Javascript Disabled Detected

You currently have javascript disabled. Several functions may not work. Please re-enable javascript to access full functionality.

Przegląd

Jarekzulus

Rejestracja: 16 Oct 2013
Offline Ostatnio: dziś, 14:27

Moja zawartość

Statystyki

Grupa: +Mods
Redaktor
Całość postów: 4024
Odwiedzin: 38263
Tytuł: Wielki Analityk
Wiek: Wiek nie został ustalony
Urodziny: Październik 19
Płeć
Mężczyzna

3299 Profesor

Narzędzia użytkownika

Znajomi

Ostatnio byli

AndrewX24
17 Mar 2021 - 09:41
matma4u
13 Mar 2021 - 15:55
Zara Asker
07 Mar 2021 - 02:25
Mariusz M
03 Mar 2021 - 00:23
aga456
25 Jan 2021 - 11:33

Moje tematy

PIerwiastek z iloczynu 10000 10001 10002 10003 plus 1

29.03.2021 - 14:20

$\sqrt{10000 \cdot 10001 \cdot 10002 \cdot 10003+1}$

Swego czasu widziałem podobne zadanie ale sposób rozwiązania wydał mi się mało przejrzysty więc postanowiłem coś w tej materii zamieścić

$\sqrt{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4+1}=\sqrt{25}=5$

$\sqrt{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5+1}=\sqrt{121}=11$

$\sqrt{3\cdot 4\cdot 5\cdot 6+1}=\sqrt{361}=19$

Puki co iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych powiększony o 1 daje się spierwiastkować, czyżby zatem zawsze istniał pierwiastek z takiego wyrażenia?

rozważmy zatem

$\re{x\cdot (x+1)\cdot (x+2)\cdot (x+3)+1}$

Mnożąc dwa środkowe "nawiasy" i dwa skrajne mamy

$x\cdot (x+1)\cdot (x+2)\cdot (x+3)+1=(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1=(x^2+3x+1-1)(x^2+3x+1+1)+1$

$=($ $\re{x^2+3x+1}$ $-1)($ $\bl{x^2+3x+1}$ $+1)+1$

Ze szkoły średniej (lub gimnazjum) pamiętamy wzór $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ więc

$=(x^2+3x+1)^2-1^2+1=(x^2+3x+1)^2$

Zatem

$\sqrt{x\cdot (x+1)\cdot (x+2)\cdot (x+3)+1}=\sqrt{(x^2+3x+1)^2}=x^2+3x+1$ Z wiadomych względów pomijam drugie rozwiązanie (ujemne)

A co za tym idzie mamy

$\sqrt{10000\cdot 10001\cdot 10002\cdot 10003+1}=10000^2+3\cdot 10000+1=100030001$

------------

$\sqrt{100\cdot 101\cdot 102\cdot 103+1}=100^2+3\cdot 100+1=10301$

Logarytm z liczby ujemnej - czy istnieje?

11.11.2020 - 11:16

W niejednym podręczniku do matematyki znajdziemy takie "obostrzenia" dotyczące logarytmów (stosowne zdjęcie)

i rzeczywiście jeżeli mamy do policzenia

$log_{2}(-32)=x$ to $2^x=(-32)$ no jakoś nam się to nie klei bo dodatnia liczba do każdej potęgi rzeczywistej daje nam liczbę dodatnią

ale

$log_{(-2)}(-32)=x$ $(-2)^x=(-32)$ i tu niemal od razu możemy wskazać, że $x=5$ CZYLI CO JEDNAK MOŻNA? DA SIĘ LICZYĆ DLA UJEMNYCH?

