Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

Jarekzulus

Rejestracja: 16 Oct 2013
Offline Ostatnio: May 19 2022 10:13
*****

Moje tematy

Trójkąt prostokątny, wysokość i dwusieczna - stosunki 2

16.05.2022 - 09:05

Drugie zadanie osobno powinno być http://matma4u.pl/to...eczna-stosunki/

 

Zadanie 2.

W trójkącie ABC dwusieczna kąta prostego podzieliła przeciwprostokątną AB w stosunku 2:3. W
jakim stosunku podzieliła tę przeciwprostokątną wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta
prostego.

 


Optymalizacja Excel

01.04.2022 - 11:36

Mógłby Pan pomóc mnie z tym zadaniem? Wielkość produkcji w zakładzie jest następującą funkcją ilości pracy L i kapitału K : Q = 50LK. Ceny nakładów pracy i kapitału wynoszą odpowiednio 2 i 3. Jaki nakład pracy i kapitału pozwoli wytworzyć 1200 sztuk po najniższym koszcie? Ile wyniesie koszt produkcji?
Z góry dziękuje

 

---------------------------

 

pre_1648809415__solver1200.jpg


x^2=2^x

09.02.2022 - 03:59

x^2=2^x

 

Gdy zapytałem kolegę bez wahania podał rozwiązanie x=4 i był nieco zaskoczony rozwiązaniem x=2... przez chwilę :shifty:

 

ale

pre_1639727058__2xx2.jpg

Jak widać mamy rozwiązanie ujemne i to niezespolone. Wyznaczmy je


x^2=2^x zlogarytmujmy obustronnie

 

2ln(|x|)=x\cdot ln(2)

 

\frac{1}{x}ln(|x|)=\frac{1}{2}ln(2)

 

zważywszy na dziedzinę logarytmu rozważmy najpierw dodatnie liczby

 

x\geq 0                           \frac{1}{x}ln(x)=\frac{1}{2}ln(2)

 

\frac{1}{x}=x^{-1}=e^{ln(x^{-1})}=e^{-ln(x)} zatem

 

\frac{1}{x}ln(x)=\frac{1}{2}ln(2)  możemy przestawić jako

 

e^{-ln(x)}\cdot ln(x)=ln(2^{\frac{1}{2}})

 

ln(x)\cdot e^{-ln(x)}=ln(\sqrt{2})

 

-ln(x)\cdot e^{-ln(x)}=-ln(\sqrt{2})

 

i możemy "obłożyć" funkcją W

 

W(-ln(x)\cdot e^{-ln(x)})=W(-ln(\sqrt{2}))

 

mamy więc

 

-ln(x)=W(-ln(\sqrt{2}))

 

ln(x)=-W(-ln(\sqrt{2}))

 

e^{ln(x)}=e^{-W(-ln(\sqrt{2}))}

 

x=e^{-W(-ln(\sqrt{2}))}

 

pre_1644375409__wyn2x.jpg


Ok mamy spodziewane wyniki naturalne dodatnie więc czas na ujemne


Co jest większe 2 (pi, e)

10.09.2021 - 10:04

Co jest większe

 

e^{\pi}    czy     \pi^e

 

Zauważmy, że jeżeli mamy te same wykładniki to większa podstawa (oczywiście większa od 1) wskazuje kierunek nierówności

 

2^{10}<3^{10}      ponieważ          2<3

 

podobnie jak e^{e\cdot \pi}<\pi^{e\cdot \pi} na tej samej podstawie

 

Jeżeli wyjściowe liczby zapiszemy nieco inaczej tj.

 

\(e^{\frac{1}{e}}\)^{e\cdot \pi}                  \(\pi^{\frac{1}{\pi}}\)^{e\cdot \pi}        więc    musimy dowiedzieć się która "podstawa" jest większa  \(e^{\frac{1}{e}}\) czy \(\pi^{\frac{1}{\pi}}\)

 

Zbadajmy więc przebieg funkcji

 

y=x^{\frac{1}{x}}                łatwiej jeśli przejdziemy na logarytmy bo ciężko się liczy w tej postaci

 

 

ln(y)=ln\(x^{\frac{1}{x}}\)

 

ln(y)=\frac{1}{x}\cdot ln(x)

 

\frac{d(ln(y))}{dx}=\frac{d(\frac{1}{x}\cdot ln(x))}{dx}

 

\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x}+ln(x)\cdot (-\frac{1}{x^2})

 

\frac{dy}{dx}=y\cdot \(\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x}+ln(x)\cdot (-\frac{1}{x^2})\)=x^{\frac{1}{x}}\cdot \(\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x}+ln(x)\cdot (-\frac{1}{x^2})\)

 

\frac{dy}{dx}=x^{\frac{1}{x}}\cdot \frac{1}{x^2}(1-ln(x))

 

z założenia x>0 zatem dwa pierwsze czynniki są większe od zera

 

Pochodna równa zero gdy 1-ln(x)=0   czyli gdy x=e i tam też maksimum lokalne

 

pre_1631269733__x_do_1przez_x.jpg

 

zatem

 

e^{\frac{1}{e}} jest większe niż \pi^{\frac{1}{\pi}}

 

\(e^{\frac{1}{e}}\)^{e\cdot \pi} > \(\pi^{\frac{1}{\pi}}\)^{e\cdot \pi}

 

e^{\pi}>\pi^e

 

e^{\pi}=23.140692632779269005729086367948547380266106242600211993445046409

\pi^e=22.459157718361045473427152204543735027589315133996692249203002554


x^y=y^x, x nie równe y

27.08.2021 - 09:35

zobacz

 

http://matma4u.pl/to...-x-nie-równe-y/

 

x^y=y^x

 

Od czegoś trzeba zacząć więc może podstawmy coś :dancer2:

 

y=bx    dla odmiany b

 

x^{xb}=(bx)^x

 

(x^b)^x=(bx)^x

 

\((x^b)^x\)^{\frac{1}{x}}=\((bx)^x\)^{\frac{1}{x}}

 

x^b=bx     więc     \frac{x^b}{x}=b     

 

i dalej        x^{b-1}=b

 

zatem    podnosząc obustronnie do potęgi \frac{1}{b-1} mamy

 

\(x^{b-1}\)^{\frac{1}{b-1}}=b^{\frac{1}{b-1}}

 

x=b^{\frac{1}{b-1}}

 

a skoro y=bx  to

 

y=bx=b\cdot b^{\frac{1}{b-1}}=b^{1+\frac{1}{b-1}}=b^{\frac{b}{b-1}}

 

\{x=b^{\frac{1}{b-1}}\\ y=b^{\frac{b}{b-1}}

 

aby nie było za trywialnie ani za trudno sprawdźmy dla b=4

 

x=b^{\frac{1}{b-1}}=4^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{4}

 

y=b^{\frac{b}{b-1}}=4^{\frac{4}{3}}=4\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{256}

 

i

 

x^y= (\sqrt[3]{4})^{\sqrt[3]{256}}

 

y^x=(\sqrt[3]{256})^{\sqrt[3]{4}}     proszę się pobawić w przekształcanie :)