Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

Ereinion

Rejestracja: 22 Feb 2009
Offline Ostatnio: May 30 2023 17:52
*****

#126311 Udowodnij tożsamość

Napisane przez Ereinion w 18.01.2016 - 18:17

Ustalmy m i oznaczmy

 

S(n) = m + \sum_{k=0}^{m-1} \lceil \frac{n-k}{m} \rceil= \sum_{k=1}^{m} \lceil \frac{n+k}{m} \rceil

 

Trzeba więc pokazać, że S(n) = m+n \ \ \ \ \ (*)

 

jeśli n = am +b jest wynikiem dzielenia z resztą n przez m, to mamy

 

S(n) = ma + S(b)

 

Wystarczy zatem udowodnić (*) dla n \in \{0, \ldots, m-1 \}

 

Niech c = m -n > 0. Mamy

 

S(n) = \sum_{k=1}^{c} \lceil \frac{n+k}{m} \rceil + \sum_{k=c+1}^{m} \lceil \frac{n+k}{m} \rceil = c + 2 \cdot (m - c) = 2m-c=m+n

 

A to kończy dowód.


  • 2


#126229 Średnia ocen

Napisane przez Ereinion w 14.01.2016 - 14:42

a nie 4,00 jak mogłoby się wydawać.

Być może tak faktycznie intuicja podpowiada, ale to jest błędna intuicja. Jeśli w pierwszym semestrze dostałem 5, 5, 2 (średnia 4,00), a w drugim 5 (średnia 5,00) to nawet jeśli intuicja podpowiada, że średnia wszystkich ocen to 4,5, to faktycznie średnia wynosi jedynie 4,25.

 

Istotne pytanie jest takie, czy liczba ocen jakie dostałeś w pierwszym semestrze jest równa liczbie ocen w drugim semestrze? Jeśli tak, to faktycznie można doszukiwać się błędu w zaokrągleniach, a jeśli nie, to po prostu nie ma matematycznych podstaw do tego, żeby Twoja końcowa średnia była akurat równa 4,00 :)


  • 1


#124718 Algorytm

Napisane przez Ereinion w 22.12.2015 - 13:27

Przypadek a=b=0 należy jak najbardziej uwzględnić.

 

Co do warunku "a i b różne od 0" to możesz to zapisać jako a\cdot b \neq 0 i masz wtedy jedno porównanie w bloku decyzyjnym :P Jeśli byś chciał "a lub b różne od 0" to możesz napisać a^2+b^2 > 0 i też masz jedno porównanie. Oczywiście w praktyce lepiej tego unikać.


  • 1


#124666 Zagadka - szyfr

Napisane przez Ereinion w 19.12.2015 - 02:12

Jeśli dobrze policzyłem, to w sumie mamy 10 różnych liter czyli któraś musi odpowiadać cyfrze  0. Skoro tak, to będzie ta, która się powtarza po prawej stronie i w liczniku lewej, czyli T=0. Stąd szukany iloczyn ma zawsze wartość .


  • 1


#124649 Kąty trójkąta prostokątnego

Napisane przez Ereinion w 17.12.2015 - 14:26

Przy standardowych oznaczeniach w trójkącie mamy

 

\sin \alpha = \frac{a}{2R}

 

oraz, co jest trochę mniej oczywiste

 

\cos \alpha = -1 - \frac{a(a-p)}{2Rr}

 

Po podstawieniu i uproszczeniu, podana równość przybiera postać

 

-2a -a\frac{b^2+c^2-p(b+c)}{2Rr}=b+c

 

Ale przecież 2Rr=\frac{abc}{2p}, więc możemy napisać

 

-2a - \frac{2p}{bc}(b^2+c^2-p(b+c))=b+c

 

co po uproszczeniu daje

 

-abc -\frac{bc(b+c)}{2} = p(b^2+c^2)-p^2(b+c)

 

No i tu niestety nadchodzi ten długo odwlekany moment, gdzie trzeba trochę porachować, czyli podstawiamy p=\frac{a+b+c}{2}, wymnażamy i redukujemy do