Kluczowe jest tu pewne słowo - "rzeczywiste" bo w zbiorze liczb zespolonych takich obostrzeń nie ma

Więc jak to z tym jest:

na początek mała powtórka (wzory na logarytmach naturalnych bo mniej pisania :dancer2: )

$ln(ab)=log(a)+log(b)$

zamiana podstawy $log_a b=\frac{ln a}{ln b}$

czyli $ln(-32)=ln(-1\cdot 32)=ln(-1)+ ln(32)$ i tak możemy z każdą liczbą ujemną postąpić ln(32) jako mało ciekawy pozostawmy w spokoju a zajmijmy się tym $ln(-1)$

I tu kolejna powtórka - tym razem coś o postaciach i sposobach zapisu liczby zespolonej

dla $-1 |z|=1$ $\phi=\pi$ ale pamietajmy że możemy zrobić dodatkowe "kółka" czyli kąt należy lekko zmodyfikować o $2\pi n$ n- całkowite

$-1= 1\cdot e^{i\cdot \pi+2\pi \cdot n}$

czyli wracając do postaci wykładniczej liczby zespolonej

$ln(-1)=ln(1\cdot e^{i\cdot (\pi+2\pi \cdot n)})=i\cdot (\pi+2\pi \cdot n)=i\pi (1+2 n)=i\pi(2n+1)$

Czyli Jeżeli x jest liczbą dodatnią to

$\re\fbox{ln(-x)=ln(-1\cdot x)=ln(-1)+ln(x)=i\pi(2 n+1)+ln(x)}$

I wracając do początkowego przykładu

$log_{2}(-32)$ zamieńmy podstawy by mieć logarytm naturalny i byśmy mogli skorzystać z powyższego wzoru

$log_{2}(-32)=\frac{ln(-32)}{ln(2)}=\frac{i\pi(2 n+1)+ln(32)}{ln(2)}$

lekko jeszcze uprościmy

$=\frac{i\pi(2 n+1)+ln(32)}{ln(2)}=\frac{i\pi(2 n+1)+ln(2^5)}{ln(2)}=\frac{i\pi(2 n+1)+5ln(2)}{ln(2)}=\frac{i\pi(2 n+1)}{ln(2)}+5$

opcjonalnie zgodnie z utartym sposobem zapisu liczb zespolonych

$\fbox{log_{2}(-32)=\frac{i\pi(2 n+1)}{ln(2)}+5=5+\frac{\pi(2 n+1)}{ln(2)}\cdot i}$

Na zakończenie przykład w którym "nam" wszytko grało

$log_{(-2)}(-32)=\frac{ln(-32)}{ln(-2)}=\frac{i\pi(2 n+1)+ln(32)}{i\pi(2 m+1)+ln(2)}$ musimy tu użyć innej zmiennej n, m ponieważ one nie muszą być sobie równe więc trzeba to uwzględnić

$=\frac{i\pi(2 n+1)+ln(32)}{i\pi(2 m+1)+ln(2)}=\frac{i\pi(2 n+1)+5ln(2)}{i\pi(2 m+1)+ln(2)}$

dla $n=2$ i $m=0$ mamy

$=\frac{i\pi(2 \cdot 2+1)+5ln(2)}{i\pi(2 \cdot 0+1)+ln(2)}=\frac{5i\pi+5ln(2)}{i\pi+ln(2)}=5$

Ale jest tylko jedno z wielu rozwiązań w zbiorze liczb zespolonych.

Jako zagadkę i zadanie zostawiam - jak dobrać m,n

$log_{(-2)}(-16)$

Całka oznaczona f(x)/(f(x)+f(a+b-x))

14.10.2020 - 14:22

Jakiś czas temu napotkałem taką oto całkę

$\int_3^7 \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx$

Można popróbować ją rozwiązań ale nie należny do tych "szybkich".

