Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

Absynt

Rejestracja: 11 Aug 2014
Offline Ostatnio: May 11 2017 18:42
-----

#122536 Dowód nie wprost

Napisane przez Absynt w 24.06.2015 - 17:33

A nie lepiej wprost

 

np. n=5k+3    m=5l+3

 

n\cdot m= (5k+3)(5l+3)=25kl+15k+15l+9=5(5kl+3k+3l+1)+4

 

czyli wyjdzie 4 modulo 5


  • 1


#121356 Kat i czapki

Napisane przez Absynt w 12.04.2015 - 09:58

Pomysł na uratowanie 50 więźniów:

więzień pierwszy mówi jaki jest kolor czapki drugiego więźnia. Więzień drugi mówi to co usłyszał od pierwszego. Zginie każdy więzień o numerze nieparzystym a przeżyje ten o numerze parzystym. Razem przeżyje 50 więźniów.


  • 1


#120282 Wielomian, pierwiastki zespolone

Napisane przez Absynt w 13.02.2015 - 20:26

Liczba 1-i jest pierwiastkiem wielomianu  W(z)=z^4-2z^3+5z^2-6z+6 jeżeli W(1-i)=0. Wystarczy więc podstawić 1-i w miejsce z i sprawdzić czy wychodzi zero.


  • 1


#116369 Oblicz przedziały montoniczności, kresy górne i dolne, maxima, minima

Napisane przez Absynt w 19.08.2014 - 07:16

Dokładniej to jest tak: jeśli funkcje ciągłe f i g mają tę samą dziedzinę oraz g jest rosnąca, to f osiąga maksimum (minimum) w punkcie m wtedy i tylko wtedy gdy g \circ f osiąga maksimum (minimum) w punkcie m. Z założenia dla każdego x z otoczenia m mamy f(m) > f(z). Z faktu, że g jest rosnąca wynika, że g(f(m)) > g(f(z)). Oznacza to, że g \circ f osiąga maksimum (minimum) w punkcie m. W drugą stronę, mamy g(f(m)) > g(f(z)) i obkładamy g ^{-1}. Funkcja g ^{-1} istnieje, bo g jest ciągła i rosnąca a przez to odwracalna. Odwrotna do funkcji rosnącej też jest rosnąca. Stąd g ^{-1}(g(f(m))) > g ^{-1}(g(f(z))) i f(m) > f(z).

 

Jak policzymy pochodną \frac{x^2}{x+1} to wyszłoby nam, że w 0 jak i -2 jest ekstremum co nie jest prawdą dla \sqrt{\frac{x^2}{x+1}}. Dlatego ważna jest dziedzina funkcji. Pod warunkiem wczesniejszego określenia dziedziny funkcji można pominąć pierwiastek w liczeniu pochodnej.


  • 1


#116296 Przestrzeń mierzalna, odwzorowanie mierzalne

Napisane przez Absynt w 11.08.2014 - 17:04

1. Będę pisał dalej f_{1}(x,y)=f(x). Ustalmy zbiór A \in \mathcal{U}. Wtedy

f^{-1}_{1}(A)=\{ (x,y) | x \in X, y \in Y, f_{1}(x,y) \in A \}=\{ (x,y) | x \in X, y \in Y, f(x) \in A \}=\{ x \in X | f(x) \in A \} \times Y=f^{-1}(A) \times Y=

Z założenia mierzalności f mamy  f^{-1}(A) \in \mathcal{X}. Ponadto zawsze Y \in \mathcal{Y}. W  przestrzeni X \times Y sigma ciało jest produktem sigma ciał, zatem f^{-1}(A) \times Y \in \mathcal{X} \times \mathcal{Y}. Wykazaliśmy, że przeciwobraz zbioru mierzalnego jest zbiorem mierzalnym, co oznacza, że f_{1}(x,y) jest funkcją mierzalną względem odpowiednich przestrzeni mierzalnych.

 

2. Analogicznie dla g_{1}(x,y)=g(y)

 

3. Niech h=f \times g. Ustalmy zbiór A \in \mathcal{U} \times \mathcal{V}. Jest on postaci A=B \times D, gdzie B \in \mathcal{U}, D \in \mathcal{V}. Wtedy
h^{-1}(A)=\{ (x,y) | x \in X, y \in Y, h(x,y) \in A \}=\{ (x,y) | x \in X, y \in Y, (f(x),g(y)) \in B \times D \}=\{ x \in X | f(x) \in B \} \times \{ y \in Y | g(y) \in D \} =

f^{-1}(B) \times g^{-1}(D) \in \mathcal{X} \times \mathcal{V}

co wynika z mierzalności f i g.


  • 1