Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

KCN

Rejestracja: 03 Dec 2008
Offline Ostatnio: Jun 10 2017 15:35
****-

#122645 dx w całce

Napisane przez KCN w 07.07.2015 - 21:36

Milcząco założyłem (choć zapis na to nie wskazuje) że F(x) jest rodziną funkcji takich że ich pochodna daje f(x)

 

Okiej, pokaże :)

 

Rozważmy funkcję rzeczywistą jednej zmiennej ciągłą w pewnym przedziale domkniętym [a,b]\subset \mathbb{R} f

 

Wiadomo że z taka funkcja ma swój wykres w [a,b].

 

 

Rozważmy teraz funkcję P: [a,b]\rightarrow \mathbb{R} która poczynając od a przedstawia wartość pola jakie tworzy się między wykresem funkcji f a osią OX.

Czyli P(x), to wartość pola jakie jest między wykresem f, a osią OX na odcinku [a,x], dla x\in [a,b].

 

Weźmy teraz (patrz rysunek)

 

pre_1436302266__wykres.jpg

 

\Delta P Jako przyrost pola. 

\Delta P=P(x+\Delta x)-P(x)

 

Oraz obierzmy pola prostokątów

f(x_1)\Delta x oraz f(x_0)\Delta x dla x_0, x_1 \in [x;x+\Delta x] takich, że f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_0) dla każdego x\in [x;x+\Delta x]

 

Wobec tego

f(x_1)\Delta x\leq P(x+\Delta x)-P(x) \leq f(x_0)\Delta x

 

f(x_1)\leq \frac{P(x+\Delta x)-P(x)}{\Delta x} \leq f(x_0)

 

f(x+\theta \Delta x)\leq \frac{P(x+\Delta x)-P(x)}{\Delta x} \leq f(x+\psi \Delta x)

 

Gdzie  \theta, \psi \in [0;1]

 

Jak przejdziemy z \Delta x \rightarrow 0

 

Otrzymamy f(x)=P'(x)

 

Teraz jeśli \int_{a}^{x}f(x)dx ma być odpowiednio polem, to

 

\int_{a}^{x}f(x)dx=P(x)

 

No i wiemy że P jest funkcją pierwotną funkcji f.

 

Tutaj wartym komentarza jest, że a jest ustalonym parametrem względem którego my liczymy pole, bo tak naprawdę zawsze od a je mierzymy.

Aby "uzmiennić" zakres (dolną granicę), można np tak:

 

 

\int_{a}^{\alpha}f(x)dx=P(\alpha)     \int_{a}^{\beta}f(x)dx=P(\beta)

 

\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx=\int_{a}^{\beta}f(x)dx-\int_{a}^{\alpha}f(x)dx=P(\beta)-P(\alpha)


  • 3


#122641 dx w całce

Napisane przez KCN w 07.07.2015 - 16:05

Całka oznacza niejako sumowanie, no tyle że jest to taka suma z granicznym przejściem do nieskończenie wielu nieskończenie małych elementów.

 

Ogólnie wygląda to tak: \int dy=y Czyli jakoby sumowanie nieskończenie wielu pewnych różniczek.

 

I np weźmy y=f(x) oraz F'(x)=\frac{dF(x)}{dx}=f(x) 

dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx

 

\int f(x)dx=\int F'(x)dx=\int dF(x)=F(x)

 

Taka całka funkcji ciągłej jednej zmiennej jest geometrycznie polem pomiędzy krzywą reprezentującą funkcję a osią. Można w ciekawy sposób pokazać, że jeśli całka to sumowanie które daje pole powierzchni, to faktycznie wynik całki wiąże się z funkcją pierwotną.


  • 1


#122624 całka podwójna

Napisane przez KCN w 06.07.2015 - 06:29

Pozwolę się nie zgodzić z tym jakobianem.

Raczej powinny wyjść same stałe.


  • 1


#122379 Wyznacz wartości i wektory własne endomorfizmu

Napisane przez KCN w 16.06.2015 - 13:36

Baza jak najbardziej ok.

Proponuję wstawić wzór ogólny wielomianu 3 stopnia, podstawić go do wzoru endomorfizmu i poupraszczać/poskracać to co wyjdzie.

Z tego już zrobienie macierzy przekształcenia nie będzie stanowiło problemu.


  • 1


#122356 Wyznacz wielomian charakterystyczny macierzy

Napisane przez KCN w 14.06.2015 - 23:06

Tak, wszystkie działania wg tej tabelki jedziesz, bo działasz w takim a nie innym ciele.


  • 1


#122336 Wyznacz wielomian charakterystyczny macierzy

Napisane przez KCN w 14.06.2015 - 14:31

Nie.

Np. w ciele \mathbb{Z}_2 3 "to będzie" 1, bo 3 dzielone na 2 daje 1 i resztę 1 i to ta reszta z dzielenia jest brana pod uwagę.

Podobnie: w ciele \mathbb{Z}_5 3 "to będzie" 2 bo 5 dzielne na 2 daje 1 i resztę 2

Wstaw rozwiązanie.


  • 1


#122332 Wyznacz wielomian charakterystyczny macierzy

Napisane przez KCN w 14.06.2015 - 12:04

Tak samo jak z każdym innym ciałem :)

Masz pierścienie reszt modulo. Przy czym liczby n są liczbami pierwszymi więc są to ciała. Dla ciebie o tyle łatwiej, że można sobie wykonywać skracanie.

Najprościej narysować tabele Cayleya działań dodawania i mnożenia. I takimi działaniami się posiłkujesz podczas operacji na macierzy.

Oczywiście np liczbę 3 w ciele \mathbb{Z}_3 można zapisać jako 0, gdyż 3 dzielone na 3 daje resztę zero.


