Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

Arczi

Rejestracja: 05 Feb 2009
Offline Ostatnio: Jan 19 2016 19:27
*****

#100448 Tabelka przebiegu zmienności, co oznacza x

Napisane przez Arczi w 07.05.2012 - 18:16

Nie chcę Cię wprowadzać w błąd, ale u mnie na lekcjach (a było to, hmm z 10 lat temu;)) wstawialiśmy krzyżyk (X w całej kratce;)) w miejscu, gdzie funkcja nie była określona.
  • 1


#98634 równanie kwadratowe

Napisane przez Arczi w 19.03.2012 - 07:49

Na początku musisz policzyć \Delta ze wzoru: \Delta = b^2 - 4ac. W tym przypadku otrzymujesz:

\Delta =(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4.

W celu obliczenia pierwiastków korzystasz ze wzorów:

x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4-2}{2} = 1,

x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4+2}{2} = 3.

Są to poszukiwane przez Ciebie pierwiastki równania kwadratowego
  • 1


#98633 z równań kwadratowych

Napisane przez Arczi w 19.03.2012 - 07:44

Ponieważ \Delta < 0, więc równanie to nie posiada pierwiastków rzeczywistych.
  • 1


#97218 2.Oblicz prawdopodobieństwo, że na siedem rzutów kostką

Napisane przez Arczi w 21.02.2012 - 19:02

Wykorzystany został schemat Bernoulliego, gdzie sukcesem jest wypadnięcie 5 lub 6, a zatem prawdopodobieństwo sukcesu wynosi \frac{2}{6}=\frac{1}{3}, natomiast prawdopodobieństwo porażki \frac{4}{6}=\frac{2}{3}. Stąd otrzymujemy ułamki, o które pytasz. Jeśli natomiast chodzi o symbol Newtona, to 7 oznacza ilość rzutów kostką, co najwyżej 2 razy, a więc 0, 1 lub 2. Myślę, że wszystko zostało wyjaśnione :) W razie czego proponuję spojrzeć na schemat Bernoulliego i wszystko powinno być jasne ;)
  • 1


#97181 Ciekawe liczby - liczba polindromiczna, liczby bliźniacze, liczba doskonała,...

Napisane przez Arczi w 20.02.2012 - 20:00

Chwilkę mi to zajęło, ale mam nadzieję, że nie ma błędów :) Jakby co, to poprawię ;)

Liczba obfita (abundant number) – jest to liczba n, dla której suma dzielników \sigma(n) > 2n lub równoważnie suma dzielników właściwych s(n) > n. Przykłady liczb obfitych: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54
Przykładowo: Dzielnikami 24 są 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 i 24, których suma wynosi 60. Ponieważ 60 jest liczbą większą od 2 \dot 24, to liczba 24 jest obfita.

Potęga apokaliptyczna – liczbę n nazywamy potęgą apokaliptyczną, jeśli 2^n zawiera ciąg liczb 666.
Przykłady potęg apokaliptycznych: 157, 192, 218, 220, 222, 224, 226, 243, 245, 247.
przykładowo: 2^{157} = 1,8268770466636286\cdot10^{47}

Liczby Carmichaela – liczba złożona n jest liczbą Carmichaela, jeśli b^{n-1}=1(mod n), dla każdej liczby całkowitej b, która jest względnie pierwsza z n. Przykłady liczb Carmichaela: 561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341.
Przykładowo: 2^{157} = 1,8268770466636286\cdot10^{47}.

Liczby Catalanan-ta liczna Catalana jest równa {2n \choose n}/(n+1) = (2n)!/(n!(n+1)!).
Przykłady liczb Catalana: 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796.

Liczba deficytowa (deficient number) – liczba n jest deficytowa, jeśli suma wszystkich jej dodatnich dzielników (za wyjątkiem jej samej) jest mniejsza od n. Przykłady liczb deficytowych: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11.
Przykładowo: Rozważmy liczbą 10. Jej dzielnikami są: 1, 2, 5, a ich suma wynosi 8. Ponieważ 8 < 10, więc liczba ta jest deficytowa.

Liczba zła (evil) – liczba n jest zał, jeśli ma parzystą liczbę jedynek w rozwinięciu binarnym. Przykłady liczb złych: 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 20.

Liczby Fibonacciego – liczby, które tworzą ciąg Fibonacciego. Przykłady liczb Fibonacciego: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 (dwie pierwsze liczby ciągu Fibonacciego są dane, tzn. 1 oraz 1, a kolejne tworzymy sumując dwie poprzednie, tzn. 3=2+1, 5 = 3+2, itd.)