 

(b+c)(b^2+c^2-a^2)=0

 

No więc musi być a^2=b^2+c^2 i trójkąt jest prostokątny na mocy tw. odwrotnego do tw. Pitagorasa. :)


  • 2


#124636 Trójkąt wpisany w okrąg

Napisane przez Ereinion w 14.12.2015 - 19:15

Jakby ktoś chciał skonfrontować, to mnie wyszło R=\frac{d \cdot P_a}{2 \sqrt{P_b (P_a - P_b)}}


  • 1


#124614 Punkt w prostopadłościanie

Napisane przez Ereinion w 12.12.2015 - 16:57

Mnie wyszło, że punkt E jest w odległości \frac{a \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{a^2+b^2+h^2}}{a \sqrt{a^2+b^2} + h \sqrt{h^2+b^2}} od B.

 

Po wyniku wnioskuję, że gdzieś się machnąłem w obliczeniach, ktoś może potwierdzić? :)


  • 2


#124578 Cięciwa w elipsie

Napisane przez Ereinion w 08.12.2015 - 00:11

Można bez zbytniego kombinowania:

 

Niech y=ax+b - szukane równanie. Wtedy wsp. x-owe końców cięciwy spełniają równanie

 

\frac{x^2}{25}+\frac{(ax+b)^2}{16}=1

 

Czyli

 

\left( \frac{a^2}{16} + \frac{1}{25}\right)x^2+\frac{ab}{8}x+\frac{b^2}{16}-1 = 0

 

Z wzorów Viete'a i podanego środka cięciwy mamy, że

 

4 = -\frac{ab}{8} \cdot \frac{16 \cdot 25}{25a^2+16} = -\frac{50ab}{25a^2+16}

 

Ale wiemy też, że b=1-2a, bo środek cięciwy należy do szukanej prostej, więc podstawiając za b możemy łatwo policzyć a i ostatecznie szukane równanie to

 

y=-1,28x+3,56


  • 1


#124522 dowód w trójkacie

Napisane przez Ereinion w 26.11.2015 - 19:00

Przy standardowych oznaczeniach załóżmy b.s.o, że AB>AC. Mamy

 

\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC} \ > \ 1

 

oraz

 

\frac{BH}{CH}=\frac{\cot(\beta)}{\cot(\gamma)} \ > \ 1

 

Czyli H i D są po tej samej stronie M.

 

Jeśli \gamma \ge 90^\circ to pozamiatane, więc załóżmy, że nie.

 

Wtedy \cos(\gamma) < \cos(\beta)  czyli  \frac{CH}{AC} < \frac{BH}{AB}

 

Równoważnie

 

\frac{AB}{AC} < \frac{BH}{CH}

 

Czyli również \frac{BD}{CD} < \frac{BH}{CH}, a stąd już widać to co chcemy.


  • 2


#124173 zbadaj zbieżność szeregu

Napisane przez Ereinion w 02.11.2015 - 10:21


licznik (2\cdot 2^n+3\cdot 3^n)(3^n+4^n)=2\cdot 2^n\cdot 3^n+2\cdot 2^n\cdot 4^n+3\cdot 3^n\cdot 3^n+3\cdot 3^n\cdot 4^n

 

\fbox{\bl{a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n}}
 

=2\cdot 6^n+2\cdot 8^n+3\cdot 9^n+3\cdot 12^n

 

wyciągasz wspólne czynniki 2 i 3

 

=2(6^n+8^n)+3(9^n+12^n)

 

na podstawie powyższej zasady      6^n=2^n\cdot 3^n         8^n=2^n\cdot 4^n         9^n=3^n\cdot 3^n        12^n=3^n\cdot 4^n

 

=2(2^n\cdot 3^n+2^n\cdot 4^n)+3(3^n\cdot 3^n+3^n\cdot 4^n)=2^{n+1}\cdot 3^n+2^{n+1}\cdot 4^n+3^{n+1}\cdot 3^n+3^{n+1}\cdot 4^n

 

i znowu wspólny czynnik

 