  • 1


#120996 Funkcja lipschitzowska

Napisane przez KCN w 20.03.2015 - 08:20

1. Rozważam funkcję f: R -> R. Czy wystarczy zamiast "P" przyjąć "R"? Nie spowoduje to żadnych "kolizji" (w tw. Lagrange jest mowa o krańcach przedziału, a dla R są to \pmnieskończoność)?

2. Dowód w drugą stronę był niepotrzebny, zresztą nie wiem, czy nie ma do tego kontrprzykładu...

3. Nie rozumiem co oznacza zapis t\in int P?

Dzięki ;)

1. Funkcja różniczkowalna w dowolnym P\subset \mathbb{R} a więc i w całym \mathbb{R}.

2. Nie ma kontrprzykładu. jeśli nierówność zachodzi dla dowolnych x,y\in P to i granica nie przekroczy stałej L. Możesz sobie to na ciągach y_n \rightarrow x zauważyć.

3. intP oznacza wnętrze zbioru P ;)


  • 1


#120662 Zbadaj ciągłość funkcji

Napisane przez KCN w 06.03.2015 - 20:16

f: [0,1]\rightarrow R

 

f(x)= \{ 1, x\in Q \\ 0, x\in R\Q

 

Każda liczba niewymierna może być przedstawiona jako granica pewnego ciągu liczb wymiernych tj.

\lim q_n=q gdzie q_n \in \mathbb{Q} n\in \mathbb{N} oraz q\in \mathbb{R}\ \mathbb{Q}

Dalej już pokombinuj sama ;)


  • 1


#120620 Grawitacja przyspieszenie

Napisane przez KCN w 04.03.2015 - 16:10

 

a odwrotnie proporcjonalne do promienia.

 

Odwrotnie proporcjonalne do kwadratu promienia.                                                                                                                                                                                                                                                                                                 


  • 2


#120597 Oblicz granicę funkcji

Napisane przez KCN w 03.03.2015 - 07:42

To tylko propozycja czy raczej PROPOZYCJA=NAKAZ :D

 

bo jeśli skorzystasz z d'Hospitala

 

\lim_{x\to 0} \frac{sin(sinx)}{x}=H[\frac{0}{0}]=\lim_{x\to 0}\frac{cos(sin(x))\cdot cos(x)}{1}=\lim_{x\to 0}(cos(sin(x))\cdot cos(x))=cos(0)\cdot 1=1\cdot1=1

 

Ale poszukaj może ograniczenie z dołu, to będziesz miał dwa sposoby.

 

Albo tak: \lim_{x\to 0} \frac{sin(sinx)}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{sin(sinx)}{sinx}\cdot \frac{sinx}{x}=1\cdot 1

 

Żeby nie było skąd to wziąłem:

 

\lim_{x\to 0}\frac{sin(sinx)}{sinx}=\begin{vmatrix}t=sinx \\ t\to 0\end{vmatrix}=\lim_{t\to 0}\frac{sin(t)}{t}=1


  • 1


#120517 Sprawdź czy funkcja jest rozwiązaniem

Napisane przez KCN w 27.02.2015 - 05:57

 

Jako co???

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

 

No z dupy, trochę niedopowiedziane... Pewnie autorce chodziło o x=u(t) chociaż nie ma co zgadywać.


  • 1


#120482 Oblicz całkę podwójną

Napisane przez KCN w 26.02.2015 - 07:15

\int_{-1}^{1}x^2\cdot \frac{y^2}{2}|_{-2}^{2}dx=\int_{-1}^{1}4x^2dx

 

zasadniczo należało by podzielić wewnętrzna całkę bo wychodzi 0 ale ze względu na symetryczność ujdzie i tak

 

A ja nie rozumiem powyższego przejścia...

Niby na jakiej zasadzie wyszło ci 4x^2 ? Właśnie przez wzgląd na to, że ta funkcja jest antysymetryczna (nieparzysta względem zmiennej y) i że całkujemy po zbiorze symetrycznym względem zera powinno wyjść zero.


  • 1


#120479 Układ równań

Napisane przez KCN w 25.02.2015 - 22:47

\{x-y-z=0\\ x+4y+2z=0\\ 3x+7y+3z=0

Rozwiązuje to tw. Kroneckera-Capelli’ego i wychodzi mi układ sprzeczny... czy robię to poprawnie?

Układ jest jednorodny, a więc może mieć co najwyżej 1 rozwiązanie (trywialne) albo nieskończenie wiele rozwiązań.


  • 1


#120478 Dana funkcja jest surjekcją?

Napisane przez KCN w 25.02.2015 - 22:44

A mianowicie chce się upewnić czy dobrze wnioskuje, że nie jest to surjekcja.

 

Zatem  f:\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}

 

f(a,b)=(a+b,a-b+1)

 

funkcja f surjekcja?

 

weźmy dowolne (m,n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}

 

f(a,b)=(m,n)=(a+b,a-b+1)

 

\begin{cases} a+b=m\\a-b+1=n\end{cases}

 

\begin{cases} a=m-b\\m-b-b+1=n\end{cases}

 

\begin{cases} b=\frac{m-n+1}{2}\\a=\frac{m+n-1}{2}\end{cases}

 

np. dla m=1 \wedge n=1 \Rightarrow a=\frac{1}{2} \wedge b=\frac{1}{2}

 

czyli f nie surjekcja, bo znalezione  a,b \notin \mathbb{Z}

 

No wystarczyłoby wskazać sam końcowy przykład, który podałaś, że istnieje taki element (m,n)\in \mathbb{Z}^2 który nie należy do obrazu: f(\mathbb{Z}^2)


  • 1