Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

Jarekzulus

Rejestracja: 16 Oct 2013
Offline Ostatnio: wczoraj, 04:58
*****

Moje tematy

Całka z demotów

22.08.2018 - 07:50

pre_1534920283__demot.jpg

 

Zakładając, że S to całka mamy:

 

\int \frac{3x^3-x^2+2x-4}{\sqrt{x^2-3x+2}}dx=\int \frac{3x^3-x^2+2x-4}{\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}}}dx=[u=x-\frac{3}{2}]=2\cdot \int \:\frac{3\left(u+\frac{3}{2}\right)^3-\left(u+\frac{3}{2}\right)^2+2u-1}{\sqrt{4u^2-1}}du

 

u=\frac{1}{2}\sec \left(v\right)

 

=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \int \:\sec \left(v\right)\left(3\left(\frac{1}{2}\sec \left(v\right)+\frac{3}{2}\right)^3-\left(\frac{1}{2}\sec \left(v\right)+\frac{3}{2}\right)^2+\sec \left(v\right)-1\right)dv

 

=2\cdot \frac{1}{2}\left(\int \frac{3\sec ^4\left(v\right)}{8}dv+\int \frac{25\sec ^3\left(v\right)}{8}dv+\int \frac{77\sec ^2\left(v\right)}{8}dv+\int \frac{55\sec \left(v\right)}{8}dv\right)

 

\re \int \:\sec ^n\left(x\right)dx=\frac{\sec ^{n-1}\left(x\right)\sin \left(x\right)}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \sec ^{n-2}\left(x\right)dx

 

\int \frac{3\sec ^4\left(v\right)}{8}dv=\frac{3}{8}\cdot \int \:\sec ^4\left(v\right)dv=\frac{3}{8}\left(\frac{\sec ^3\left(v\right)\sin \left(v\right)}{3}+\frac{2}{3}\cdot \int \:\sec ^2\left(v\right)dv\right)=\frac{3}{8}\left(\frac{\sec ^3\left(v\right)\sin \left(v\right)}{3}+\frac{2}{3}\tan \left(v\right)\right)=\frac{1}{8}\sec ^3\left(v\right)\sin \left(v\right)+\frac{1}{4}\tan \left(v\right)

 

\int \frac{25\sec ^3\left(v\right)}{8}dv=\frac{25}{8}\cdot \int \:\sec ^3\left(v\right)dv=\frac{25}{8}\left(\frac{\sec ^2\left(v\right)\sin \left(v\right)}{2}+\frac{1}{2}\cdot \int \:\sec \left(v\right)dv\right)=\frac{25}{8}\left(\frac{\sec ^2\left(v\right)\sin \left(v\right)}{2}+\frac{1}{2}\ln \left|\tan \left(v\right)+\sec \left(v\right)\right|\right)

 

\int \frac{77\sec ^2\left(v\right)}{8}dv=\frac{77}{8}\tan \left(v\right)

 

\int \frac{55\sec \left(v\right)}{8}dv=\frac{55}{8}\cdot \int \:\sec \left(v\right)dv=\frac{55}{8}\ln \left|\tan \left(v\right)+\sec \left(v\right)\right|

 

całkę           \int sec(x)dx =\int \frac{dx}{cos(x)}         policzyć z opracowania         http://matma4u.pl/to...67-całka-1cosx/

 

powracamy do wyjściowej zmiennej

v=arcsec \left(2u\right),\:u=x-\frac{3}{2}

 

Po obliczeniu granic dostajemy ... -\frac{135\sqrt{2}\ln \left(3-2\sqrt{2}\right)+404}{16\sqrt{2}} czyli ujemną liczbę bliską -3... dziwny PIN ;/