Javascript Disabled Detected

You currently have javascript disabled. Several functions may not work. Please re-enable javascript to access full functionality.

Przegląd

Jarekzulus

Rejestracja: 16 Oct 2013
Offline Ostatnio: wczoraj, 08:17

Moja zawartość

Statystyki

Grupa: +Mods
Redaktor
Całość postów: 4060
Odwiedzin: 41895
Tytuł: Wielki Analityk
Wiek: Wiek nie został ustalony
Urodziny: Październik 19
Płeć
Mężczyzna

3341 Profesor

Narzędzia użytkownika

Znajomi

Ostatnio byli

Zojka
25 Aug 2021 - 13:28
kartm
30 Jun 2021 - 17:50
Zara Asker
29 Jun 2021 - 07:35
Ziemiaczek2002
13 Jun 2021 - 19:23
Xero
11 May 2021 - 12:39

Moje tematy

Co jest większe 2 (pi, e)

10.09.2021 - 10:04

Co jest większe

$e^{\pi}$ czy $\pi^e$

Zauważmy, że jeżeli mamy te same wykładniki to większa podstawa (oczywiście większa od 1) wskazuje kierunek nierówności

$2^{10}<3^{10}$ ponieważ $2<3$

podobnie jak $e^{e\cdot \pi}<\pi^{e\cdot \pi}$ na tej samej podstawie

Jeżeli wyjściowe liczby zapiszemy nieco inaczej tj.

$$e^{\frac{1}{e}}$^{e\cdot \pi}$ $$\pi^{\frac{1}{\pi}}$^{e\cdot \pi}$ więc musimy dowiedzieć się która "podstawa" jest większa $e^{\frac{1}{e}}$ czy $\pi^{\frac{1}{\pi}}$

Zbadajmy więc przebieg funkcji

$y=x^{\frac{1}{x}}$ łatwiej jeśli przejdziemy na logarytmy bo ciężko się liczy w tej postaci

$ln(y)=ln$x^{\frac{1}{x}}$$

$ln(y)=\frac{1}{x}\cdot ln(x)$

$\frac{d(ln(y))}{dx}=\frac{d(\frac{1}{x}\cdot ln(x))}{dx}$

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x}+ln(x)\cdot (-\frac{1}{x^2})$

$\frac{dy}{dx}=y\cdot $\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x}+ln(x)\cdot (-\frac{1}{x^2})$=x^{\frac{1}{x}}\cdot $\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x}+ln(x)\cdot (-\frac{1}{x^2})$$

$\frac{dy}{dx}=x^{\frac{1}{x}}\cdot \frac{1}{x^2}(1-ln(x))$

z założenia $x>0$ zatem dwa pierwsze czynniki są większe od zera

Pochodna równa zero gdy $1-ln(x)=0$ czyli gdy $x=e$ i tam też maksimum lokalne

zatem

$e^{\frac{1}{e}}$ jest większe niż $\pi^{\frac{1}{\pi}}$

$$e^{\frac{1}{e}}$^{e\cdot \pi} > $\pi^{\frac{1}{\pi}}$^{e\cdot \pi}$

$e^{\pi}>\pi^e$

$e^{\pi}=23.140692632779269005729086367948547380266106242600211993445046409$

$\pi^e=22.459157718361045473427152204543735027589315133996692249203002554$

x^y=y^x, x nie równe y

27.08.2021 - 09:35

zobacz

http://matma4u.pl/to...-x-nie-równe-y/

$x^y=y^x$

Od czegoś trzeba zacząć więc może podstawmy coś :dancer2:

