Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

Ereinion

Rejestracja: 22 Feb 2009
Offline Ostatnio: Aug 27 2017 17:04
*****

Moje posty

W temacie: równane w lczbach naturalych

04.07.2016 - 11:34

Zgadza się, dla nieparzystego y trzeba było to oddzielnie opisać. Poprawiłem już i teraz powinny wychodzić liczby całkowite :) Mam przeczucie, że można tę końcową postać jakoś uprościć, ale póki co nie bardzo widzę jak.


W temacie: równane w lczbach naturalych

03.07.2016 - 13:09

Ja mam średnio eleganckie to rozwiązanie, ale niech będzie.

 

Zauważmy, że jak 2|x to 2|y i 2|z, więc dalej skupiamy się na przypadku x nieparzystego. Z podobnych powodów możemy dalej przyjąć, że 3 \not | x. Na początku szukamy rozwiązań tylko takich, że NWD(x,y) = 1.

 

Mamy (z+x)(z-x) = 3y^2.

 

Przyjmijmy najpierw, że 3|z+x.

 

Zapiszmy y = 2^t \cdot k \cdot m, gdzie t \ge 0 oraz  NWD(k,m) = 1, i k,m są nieparzyste, a także z+x = 3k^2 \cdot 2^a oraz z-x = m^2 \cdot 2^b, dla pewnych nieujemnych a,b, takich że a + b =2t (przy czym, jesli t > 0, to min(a,b)=1)

 

Takie przedstawienie jest możliwe, bo gdyby było dla jakiejś liczby pierwszej p|y tak, że p|z+x i p|z-x to p|2x, więc musiałoby być być p = 2. Dodatkowo, 2 || NWD(x-z,x+z).

 

Innymi słowy, mamy

 

(x, y, z) = (3k^2 \cdot 2^{a-1} - m^2 \cdot 2^{b-1}, 2^t \cdot k \cdot m, 3k^2 \cdot 2^{a-1} + m^2 \cdot 2^{b-1})

 

 

Może też być tak, że 3|z-x i wówczas dostajemy trójki

 

(x, y, z) = (k^2 \cdot 2^{a-1} - 3m^2 \cdot 2^{b-1}, 2^t \cdot k \cdot m, k^2 \cdot 2^{a-1}+ 3m^2 \cdot 2^{b-1})

 

Tym sposobem wygenerujemy wszystkie rozwiązania, dla których NWD(x,y) = 1. Pozostałe wygenerujemy biorąc (dx,dy,dz) dla dowolnego d \in \mathbb{N}.

 

Jeszcze na końcu taka uwaga, że albo trzeba opisać możliwe wartości k i m tak, żeby x nie wychodził ujemny albo wziąć do rozwiązania |x| jako że chcemy mieć liczby naturalne.


W temacie: ciekawy układ równań

03.07.2016 - 11:59

Nie ma problemu, a=b=30,25. Wtedy \sqrt{a}+\sqrt{b}=11. Dalsza dyskusja tutaj chyba nie ma sensu. Wyjściowe zadanie pozostaje nierozwiązane :)


W temacie: równane w lczbach naturalych

01.07.2016 - 22:57

Jak tak rozwiązujesz te zadania, to wystarczyło napisać, że (1,1,2) jest rozwiązaniem i zakończyć. W matematyce przez "rozwiąż równanie" zwykło się rozumieć "znajdź wszystkie rozwiązania lub udowodnij, że nie istnieją" :)

 

Ja generalnie nie mam nic przeciwko częściowym rozwiązaniom, ale dobrą praktyką jest zaznaczyć wyraźnie "nie wiem jak to rozwiązać w ogólnym przypadku, ale jeśli x|y to mamy następujące rozwiązania:..."

 

Jestem pod wrażeniem ilości archwialnych zadań, które rozwiązujesz, ale oby to nie było kosztem jakości, tak jak tutaj.


W temacie: ciekawy układ równań

01.07.2016 - 22:48

Blef, ale nie ważna jest droga do sukcesu. Liczy się sukces.

 

Nie wiem co to za jakieś podwórkowe złote myśli, ale u nas w matematyce to tak nie działa :)

 

 

a suma dwóch liczb niewymiernych nigdy nie da liczby całkowitej

 

\sqrt{2} + (2-\sqrt{2}) ?