Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

Jarekzulus

Rejestracja: 16 Oct 2013
Offline Ostatnio: wczoraj, 08:17
*****

Moje tematy

Co jest większe 2 (pi, e)

10.09.2021 - 10:04

Co jest większe

 

e^{\pi}    czy     \pi^e

 

Zauważmy, że jeżeli mamy te same wykładniki to większa podstawa (oczywiście większa od 1) wskazuje kierunek nierówności

 

2^{10}<3^{10}      ponieważ          2<3

 

podobnie jak e^{e\cdot \pi}<\pi^{e\cdot \pi} na tej samej podstawie

 

Jeżeli wyjściowe liczby zapiszemy nieco inaczej tj.

 

\(e^{\frac{1}{e}}\)^{e\cdot \pi}                  \(\pi^{\frac{1}{\pi}}\)^{e\cdot \pi}        więc    musimy dowiedzieć się która "podstawa" jest większa  \(e^{\frac{1}{e}}\) czy \(\pi^{\frac{1}{\pi}}\)

 

Zbadajmy więc przebieg funkcji

 

y=x^{\frac{1}{x}}                łatwiej jeśli przejdziemy na logarytmy bo ciężko się liczy w tej postaci

 

 

ln(y)=ln\(x^{\frac{1}{x}}\)

 

ln(y)=\frac{1}{x}\cdot ln(x)

 

\frac{d(ln(y))}{dx}=\frac{d(\frac{1}{x}\cdot ln(x))}{dx}

 

\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x}+ln(x)\cdot (-\frac{1}{x^2})

 

\frac{dy}{dx}=y\cdot \(\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x}+ln(x)\cdot (-\frac{1}{x^2})\)=x^{\frac{1}{x}}\cdot \(\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x}+ln(x)\cdot (-\frac{1}{x^2})\)

 

\frac{dy}{dx}=x^{\frac{1}{x}}\cdot \frac{1}{x^2}(1-ln(x))

 

z założenia x>0 zatem dwa pierwsze czynniki są większe od zera

 

Pochodna równa zero gdy 1-ln(x)=0   czyli gdy x=e i tam też maksimum lokalne

 

pre_1631269733__x_do_1przez_x.jpg

 

zatem

 

e^{\frac{1}{e}} jest większe niż \pi^{\frac{1}{\pi}}

 

\(e^{\frac{1}{e}}\)^{e\cdot \pi} > \(\pi^{\frac{1}{\pi}}\)^{e\cdot \pi}

 

e^{\pi}>\pi^e

 

e^{\pi}=23.140692632779269005729086367948547380266106242600211993445046409

\pi^e=22.459157718361045473427152204543735027589315133996692249203002554


x^y=y^x, x nie równe y

27.08.2021 - 09:35

zobacz

 

http://matma4u.pl/to...-x-nie-równe-y/

 

x^y=y^x

 

Od czegoś trzeba zacząć więc może podstawmy coś :dancer2:

 

y=bx    dla odmiany b

 

x^{xb}=(bx)^x

 

(x^b)^x=(bx)^x

 

\((x^b)^x\)^{\frac{1}{x}}=\((bx)^x\)^{\frac{1}{x}}

 

x^b=bx     więc     \frac{x^b}{x}=b     

 

i dalej        x^{b-1}=b

 

zatem    podnosząc obustronnie do potęgi \frac{1}{b-1} mamy

 

\(x^{b-1}\)^{\frac{1}{b-1}}=b^{\frac{1}{b-1}}

 

x=b^{\frac{1}{b-1}}

 

a skoro y=bx  to

 

y=bx=b\cdot b^{\frac{1}{b-1}}=b^{1+\frac{1}{b-1}}=b^{\frac{b}{b-1}}

 

\{x=b^{\frac{1}{b-1}}\\ y=b^{\frac{b}{b-1}}

 

aby nie było za trywialnie ani za trudno sprawdźmy dla b=4

 

x=b^{\frac{1}{b-1}}=4^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{4}

 

y=b^{\frac{b}{b-1}}=4^{\frac{4}{3}}=4\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{256}