$y=bx$ dla odmiany b

$x^{xb}=(bx)^x$

$(x^b)^x=(bx)^x$

$$(x^b)^x$^{\frac{1}{x}}=$(bx)^x$^{\frac{1}{x}}$

$x^b=bx$ więc $\frac{x^b}{x}=b$

i dalej $x^{b-1}=b$

zatem podnosząc obustronnie do potęgi $\frac{1}{b-1}$ mamy

$$x^{b-1}$^{\frac{1}{b-1}}=b^{\frac{1}{b-1}}$

$x=b^{\frac{1}{b-1}}$

a skoro $y=bx$ to

$y=bx=b\cdot b^{\frac{1}{b-1}}=b^{1+\frac{1}{b-1}}=b^{\frac{b}{b-1}}$

$\{x=b^{\frac{1}{b-1}}\\ y=b^{\frac{b}{b-1}}$

aby nie było za trywialnie ani za trudno sprawdźmy dla $b=4$

$x=b^{\frac{1}{b-1}}=4^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{4}$

$y=b^{\frac{b}{b-1}}=4^{\frac{4}{3}}=4\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{256}$

$x^y= (\sqrt[3]{4})^{\sqrt[3]{256}}$

$y^x=(\sqrt[3]{256})^{\sqrt[3]{4}}$ proszę się pobawić w przekształcanie

Co jest większe 1 (piewiastek, logarytm)

23.08.2021 - 15:06

$\sqrt[3]{x}$ czy $ln(x)$

Najprościej licząc granicę można to obliczyć

$\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt[3]{x}}{ln(x)}=[H]=\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to \infty}\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}}=\infty >1$

a zatem w granicy licznik jest większy. Jak widać na grafice można się przejechać :)Tj. jeśli mamy te same jednostki na obu osiach trudno zauważyć zmianę, że najpierw jest jedna nad a później pod

policzmy zatem dla jakiego x te funkcje są równe

$\sqrt[3]{x}=ln(x)$

$x^{\frac{1}{3}}=ln(x)$ dzielę przez $x^{\frac{1}{3}}$

$1=ln(x)\cdot x^{-\frac{1}{3}}$

$\re{e^{ln(x)}=x}$

$1=ln(x)\cdot e^{ln$x^{-\frac{1}{3}}$}$

$1=ln(x)\cdot e^{-\frac{1}{3}\cdot ln(x)}$ mnożę przez $-\frac{1}{3}$

$-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}\cdot ln(x)\cdot e^{-\frac{1}{3}\cdot ln(x)}$

$W$-\frac{1}{3}$=W$-\frac{1}{3}\cdot ln(x)\cdot e^{-\frac{1}{3}\cdot ln(x)}$$

$W$-\frac{1}{3}$=-\frac{1}{3}\cdot ln(x)$

$-3 W$-\frac{1}{3}$=ln(x)$

$e^{-3 W$-\frac{1}{3}$}=x$

Czyli (z Wolfram) $e^{-3*productLog(0,-1/3)} ...$

6.4056720789810570275681248283705578137524883328371483558766476821

93.354460835003657850683415262803653990614091443758778053203884276

Potęgi i

22.08.2021 - 02:05

$\\i^0=1\\\\i^1=i\\\\i^2=-1\\\\i^3=-i\\\\i^4=1\\\\i^5=i \\ itd.\\\\$

zatem czy możliwe jest by $i^x=3$ ????

$i^x=3$ chcąc się dobrać do x musimy zlogarytmować obustronnie

$log_i(i^x)=log_i(3)$

$x=log_i(3)$ co kończy zadanie :dancer2:

No może policzmy dokładniej podstawa logarytmu "oryginalna" zatem zmieńmy podstawy

$x=log_i(3)=\frac{ln(3)}{ln(i)}$

ile to zatem $ln(i)$ pokazałem jak takie "cudeńko" policzyć tu: http://matma4u.pl/to...j-czy-istnieje/

$i=e^{i\cdot \frac{\pi}{2}+2 i\cdot n\cdot \pi}$

$x=log_i(3)=\frac{ln(3)}{ln(i)}=\frac{ln(3)}{ln(e^{i\cdot \frac{\pi}{2}+2 i\cdot n\cdot \pi})}=\frac{ln(3)}{ln(e^{i\cdot (\frac{\pi}{2}+2\cdot n\cdot \pi)})}=\frac{ln(3)}{i\cdot (\frac{\pi}{2}+2\cdot n\cdot \pi)}=\frac{-iln(3)}{\frac{\pi}{2}+2\cdot n\cdot \pi}$