sakhmet w 06.01.2010 - 18:00

podstawiamy
\int\frac{\mbox{d}t}{1+t}=\ln|t+1|
czyli
\int\frac{\mbox{d}x}{1+\sin x+\cos x}=\ln \left|\tan\frac{x}{2}+1\right|
  • 1


#51294 Rozkład N(0,1) obliczyć P

Napisane przez sakhmet w 17.11.2009 - 10:08

X\sim\mathcal{N}(0,1)\\<br />\\P(X>0)=1-P(X\leq 0)=1-\Phi(0)=0,5\\<br />\\P(X>2)=1-P(X\leq 2)=1-\Phi(2)=1-0,9772\\\\<br />\\P(-1<X<0)=\Phi(0)-\Phi(-1)=0,5-1+\Phi(1)=-0,5+0,8413\\<br />\\P(|X|<2)=P(-2<X<2)=\Phi(2)-\Phi(-2)=2\Phi(2)-1=2\cdot 0,9772-1\\<br />\\P(|X|>1)=1-P(|X|\leq 1)=1-P(-1\leq X\leq 1)=1-\Phi(1)+\Phi(-1)=2-2\Phi(1)=2-2\cdot 0,8413\\<br />\\P(-1<X<3)=\Phi(3)-1+\Phi(1)=0,9978-1+0,8413
  • 1


#45726 Kombinatoryka

Napisane przez sakhmet w 20.09.2009 - 09:29

a)
Żeby liczba była podzielna przez cztery, jej dwie ostatnie cyfry muszą dzielić się przez cztery. Musimy rozpatrzeć dwa przypadki:
1) gdy "w skład" dwóch ostatnich cyfr wchodzi zero
2) gdy w skład dwóch ostatnich cyfr zero nie wchodzi

W pierszym przypadku mamy \{12,16,24,28,32,36,48,52,56,64,68,72,76,84,92,96\}. A więc cyfrę dziesiątek i jedności liczby pięciocyfrowej możemy wybrać na 16 sposobów. Teraz wybieramy cyfrę dziesiątek tysięcy. Możemy ją wybrać na 7 sposobów (dwie ostatnie cyfry już są wybrane, nie możemy też wybrać zera), cyfrę tysięcy wybierzemy na 7 sposobów (bo możemy już wybrać zero), a cyfrę setek na 6 sposobów. Czyli wszystkich liczb pięciocyfrowych podpadających pod ten przypadke jest
4704+2016=6720.

b)
Na pierszym miejscu może stać jedna z liczb \{6,7,8,9\} - możemy ją wybrać na 4 sposoby, na drugim miejscu może stać dowolna cyfra, z wyjątkiem tej która stoi na pierwszym miejscu -mamy 9 możliwości wyboru, trzecia cyfra - 8 możliwości, czwarta - 7, a piąta 6. A więc wszysktich liczb większych od 6000 jest
4\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6=12096
  • 1


#40359 Pprawdopodobieństwo - jakie jest prawdopodobieństwo, że naprawdę istnieje zag...

Napisane przez sakhmet w 11.05.2009 - 13:21

A - system jest włączony
B - istnieje zagrożenie

P(A|B)=0,95

P(A|B')=0,02

P(B)=0,004

P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A|B)P(B)+P(A|B')P(B')}

P(B|A)=\frac{0,95\cdot 0,004}{0,95\cdot 0,004 + 0,02\cdot 0,996}=0,16
  • 1


#38121 Całkowanie metodą przez części

Napisane przez sakhmet w 07.04.2009 - 19:53

\int x\sin (2x+3)dx=\left\{\begin{array}{c}<br />\\  f(x)=x, f'(x)=1 \\<br />\\  g'(x)=\sin (2x+3), g(x)=-\frac{1}{2}\cos (2x+3)<br />\\\end{array}\\ \right\}\\=<br />\\-\frac{1}{2}x\cos )2x+3)+\frac{1}{2}\int \cos (2x+3)dx=-\frac{1}{2}x\cos (2x+3)+\frac{1}{4}\sin (2x+3)
  • 1