Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

młodzian

Rejestracja: 03 Jan 2009
Offline Ostatnio: Feb 23 2015 18:28
-----

Moje posty

W temacie: Lewostronna odwrotność macierzy prostokątnej

22.02.2015 - 11:22

Niech dana będzie macierz prostokątna A_{n \times m}, m<n. Pokazać, że istnieje jej lewostronna odwrotność A^{-1}_{m \times n}, taka że 

A^{-1}A=I,

wtedy i tylko wtedy, gdy rankA=m.

Zauważmy, że jeśli macierz A^{T}A jest odwracalna, to

\underbrace{(A^{T}A)^{-1}A^T}_{A^{-1}}A=I.

 Stąd, jeśli detA^{T}A\neq 0, to istnieje lewostronna odwrotność macierzy A. Wystarczy więc udowodnić, że jeśli \operatorname{rank}A=m, to detA^{T}A\neq 0. W tym celu pokażemy, że jądra A oraz A^T A są równe  \operatorname{ker}(A)=\operatorname{ker}(A^{T}A).
Ponieważ \operatorname{rank}A=m, to kolumny macierzy A są liniowo niezależne, zatem \operatorname{ker}(A)=\overrightarrow{0}. Załóżmy, że a \in \operatorname{ker}(A^{T}A), wtedy


A^{T}Aa=\overrightarrow{0} \leftrightarrow a^TA^{T}Aa=0 \leftrightarrow \|Aa\|^2=0 \Rightarrow Aa=\overrightarrow{0},

zatem a \in \operatorname{ker}(A), a ponieważ \operatorname{ker}(A)= \overrightarrow{0}, więc \operatorname{ker}(A^{T}A) = \operatorname{ker}(A)= \overrightarrow{0}. Stąd, kolumny macierzy kwadratowej A^{T}A są liniowo niezależne oraz detA^{T}A\neq 0.


W temacie: Dowód "nieosobliwości" macierzy trójkątnej górnej/dolnej

18.02.2015 - 21:53

Skorzystaj z faktu, że wyznacznik macierzy górnotrójkątnej jest równy iloczynowi elementów na przekątnej.
Dodatkowo, macierz jest nieosobliwa, gdy jej wyznacznik \neq 0

 

Bez wyznaczników można to pokazać posiłkując się rzędem takiej macierzy. Gdy macierz górnotrójkatna posiada element zerowy na przekatnej  to jej rząd jest mniejszy niż stopień, a co za tym idzie wiersze są liniowo zależne i macierz nie jest odwracalna.