Milcząco założyłem (choć zapis na to nie wskazuje) że jest rodziną funkcji takich że ich pochodna daje
Okiej, pokaże
Rozważmy funkcję rzeczywistą jednej zmiennej ciągłą w pewnym przedziale domkniętym
Wiadomo że z taka funkcja ma swój wykres w .
Rozważmy teraz funkcję która poczynając od przedstawia wartość pola jakie tworzy się między wykresem funkcji a osią OX.
Czyli , to wartość pola jakie jest między wykresem , a osią OX na odcinku , dla .
Weźmy teraz (patrz rysunek)
Jako przyrost pola.
Oraz obierzmy pola prostokątów
oraz dla takich, że dla każdego
Wobec tego
Gdzie
Jak przejdziemy z
Otrzymamy
Teraz jeśli ma być odpowiednio polem, to
No i wiemy że P jest funkcją pierwotną funkcji f.
Tutaj wartym komentarza jest, że jest ustalonym parametrem względem którego my liczymy pole, bo tak naprawdę zawsze od a je mierzymy.
Aby "uzmiennić" zakres (dolną granicę), można np tak: