Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

Jarekzulus

Rejestracja: 16 Oct 2013
Offline Ostatnio: dziś, 09:05
*****

Moje tematy

Całka oznaczona f(x)/(f(x)+f(a+b-x))

14.10.2020 - 14:22

Jakiś czas temu napotkałem taką oto całkę

 

\int_3^7 \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx

 

Można popróbować ją rozwiązań ale nie należny do tych "szybkich".

 

Poniżej zaprezentuje inne podejście wraz z omówieniem


Oznaczmy całkę

 

W=\int_a^b \frac{f(x)}{f(a+b-x)+f(x)}dx

 

wykonajmy podstawienie a+b-x=t       mamy więc   -dx=dt   oraz  x=a+b-t

 

W=\int_b^a \frac{f(a+b-t)}{f(t)+f(a+b-t)}\cdot (-dt)= \int_a^b \frac{f(a+b-t)}{f(t)+f(a+b-t)} dt

 

zastąpmy zmienną po której całkujemy na x (co nie zmienia wyniku)

 

W=\int_a^b \frac{f(a+b-x)}{f(x)+f(a+b-x)} dx

 

Możemy je dodać do siebie (wyjściowa i tą z linijki wyżej)

 

\int_a^b \frac{f(x)}{f(a+b-x)+f(x)}dx+\int_a^b \frac{f(a+b-x)}{f(x)+f(a+b-x)} dx=2W

 

\int_a^b \frac{f(x)+f(a+b-x)}{f(a+b-x)+f(x)}dx=2W

 

\int_{a}^{b}1dx=2W

 

x|^b_a=2W

 

b-a=2W więc \frac{b-a}{2}=W

 

\re \fbox{\int_a^b \frac{f(x)}{f(a+b-x)+f(x)}dx=\frac{b-a}{2}}

 

wracając do wyjściowej całki z zadania

 

\int_3^7 \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx=\int_3^7 \frac{x^3}{x^3+(3+7-x)^3}dx zatem zgodnie ze wzorem powyzej

 

\int_3^7 \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx=\frac{7-3}{2}=2

 

------------

A teraz tradycyjnie

 

\int_3^7 \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx

 

\int \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx=\int \frac{x}{30}+\frac{1}{3}+\frac{20\left(x-5\right)}{3\left(3x^2-30x+100\right)}dx

 

bo

 

\frac{x^3}{x^3+\left(10-x\right)^3}=\frac{x^3}{30x^2-300x+1000}=\frac{x}{30}+\frac{10x^2-\frac{100x}{3}}{30x^2-300x+1000}=\frac{x}{30}+\frac{1}{3}+\frac{\frac{200x}{3}-\frac{1000}{3}}{30x^2-300x+1000}=\frac{x}{30}+\frac{1}{3}+\frac{20\left(x-5\right)}{3\left(3x^2-30x+100\right)}

 

Zasadniczo więc do policzenia

 

\int \frac{20\left(x-5\right)}{3\left(3x^2-30x+100\right)} dx

 

u=9 x^2- 90 x + 300          du=\left(9 x^{2} - 90 x + 300\right)^{\prime }dx = \left(18 x - 90\right) dx

 

\int{\frac{20 x - 100}{9 x^{2} - 90 x + 300} d x} = \int{\frac{10}{9 u} d u=\frac{10}{9}ln|9 x^2- 90 x + 300|+C=\frac{10}{9}ln|3\cdot (3 x^2- 30 x + 100)|+C=\frac{10}{9}ln|3 x^2- 30 x + 100|+\frac{10}{9}ln(3)+C=\frac{10}{9}ln|3 x^2- 30 x + 100|+C_1

 

Resumując

 

\int \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx=\frac{10}{9}ln|3 x^2- 30 x + 100|+\frac{x^2}{60}+\frac{1}{3}x+C

 

\int_3^7 \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx=\frac{10}{9}ln|3 x^2- 30 x + 100|+\frac{x^2}{60}+\frac{1}{3}x|_3^7=2


Wstaw "operacje" matematyczne a wynikiem jest 6

08.10.2020 - 03:09

Do każdego zestawu liczb wstaw działania matematyczne by w wyniku mieć równość (konkretnie 6)

 

zasady dodatkowe:

  • Nie można wstawiać dodatkowych cyfr (w żadnym przydatku więc pierwiastek sześcienny też odpada bo w zapisie pojawia się 3)
  • Musi wyjść równość (nie możemy wstawić, że L\neq P

1    1    1 = 6

 

2    2    2 = 6

 

3    3    3 = 6

 

4    4    4 = 6

 

5    5    5 = 6

 

6    6    6 = 6

 

7    7    7 = 6

 

8    8    8 = 6

 

9    9    9 = 6

 

10    10    10 = 6

 

Dla jasności podam jedno rozwiązanie

 

2    2    2 = 6

 

2  +  2  +  2 = 6 :)

 

Rozwiązanie podam niebawem