 

i

 

x^y= (\sqrt[3]{4})^{\sqrt[3]{256}}

 

y^x=(\sqrt[3]{256})^{\sqrt[3]{4}}     proszę się pobawić w przekształcanie :)


Co jest większe 1 (piewiastek, logarytm)

23.08.2021 - 15:06

\sqrt[3]{x}          czy                ln(x)

 

Najprościej licząc granicę można to obliczyć

 

\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt[3]{x}}{ln(x)}=[H]=\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to \infty}\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}}=\infty >1

 

a zatem w granicy licznik jest większy. Jak widać na grafice można się przejechać :)Tj. jeśli mamy te same jednostki na obu osiach trudno zauważyć zmianę, że najpierw jest jedna nad a później pod

pre_1629726312__wieksze1.jpg

policzmy zatem dla jakiego x te funkcje są równe

 

\sqrt[3]{x}=ln(x)

 

x^{\frac{1}{3}}=ln(x)                           dzielę przez                    x^{\frac{1}{3}}

 

1=ln(x)\cdot x^{-\frac{1}{3}}

 

\re{e^{ln(x)}=x}

 

1=ln(x)\cdot e^{ln\(x^{-\frac{1}{3}}\)}

 

1=ln(x)\cdot e^{-\frac{1}{3}\cdot ln(x)}          mnożę przez -\frac{1}{3}

 

-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}\cdot ln(x)\cdot e^{-\frac{1}{3}\cdot ln(x)}

 

W\(-\frac{1}{3}\)=W\(-\frac{1}{3}\cdot ln(x)\cdot e^{-\frac{1}{3}\cdot ln(x)}\)

 

W\(-\frac{1}{3}\)=-\frac{1}{3}\cdot ln(x)

 

-3 W\(-\frac{1}{3}\)=ln(x)

 

e^{-3 W\(-\frac{1}{3}\)}=x

 

Czyli (z Wolfram) e^{-3*productLog(0,-1/3)} ...

 

6.4056720789810570275681248283705578137524883328371483558766476821

93.354460835003657850683415262803653990614091443758778053203884276


Potęgi i

22.08.2021 - 02:05

</p>\\<p>i^0=1\\</p>\\<p>i^1=i\\</p>\\<p>i^2=-1\\</p>\\<p>i^3=-i\\</p>\\<p>i^4=1\\</p>\\<p>i^5=i \\ itd.\\</p>\\<p>

 

zatem czy możliwe jest by i^x=3 ????

 

i^x=3    chcąc się dobrać do x musimy zlogarytmować obustronnie

 

log_i(i^x)=log_i(3)

 

x=log_i(3)   co kończy zadanie :dancer2:

 

No może policzmy dokładniej :D podstawa logarytmu "oryginalna" zatem zmieńmy podstawy

 

x=log_i(3)=\frac{ln(3)}{ln(i)}

 

ile to zatem ln(i)     pokazałem jak takie "cudeńko" policzyć tu: http://matma4u.pl/to...j-czy-istnieje/

 

i=e^{i\cdot \frac{\pi}{2}+2 i\cdot n\cdot \pi}

 

x=log_i(3)=\frac{ln(3)}{ln(i)}=\frac{ln(3)}{ln(e^{i\cdot \frac{\pi}{2}+2 i\cdot n\cdot \pi})}=\frac{ln(3)}{ln(e^{i\cdot (\frac{\pi}{2}+2\cdot n\cdot \pi)})}=\frac{ln(3)}{i\cdot (\frac{\pi}{2}+2\cdot n\cdot \pi)}=\frac{-iln(3)}{\frac{\pi}{2}+2\cdot n\cdot \pi}

 

i ogólnie

 

i^x=a                to                      a=-\frac{2 i\cdot ln(a)}{\pi+4\cdot n\cdot \pi}


oczywiście n jest całkowite czyli mamy wiele rozwiązań


Wyznacz współrzędne punktów przeciecia tych funkcji

18.06.2021 - 13:52

Jedne są oczywiste, inne łatwe do wyznaczenia ale są i trudniejsze - wyznacz je

 

pre_1624020765__e_ln_x.jpg