Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

JSB

Rejestracja: 13 May 2007
Offline Ostatnio: Jan 14 2013 17:49
**---

Moje posty

W temacie: Przy pomocy twierdzenia o 3 ciagach obliczyc granice

12.01.2013 - 11:29

\frac{1+\frac{1}{2^x}}{1-\frac{1}{2^x}}<\frac{1-\frac{\sin x}{2^x}}{1+\frac{\cos x}{2^x}}<\frac{1-\frac{1}{2^x}}{1+\frac{1}{2^x}}

Prawy ciąg i lewy zbiegają do 1

W temacie: rozw. układ równań - parametr

02.05.2012 - 00:32

Najlepiej robi się to metodą wyznacznikową

1.
Trzeba rozdzielić x i y

(m-p)x-(m+p)y=2m \\ (m+p)x+(p-m)y=2p \\ W=\begin{vmatrix}m-p & m+p \\ m+p & p-m \end{vmatrix}=-(m-p)^2-(m+p)^2=-(m^2-2mp+p^2+m^2+2mp+p^2)=-2(m^2+p^2)

Łatwo się rozwiązuje dla W\ne0 tj. |m|\ne |p| wtedy:

x=\frac{W_x}{W}=\frac{\begin{vmatrix}2m & m+p \\ 2p & p-m \end{vmatrix}}{-2(m^2+p^2}=\frac{2mp-2m^2-2mp-2p^2}{-2(m^2+p^2)}=1 \\ y=\frac{W_y}{W}=\frac{\begin{vmatrix}m-p & 2m \\ m+p & 2p \end{vmatrix}}{-2(m^2+p^2}=\frac{2mp-2p^2-2m^2-2mp}{-2(m^2+p^2}=1

Jeżeli |m|= |p|
to m=p \ lub \ m=-p
Rozważmy m=p
Wtedy układ redukuje się do:
-2my=2m \\ 2mx=2m
Czyli x=1 \ y=-1

Dla
m=-p \\ 2mx=2m \\ -2my=-2m\\ x=1 \ y=1

Czyli ostatecznie dostajemy:
dla dowolnych m, p takich że m^2+p^2\ne0 oraz dla m=-p
x=1 \ y=1

dla m=p
x=1 \ y=-1

2.
Rozwiązując po prostu:
x=p-y \\ ap-ay-by=0 \\ dla a\ne-b \\ y=\frac{ap}{a+b} \\ x=p-\frac{ap}{a+b}\\ dla\ a=-b \\ x+y=p \ i \ x+y=0
Czyli w drugim przypadku niesprzeczny tylko dla p=0