Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

Jarekzulus

Rejestracja: 16 Oct 2013
Offline Ostatnio: dziś, 15:03
*****

#111226 Równanie kwadratowe z parametrem 3

Napisane przez Jarekzulus w 20.11.2013 - 02:11

Dla jakich wartości parametru m wartości funkcji f(x)=(m-1)x^2 + (2-2m)x+m-2 są dla każdego x\in R większe od odpowiednich wartości funkcji g(x)=(2-3m)x-2

 

Czyli  f(x)>g(x)

 

(m-1)x^2 + (2-2m)x+m-2>(2-3m)x-2

 

(m-1)x^2+x(2-2m-2+3m)+m-2+2>0

 

(m-1)x^2+mx+m>0

 

\Delta=m^2-4m^2+4m

 

Dla m>\frac{4}{3} funkcja f(x) bedzie większa od g(x) dla każdego x\in R

a dla m<0 g(x) będzie zawsze większa od f(x)


  • 2


#111225 Równanie kwadratowe z parametrem 4

Napisane przez Jarekzulus w 20.11.2013 - 01:33

Chwilę (jakieś 4,767 sekundy myślałem co to właściwie ma być) i wymyśliłem , że ma to być np. y=(x-4)^2 czyli 1 pierwiastek podwójny.

 

Czyli delta ma wyjść 0

 

f(x)=(m-1)x^2 +2mx +3m - 2

 

\Delta=4m^2-4(m-1)(3m-2)

 

\Delta=4m^2-4(3m^2-5m+2)

 

\Delta=-8m^2+20m-8

 

-8m^2+20m-8=0

Mamy nowe równanie i liczymy normalnie deltę i obliczamy miejsca zerowe które będą rozwiązaniami naszego równania wyjściowego.

\Delta_m=144 \Rightarrow m_1=\frac{-20-12}{-16}=2         m_2=\frac{1}{2}

 

 

Dla m=2 lub dla m=\frac{1}{2}     f(x)=(m-1)x^2 +2mx +3m - 2 mozna zapisać jako kwadrat dwumianu. Oblicz może jeszcze sobie jaki będzie rozwiązanie odliczonego m

 


  • 1


#111224 Równanie kwadratowe z parametrem

Napisane przez Jarekzulus w 20.11.2013 - 01:14

Jedziemy z tym koksem :)

 

x^2-12x+m=0

 

 

 

\Delta=144-4m\Rightarrow \sqrt{\Delta}=\sqrt{144-4m}

 

x_1=\frac{12-\sqrt{144-4m}}{2}

x_2=\frac{12+\sqrt{144-4m}}{2}

 

 

x_2=x_1+2\sqrt{5}

 

\frac{12+\sqrt{144-4m}}{2}=\frac{12-\sqrt{144-4m}}{2}+2\sqrt{5}  pomnożymy przez 2

 

12+\sqrt{144-4m}=12-\sqrt{144-4m}+4\sqrt{5}

 

2\sqrt{144-4m}=4\sqrt{5} podniesiemy do kwadratu

 

4(144-4m)=80

-16m=80-576

m=31

 

dla m=31 \sqrt{\Delta}=\sqrt{20}=2\sqrt{5} dalej wiesz jak


  • 2


#111205 Prawdopodobieństwo uzyskania połączenia

Napisane przez Jarekzulus w 19.11.2013 - 21:08

 

Witam! 
Proszę o pomoc w zadaniu:

Zakladajac ze uzyskanie polaczenia telefonicznego z serwisem wynosi 0,003 czyli 3 % .
 
jakie jest prawdopodobienstwo ze uzyskanie polaczenia wynosi ponad 5 prob ?

 

0,003 to 3 promile

 

Samo pytanie jest dość dziwnie skonstruowane:

 

Zakładam, że próby dodzwonienia się są niezależne. To że nam się nie udało dodzwonić w n-tej próbie nie ma wpływu na szanse dodzwonienia się w n+1 próbie. Za każdym razem masz takie samo prawdopodobieństwo.

