Centrum statystyk

FAQ i inne

Więcej

Javascript Disabled Detected

You currently have javascript disabled. Several functions may not work. Please re-enable javascript to access full functionality.

Przegląd

Jarekzulus

Rejestracja: 16 Oct 2013
Offline Ostatnio: wczoraj, 14:10

Moja zawartość

Statystyki

Grupa: +Mods
Redaktor
Całość postów: 4011
Odwiedzin: 36226
Tytuł: Wielki Analityk
Wiek: Wiek nie został ustalony
Urodziny: Październik 19
Płeć
Mężczyzna

3287 Profesor

Narzędzia użytkownika

Znajomi

Ostatnio byli

aga456
wczoraj, 11:33
Mariusz M
21 Jan 2021 - 05:23
Xenon02
16 Jan 2021 - 00:54
opona
12 Dec 2020 - 08:45
blank2
25 Nov 2020 - 19:25

Moje tematy

Logarytm z liczby ujemnej - czy istnieje?

11.11.2020 - 11:16

W niejednym podręczniku do matematyki znajdziemy takie "obostrzenia" dotyczące logarytmów (stosowne zdjęcie)

i rzeczywiście jeżeli mamy do policzenia

$log_{2}(-32)=x$ to $2^x=(-32)$ no jakoś nam się to nie klei bo dodatnia liczba do każdej potęgi rzeczywistej daje nam liczbę dodatnią

ale

$log_{(-2)}(-32)=x$ $(-2)^x=(-32)$ i tu niemal od razu możemy wskazać, że $x=5$ CZYLI CO JEDNAK MOŻNA? DA SIĘ LICZYĆ DLA UJEMNYCH?

Kluczowe jest tu pewne słowo - "rzeczywiste" bo w zbiorze liczb zespolonych takich obostrzeń nie ma

Więc jak to z tym jest:

na początek mała powtórka (wzory na logarytmach naturalnych bo mniej pisania :dancer2: )

$ln(ab)=log(a)+log(b)$

zamiana podstawy $log_a b=\frac{ln a}{ln b}$

czyli $ln(-32)=ln(-1\cdot 32)=ln(-1)+ ln(32)$ i tak możemy z każdą liczbą ujemną postąpić ln(32) jako mało ciekawy pozostawmy w spokoju a zajmijmy się tym $ln(-1)$

I tu kolejna powtórka - tym razem coś o postaciach i sposobach zapisu liczby zespolonej

dla $-1 |z|=1$ $\phi=\pi$ ale pamietajmy że możemy zrobić dodatkowe "kółka" czyli kąt należy lekko zmodyfikować o $2\pi n$ n- całkowite

$-1= 1\cdot e^{i\cdot \pi+2\pi \cdot n}$

czyli wracając do postaci wykładniczej liczby zespolonej

$ln(-1)=ln(1\cdot e^{i\cdot (\pi+2\pi \cdot n)})=i\cdot (\pi+2\pi \cdot n)=i\pi (1+2 n)=i\pi(2n+1)$

Czyli Jeżeli x jest liczbą dodatnią to

$\re\fbox{ln(-x)=ln(-1\cdot x)=ln(-1)+ln(x)=i\pi(2 n+1)+ln(x)}$

I wracając do początkowego przykładu

$log_{2}(-32)$ zamieńmy podstawy by mieć logarytm naturalny i byśmy mogli skorzystać z powyższego wzoru

$log_{2}(-32)=\frac{ln(-32)}{ln(2)}=\frac{i\pi(2 n+1)+ln(32)}{ln(2)}$

lekko jeszcze uprościmy

$=\frac{i\pi(2 n+1)+ln(32)}{ln(2)}=\frac{i\pi(2 n+1)+ln(2^5)}{ln(2)}=\frac{i\pi(2 n+1)+5ln(2)}{ln(2)}=\frac{i\pi(2 n+1)}{ln(2)}+5$

opcjonalnie zgodnie z utartym sposobem zapisu liczb zespolonych

$\fbox{log_{2}(-32)=\frac{i\pi(2 n+1)}{ln(2)}+5=5+\frac{\pi(2 n+1)}{ln(2)}\cdot i}$

Na zakończenie przykład w którym "nam" wszytko grało

$log_{(-2)}(-32)=\frac{ln(-32)}{ln(-2)}=\frac{i\pi(2 n+1)+ln(32)}{i\pi(2 m+1)+ln(2)}$ musimy tu użyć innej zmiennej n, m ponieważ one nie muszą być sobie równe więc trzeba to uwzględnić

$=\frac{i\pi(2 n+1)+ln(32)}{i\pi(2 m+1)+ln(2)}=\frac{i\pi(2 n+1)+5ln(2)}{i\pi(2 m+1)+ln(2)}$

dla $n=2$ i $m=0$ mamy

$=\frac{i\pi(2 \cdot 2+1)+5ln(2)}{i\pi(2 \cdot 0+1)+ln(2)}=\frac{5i\pi+5ln(2)}{i\pi+ln(2)}=5$

Ale jest tylko jedno z wielu rozwiązań w zbiorze liczb zespolonych.