Poniżej zaprezentuje inne podejście wraz z omówieniem

Oznaczmy całkę

$W=\int_a^b \frac{f(x)}{f(a+b-x)+f(x)}dx$

wykonajmy podstawienie $a+b-x=t$ mamy więc $-dx=dt$ oraz $x=a+b-t$

$W=\int_b^a \frac{f(a+b-t)}{f(t)+f(a+b-t)}\cdot (-dt)= \int_a^b \frac{f(a+b-t)}{f(t)+f(a+b-t)} dt$

zastąpmy zmienną po której całkujemy na x (co nie zmienia wyniku)

$W=\int_a^b \frac{f(a+b-x)}{f(x)+f(a+b-x)} dx$

Możemy je dodać do siebie (wyjściowa i tą z linijki wyżej)

$\int_a^b \frac{f(x)}{f(a+b-x)+f(x)}dx+\int_a^b \frac{f(a+b-x)}{f(x)+f(a+b-x)} dx=2W$

$\int_a^b \frac{f(x)+f(a+b-x)}{f(a+b-x)+f(x)}dx=2W$

$\int_{a}^{b}1dx=2W$

$x|^b_a=2W$

$b-a=2W$ więc $\frac{b-a}{2}=W$

$\re \fbox{\int_a^b \frac{f(x)}{f(a+b-x)+f(x)}dx=\frac{b-a}{2}}$

wracając do wyjściowej całki z zadania

$\int_3^7 \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx=\int_3^7 \frac{x^3}{x^3+(3+7-x)^3}dx$ zatem zgodnie ze wzorem powyzej

$\int_3^7 \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx=\frac{7-3}{2}=2$

------------

A teraz tradycyjnie

$\int_3^7 \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx$

$\int \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx=\int \frac{x}{30}+\frac{1}{3}+\frac{20\left(x-5\right)}{3\left(3x^2-30x+100\right)}dx$

$\frac{x^3}{x^3+\left(10-x\right)^3}=\frac{x^3}{30x^2-300x+1000}=\frac{x}{30}+\frac{10x^2-\frac{100x}{3}}{30x^2-300x+1000}=\frac{x}{30}+\frac{1}{3}+\frac{\frac{200x}{3}-\frac{1000}{3}}{30x^2-300x+1000}=\frac{x}{30}+\frac{1}{3}+\frac{20\left(x-5\right)}{3\left(3x^2-30x+100\right)}$

Zasadniczo więc do policzenia

$\int \frac{20\left(x-5\right)}{3\left(3x^2-30x+100\right)} dx$

$u=9 x^2- 90 x + 300$ $du=\left(9 x^{2} - 90 x + 300\right)^{\prime }dx = \left(18 x - 90\right) dx$

$\int{\frac{20 x - 100}{9 x^{2} - 90 x + 300} d x} = \int{\frac{10}{9 u} d u=\frac{10}{9}ln|9 x^2- 90 x + 300|+C=\frac{10}{9}ln|3\cdot (3 x^2- 30 x + 100)|+C=\frac{10}{9}ln|3 x^2- 30 x + 100|+\frac{10}{9}ln(3)+C=\frac{10}{9}ln|3 x^2- 30 x + 100|+C_1$

Resumując

$\int \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx=\frac{10}{9}ln|3 x^2- 30 x + 100|+\frac{x^2}{60}+\frac{1}{3}x+C$

$\int_3^7 \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx=\frac{10}{9}ln|3 x^2- 30 x + 100|+\frac{x^2}{60}+\frac{1}{3}x|_3^7=2$

Wstaw "operacje" matematyczne a wynikiem jest 6

08.10.2020 - 03:09

Do każdego zestawu liczb wstaw działania matematyczne by w wyniku mieć równość (konkretnie 6)

zasady dodatkowe:

Nie można wstawiać dodatkowych cyfr (w żadnym przydatku więc pierwiastek sześcienny też odpada bo w zapisie pojawia się 3)
Musi wyjść równość (nie możemy wstawić, że $L\neq P$

1 1 1 = 6

2 2 2 = 6

3 3 3 = 6

4 4 4 = 6

5 5 5 = 6

6 6 6 = 6

7 7 7 = 6

8 8 8 = 6

9 9 9 = 6

10 10 10 = 6

Dla jasności podam jedno rozwiązanie