Liczba wesoła (happy) - jest liczbą naturalną zdefiniowaną w następujący sposób: Obliczamy sumę kwadratów cyfr składających się na liczbę. Powtarzamy tę operację dla kolejnych wyników tak długo, aż uzyskamy liczbę 1 lub wyniki zaczną się powtarzać. Jeżeli w wyniku procesu otrzymaliśmy 1, pierwotna liczba jest liczbą wesołą. W przeciwnym przypadku jest liczbą niewesołą. Przykłady liczb wesołych: 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44.
Przykładowo 7 jest liczbą wesołą ponieważ podlega następującej sekwencji obliczeń:

7^2 = 49
4^2 + 9^2 = 97
9^2 + 7^2 = 130
1^2 + 3^2 + 0^2 = 10
1^2 + 0^2 = 1.

Liczba szczęśliwa (lucky) - w celu utworzenia ciągu liczb szczęśliwych, rozpoczynamy od ciągu liczb naturalnych. Usuwamy wszystkie drugie liczby w ciągu, pozostają nam: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … Druga liczbą, jaka nam pozostała jest 3, usuwamy zatem każdą trzecią liczbę, pozostają: 1, 3, 7, 9, 13, 15, 19,… Kolejną liczbą, jaka nam pozostała jest 7, usuwamy więc siódme liczby i pozostają nam: 1, 3, 7, 9, 13, 19, 21, … itd. Liczby, które nam pozostaną nazywamy szczęśliwymi. Przykłady liczb szczęśliwych: 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33.

Liczba Mersenne’a – liczba postaci 2^p-1 zwana jest liczbą Mersenne’a, jeśli p jest liczbą pierwszą. Przykłady liczb Mersenne’a: 3, 7, 31, 127, 2047, 8191, 131071, 524287, 8388607, 536870911.

Liczba pierwsza Mersenne’a – liczba Mersenne’a, która dodatkowo jest liczbą pierwszą. Przykłady liczb pierwszych Mersenne’a: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111.

Liczba narcystyczna (narcissistic)k-cyfrowa liczba n zwana jest narcystyczna, jeśli jest ona równa sumie k-tych potęg jej cyfr. Przykłady liczb narcystycznych: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153
Przykładowo: 153 = 1^3 + 5^3 + 3^3.

Liczba odrażająca (odious) – liczba n jest odrażająca, jeśli posiada ona nieparzystą liczbę jedynek w jej rozwinięciu binarnym. Przykłady liczb odrażających: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 19.

Liczba pięciokątna (pentagonal) – liczba postaci n\frac{3n-1}{2}. Przykłady liczb pięciokątnych: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145

Liczba potężna (powerful) – liczba całkowita n jest potężna, jeśli dla każdej liczby pierwszej p dzielącej n, p^2 również dzieli n. Przykłady liczb potężnych: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49.

Liczba praktyczna (practical) – liczba n jest praktyczna, jeśli wszystkie liczby ściśle mniejsze od n są sumą różnych dzielników n. Przykłady liczb praktycznych: 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24.
Przykładowo: 12 jest liczbą praktyczną, ponieważ wszystkie liczby od 1 do 11 można wyrazić jako sumę jej dzielników: 1, 2, 3, 4 i 6. Mamy: 5 = 3+2, 7=6+1, 8=6+2, 9=6+3, 10=6+3+1, 11=6+3+2.

Liczba proniczna (pronic) – liczbę nazywamy proniczną, jeśli jest ona iloczynem dwóch następujący po sobie liczb naturalnych, tzn. n(n+1). Przykłady liczb ironicznych: 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110
Przykładowo: 30=5\cdot6.

Liczba repunit – liczba, której każda cyfra jest jedynką. Przykłady liczb repunit: 1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, 1111111, 11111111, 111111111, 1111111111.

Liczba Smitha - liczba naturalnaniebędąca liczbą pierwszą (liczba złożona), której suma cyfr (w systemie dziesiętnym) jest równa sumie cyfr wszystkich liczb występujących w jej rozkładzie na czynniki pierwsze. Przykłady liczb Smitha: 4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265
Przykładowo: 202 jest liczbą Smitha, ponieważ 2 + 0 + 2 = 4, a po rozkładzie na czynniki pierwsze 202 = 2 \cdot101, a więc suma cyfr wynosi 2+1+0+1=4.

Liczba Ulama – jednoznaczna liczba powstała z sumy dwóch różnych wcześniejszych liczb Ulama (zakładamy, że pierwszą liczbą Ulama jest 1, a drugą 2). Przykłady liczb Ulama: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18.
Przykładowo: Z definicji 3 jest liczbą Ulama (1+2); 4 jest liczbą Ulama (1+3) (2+2 odpada, ponieważ nie są to dwie różne liczby); 5 nie jest liczbą Ulama, ponieważ 5 = 1+4 = 2+3 (brak jednoznaczności).