=2^{n+1}(3^n+4^n)+3^{n+1}(3^n+4^n)=(3^n+4^n)(2^{n+1}+3^{n+1})

 

Jarek, po pierwszym poście myślałem, że może trollujesz, ale po drugim widzę, że nie, więc trochę ułatwię Ci życie :)

 

Otóż 2\cdot 2^n=2^{n+1} oraz 3\cdot 3^n= 3^{n+1}, więc (2\cdot 2^n+3\cdot 3^n)(3^n+4^n)=(3^n+4^n)(2^{n+1}+3^{n+1})


  • 1


#123905 Trójkąt i środkowa

Napisane przez Ereinion w 18.10.2015 - 18:17

Mamy najpierw \angle CAD = 45^\circ - 30^\circ = 15^\circ

 

Niech E - rzut B na AC. Wtedy \Delta BED jest równoboczny i stąd \angle EDA = 60^\circ -\angle ADB = 15^\circ = \angle CAD, więc |AE|=|ED|=|EB|.

 

Tym samym \Delta ABE jest równoramienny i prostokątny, skąd \angle DAB = 45^\circ - \angle CAD = 30^\circ


  • 1


#123866 Pierwiastki równania, wzory Vietae etc

Napisane przez Ereinion w 16.10.2015 - 22:21

Z wzorów Viete'a dla podanego wielomianu mamy

 

y_1+y_2+y_3 = 1

y_1y_2+y_2y_3+y_3y_1=-2

y_1y_2y_3 = 1

 

Stąd szukane równanie to x^3-x^2-2x-1 = 0


  • 1


#123846 Porównywanie zawartości plików tekstowych

Napisane przez Ereinion w 15.10.2015 - 17:53

Naiwne rozwiązanie bez listy może być np takie, że dla każdej linijki z pierwszego pliku przeglądamy cały drugi plik i jeśli badanej linii nie znaleźlismy w drugim pliku, to ją wypisujemy. Potem analogicznie dla drugiego pliku.

 

Wtedy mamy koszt pamięciowy stały, ale za to dużo czytamy z dysku no i czasowo to jest nieoptymalne bo jeśli długości list to, powiedzmy k i m, to złożoność czasowa algorytmu to coś okolicach O(k\cdot m\cdot n)

 

Jeśli zaś zależy nam na czasie, to wczytujemy zawartość plików do dwóch tablic (lub list) i sortujemy każdą z nich (można nawet równolegle). Potem na takich dwóch tablicach wykonujemy merge (jak w algorytmie Merge Sort) i wtedy łatwo stwierdzamy, które linie trzeba wypisać.

 

Wówczas mamy sortowanie w czasie O(n \cdot k \cdot \log k +n \cdot m \cdot \log m) i scalenie w czasie O(\min(k, m))


  • 1


#123835 Przekrój ostrosłupa

Napisane przez Ereinion w 14.10.2015 - 10:49

Bardzo lubię robić zadania po Jarku, bo robi on wysokiej jakości rysunki, więc i tym razem pozwolę sobie z takiego "gotowca" skorzystać. Czyli oznaczenia jak u Jarka :)

 

Niech h - wysokość \Delta BCD. Wtedy

 

|HI| = \frac{1}{2} \cdot h oraz |GH| = \frac{1}{2} \cdot H

 

Stąd

 

P_{BGD} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{\frac{h^2+H^2}{4}} = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2)\left(H^2 + \frac{a^2b^2}{a^2+b^2} \right)} = \frac{1}{4}\sqrt{H^2a^2+H^2b^2 + a^2b^2}


  • 2


#123834 Tożsamość trygonometryczna

Napisane przez Ereinion w 14.10.2015 - 10:18

Zgadza się, druga nierówność w pierwszej części definicji powinna być słaba. W (9) jest juz dobra wartość n \choose n podana, więc to nie jest tak, że oni nie wiedzą ile powinno być :)

 

Na dole strony jest link "Contact the MathWorld Team" i możesz zgłosić ten błąd oraz ew. inne, które znalazłaś.


  • 1