Jako zagadkę i zadanie zostawiam - jak dobrać m,n

$log_{(-2)}(-16)$

Całka oznaczona f(x)/(f(x)+f(a+b-x))

14.10.2020 - 14:22

Jakiś czas temu napotkałem taką oto całkę

$\int_3^7 \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx$

Można popróbować ją rozwiązań ale nie należny do tych "szybkich".

Poniżej zaprezentuje inne podejście wraz z omówieniem

Oznaczmy całkę

$W=\int_a^b \frac{f(x)}{f(a+b-x)+f(x)}dx$

wykonajmy podstawienie $a+b-x=t$ mamy więc $-dx=dt$ oraz $x=a+b-t$

$W=\int_b^a \frac{f(a+b-t)}{f(t)+f(a+b-t)}\cdot (-dt)= \int_a^b \frac{f(a+b-t)}{f(t)+f(a+b-t)} dt$

zastąpmy zmienną po której całkujemy na x (co nie zmienia wyniku)

$W=\int_a^b \frac{f(a+b-x)}{f(x)+f(a+b-x)} dx$

Możemy je dodać do siebie (wyjściowa i tą z linijki wyżej)

$\int_a^b \frac{f(x)}{f(a+b-x)+f(x)}dx+\int_a^b \frac{f(a+b-x)}{f(x)+f(a+b-x)} dx=2W$

$\int_a^b \frac{f(x)+f(a+b-x)}{f(a+b-x)+f(x)}dx=2W$

$\int_{a}^{b}1dx=2W$

$x|^b_a=2W$

$b-a=2W$ więc $\frac{b-a}{2}=W$

$\re \fbox{\int_a^b \frac{f(x)}{f(a+b-x)+f(x)}dx=\frac{b-a}{2}}$

wracając do wyjściowej całki z zadania

$\int_3^7 \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx=\int_3^7 \frac{x^3}{x^3+(3+7-x)^3}dx$ zatem zgodnie ze wzorem powyzej

$\int_3^7 \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx=\frac{7-3}{2}=2$

------------

A teraz tradycyjnie

$\int_3^7 \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx$

$\int \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx=\int \frac{x}{30}+\frac{1}{3}+\frac{20\left(x-5\right)}{3\left(3x^2-30x+100\right)}dx$

bo

$\frac{x^3}{x^3+\left(10-x\right)^3}=\frac{x^3}{30x^2-300x+1000}=\frac{x}{30}+\frac{10x^2-\frac{100x}{3}}{30x^2-300x+1000}=\frac{x}{30}+\frac{1}{3}+\frac{\frac{200x}{3}-\frac{1000}{3}}{30x^2-300x+1000}=\frac{x}{30}+\frac{1}{3}+\frac{20\left(x-5\right)}{3\left(3x^2-30x+100\right)}$

Zasadniczo więc do policzenia

$\int \frac{20\left(x-5\right)}{3\left(3x^2-30x+100\right)} dx$

$u=9 x^2- 90 x + 300$ $du=\left(9 x^{2} - 90 x + 300\right)^{\prime }dx = \left(18 x - 90\right) dx$

$\int{\frac{20 x - 100}{9 x^{2} - 90 x + 300} d x} = \int{\frac{10}{9 u} d u=\frac{10}{9}ln|9 x^2- 90 x + 300|+C=\frac{10}{9}ln|3\cdot (3 x^2- 30 x + 100)|+C=\frac{10}{9}ln|3 x^2- 30 x + 100|+\frac{10}{9}ln(3)+C=\frac{10}{9}ln|3 x^2- 30 x + 100|+C_1$

Resumując

$\int \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx=\frac{10}{9}ln|3 x^2- 30 x + 100|+\frac{x^2}{60}+\frac{1}{3}x+C$

$\int_3^7 \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx=\frac{10}{9}ln|3 x^2- 30 x + 100|+\frac{x^2}{60}+\frac{1}{3}x|_3^7=2$

Wstaw "operacje" matematyczne a wynikiem jest 6

08.10.2020 - 03:09

Do każdego zestawu liczb wstaw działania matematyczne by w wyniku mieć równość (konkretnie 6)

zasady dodatkowe:

Nie można wstawiać dodatkowych cyfr (w żadnym przydatku więc pierwiastek sześcienny też odpada bo w zapisie pojawia się 3)
Musi wyjść równość (nie możemy wstawić, że $L\neq P$

1 1 1 = 6

2 2 2 = 6

3 3 3 = 6

4 4 4 = 6

5 5 5 = 6

6 6 6 = 6

7 7 7 = 6

8 8 8 = 6

9 9 9 = 6

10 10 10 = 6

Dla jasności podam jedno rozwiązanie