Liczba falista (undulating) – jest to liczba postaci ababababab… o bazie 10. Przykłady liczb falistych: 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191.
Inny przykład: 131313131.

Liczba wampir (vampire) – liczbę n nazywamy liczbą wampirem, jeśli istnieje rozkład liczby n przy użyciu cyfr tej liczby. Przykładowe liczby wampiry: 126, 153, 688, 1206, 1255, 1260, 1395, 1435, 1503, 1530.
Przykładowo: 1260 jest liczbą wapirem, gdyż 1260 = 21 \cdot 60.
  • 4


#96697 pochodna

Napisane przez Arczi w 09.02.2012 - 13:14

Wynik tam podany jest taki sam, jak te powyżej:

\frac{x^4}{(x^5)^{\frac{3}{2}}}=\frac{x^4}{x^{\frac{15}{2}}}=x^{4-\frac{15}{2}}=x^{\frac{-7}{2}}
  • 1


#89875 rozwiąż równanie

Napisane przez Arczi w 10.10.2011 - 17:34

Wszystko jest OK! :)
  • 1


#88380 liczba naturalna

Napisane przez Arczi w 09.09.2011 - 08:43

Ciąg arytmetyczny:

a_1=2, r=3, a zatem a_n=2+\(n-1\)\cdot 3 = 3n-1

Ciąg geometryczny:

b_1=5, q=4, a zatem b_n=5\cdot 4^{n-1} = \frac{5}{4}\cdot 4^n

Teraz już bardzo łatwo możesz sprawdzić, że rzeczywiście b_1=a_2 oraz b_2=a_7.

Jeśli chodzi o ostatnią część zadania, to:

3n-1=\frac{5}{4}\cdot 4^k \Rightarrow n=\frac{5}{12}\cdot 4^k + \frac{1}{3}

Stąd otrzymujemy:

k=1 \Rightarrow n = \frac{5}{12}\cdot 4^1 - \frac{1}{3} = \frac{5}{12}\cdot 4 + \frac{1}{3} = 2, czyli b_1=a_2

k=2 \Rightarrow n = \frac{5}{12}\cdot 4^2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{12}\cdot 16 + \frac{1}{3} = 7, czyli b_2=a_7

k=3 \Rightarrow \dots
  • 1


#85228 test Lucasa-Lehmera

Napisane przez Arczi w 14.05.2011 - 10:06

Może mały przykład obrazujący to twierdzenie.

Wiadomo, że dla p=7 liczba Mersenne'a M_7=2^7-1=127 jest liczbą pierwszą.

Obliczmy teraz S_6:

S_1=2, S_2=4-4=0, S_3=0-4=-4, S_4=16-4=12, S_5=144-4=140, S_6=19600-4=19596

Sprawdzamy, czy 7 jest dzielnikiem 19596:

19596:7=2799\cdot7+3.

Kontrprzykład do tego twierdzenia (jeśli wszystko dobrze policzyłem:))
  • 1


#83024 Przesuwanie wykresów funkcji

Napisane przez Arczi w 29.03.2011 - 15:52

Wystarczy zauważyć, że:

y=x^2-2x+3 możemy zapisać, jako y-2=\(x-1\)^2.

Natomiast:

y=x^2+6x+2 możemy zapisać, jako y+7=\(x+3\)^2.

Myślę, że to powinno pomóc ;)
  • 1


#78078 Udowodnienie podzielności sumy sześcianów przez 9

Napisane przez Arczi w 03.01.2011 - 08:37

Brakuje mi pewnego elementu w powyższym rozwiązaniu ;), a mianowicie:
Suma sześcianów 3 kolejnych liczb naturalnych, czyli np. 1, 2, 3, albo 4, 5, 6, ... Te ciągi liczb nie są uwzględniane w rozwiązaniu. Nie jest to jednak problem. Wystarczy, że sprawdzisz podobnie jak powyżej, że stwierdzenie to jest prawdziwe, dla ciągów:
3n-2, 3n-1, 3n oraz 3n, 3n+1, 3n+2.
Teraz rozpatrywany jest już każdy ciąg 3 kolejnych liczb naturalnych.
  • 1


#75921 Obliczanie sumy szeregu

Napisane przez Arczi w 24.11.2010 - 20:03

Mnie zastanawia tylko ta jedna dwójka, która pojawia Ci się po drugiej równości.

[(2x)^n]'=\frac{(2x)^nn}{x}

Tak na pierwszy rzut oka mi się wydaje, ale zaraz to sprawdzę dokładnie ;)
Chyba jest ok, w razie czego ktoś mnie poprawi :) No i teraz wynik wyjdzie taki, jak trzeba.
Po przeliczeniu wychodzi mi dokładnie to, co Tobie, ale właśnie 4x, a nie 8x.
  • 1