Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

MrWard

Rejestracja: 02 Jan 2018
Offline Ostatnio: Jan 02 2018 14:27
-----

Moje tematy

Prędkość cegły po czasie.

02.01.2018 - 12:59

Z pewnej wysokości upuszczono cegłę o masie m=2kg. Siła oporu powietrza jest proporcjonalna do jej prędkości. Zmianę pędu cegły opisuje równanie różniczkowe :
 
m \frac{dv}{dt}=mg - uv
 
Obliczyć jaką prędkość będzie miała cegła po czasie t = 5s ?
Policzyć jaka będzie prędkość, gdy t \rightarrow \infty. W obliczeniach przyjąć, że u =</div>\\<div>4 [ \frac{kg}{s}] oraz, że v(0)=0
 
Według mnie, trzeba rozwiązać równanie różniczkowe, ze zmiennymi rozdzielonymi, a potem to samo równanie z warunkiem brzegowym  v(0) = 0
 
Próba podjęcia problemu : 
 
m \frac{dv}{dt} = mg - uv
 
m \frac{dv}{mg - uv } = dt
 
\frac{dv}{g - \frac{u}{m} v } = m
 
 
\frac{dv}{g - \frac{u}{m} v } = dt 
 
\int_{}^{} \frac{dv}{g - \frac{u}{m} v } = \int_{}^{} dt
 
t =g - \frac{u}{m} v
 
jako, że stosunek  \frac{u}{m} = 2 to też, 
 
w =g - 2 v
dw = - 2dv
- \frac{1}{2}dw =dv
 
następnie rozwiązuje całkę:
 
- \frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{1}{w} dw
 
wszystko się zgadza ?
 
idąc dalej : 
 
- \frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{1}{w} dw
 
- \frac{1}{2} \cdot ln\left| w\right| + C
stąd możemy ułożyć równanie  : 
- \frac{1}{2} \cdot ln\left| g - 2v\right| + C = t'
 
 
Proszę bardzo kolegów o dokończenie.. 
 
 
 
 

Wypływanie wody według prawa Torricellego

02.01.2018 - 12:50

Witam, mam problem z nastepującym zadaniem, proszę o rozwiązanie: 

 

W cylindrycznym otwartym zbiorniku o promieniu R=0,5\:m wypełnionym początkowo wodą do wysokości H = 1\:m względem dna zbiornika zrobiono w dnie otwór o promieniu r=0,02\:m . Woda wypływa przez ten otwór zgodnie z prawem Torricellego:
 
\frac{dh}{dt}=- \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \sqrt{2gh}
 
gdzie:
S_{r} – pole powierzchni przekroju otworu w dnie,
S_{R} – pole powierzchni przekroju zbiornika,
h – wysokość wody w zbiorniku w czasie t\:[s] .
 
Po jakim czasie zbiornik będzie pusty? 
 
Na początku trzeba policzyć pola powierzchni, a następnie rozwiązać zadanie przy użyciu równania różniczkowego.
 
Moja próba podjęcia problemu : 
 

\frac{dh}{dt}=- \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \sqrt{2gh}
 
dh=- \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \sqrt{2gh} \cdot dt
 
\frac{dh}{\sqrt{2gh} } =- \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \cdot dt
 
 
\int_{}^{} \frac{dh}{ \sqrt{2gh} } = - \frac{ S_{r} }{ S_{R} } \cdot ( t + C) 
 
Bardzo proszę o dokończenie :