 

Napisz co konkretnie chcesz policzyć:

Jakie jest prawdopodobieństwo że dodzwonisz się tylko raz w 5 prób (wtedy trzeba użyć schematu Bernouliego)

Jakie jest prawdopodobieństwo że trzeba więcej niż 5 prób by się dodzwonić


  • 1


#111194 Obliczanie prawdopodobieństwa

Napisane przez Jarekzulus w 19.11.2013 - 17:43

Regulamin mówi:

4. Jedno zadanie = jeden temat.
Wiadomości zawierające kilka zadań zostaną przesunięte na Wysypisko. Zasada ta nie dotyczy zestawów zadań, które są ze sobą ściśle powiązane, np. "zadanie 2: oblicz objętość bryły z zadania 1."

Umieść zadania w dwóch tematach.

 

Zad. 2

 

Skoro za każdym razem strzela to szansa, że trafi ( w jednym pytaniu) wynosi \frac{1}{4} a że nie trafi \frac{3}{4}

 

Jeśli zdarzenie A polega na tym, że ma trafić w 21 zadaniach (więcej niż 20) to skorzystamy ze schematu Bernoulliego:

 

P(A)={30\choose 21} (\frac{1}{4})^{21} \cdot (\frac{3}{4})^9

 

Ale może przecież trafić 22 razy - postępujemy tak samo itd.


  • 1


#111176 Całka funkcji z pierwiastkiem - ciekawe podstawienie (3)

Napisane przez Jarekzulus w 19.11.2013 - 11:50

\int \frac{dx}{x\cdot\sqrt{1+x^2}}                               x\neq 0 oczywiście

 

Podstawienie:

 

t=\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}

 

tx=\sqrt{1+x^2}-1

 

\bl{\sqrt{1+x^2}=xt+1}                    podnosimy do kwadratu

 

1+x^2=x^2t^2+2xt+1

 

x=xt^2+2t

 

x(1-t^2)=2t               stąd: \re\fbox{x=\frac{2t}{1-t^2}}         więc     \re \fbox{dx=\frac{2(1-t^2)-2t\cdot (-2t)}{(1-t^2)^2}dt=\frac{2(1+t^2)}{(1-t^2)^2}dt}

 

Wstawiamy do:

 

\sqrt{1+x^2}=xt+1          więc       \re\fbox{\sqrt{1+x^2}=(\frac{2t}{1-t^2})\cdot t+1=\frac{t^2+1}{1-t^2}}

 

Wstawiamy do całki:

 

\int \frac{dx}{x\cdot\sqrt{1+x^2}}=\int\frac{\frac{2(1+t^2)}{(1-t^2)^2}dt}{\frac{2t}{1-t^2}\cdot \frac{t^2+1}{1-t^2}}=\int \frac{2(1+t^2)}{(1-t^2)^2} \cdot \frac{(1-t^2)^2}{2t\cdot (t^2+1)}dt=\int \frac{1}{t}dt=\ln|t|+C= \ln|\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}|+C

 

Czyli:

 

\bl\fbox{\int \frac{dx}{x\cdot\sqrt{1+x^2}}=\ln|\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}|+C}
 


  • 4


#111172 Całka funkcji z pierwiastkiem - ciekawe podstawienie (2)

Napisane przez Jarekzulus w 19.11.2013 - 03:37

\int \sqrt{a+x^2}dx

 

\fbox{\int \sqrt{a+x^2}dx=\int \frac{a+x^2}{\sqrt{a+x^2}}dx=\int \frac{a\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}+ \int \frac{x^2\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}}

 

 

Pierwsza z całek:

 

\int \frac{a\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}=a\int \frac{dx}{\sqrt{a+x^2}}

 

Podstawienie:

x+\sqrt{x^2+a}=t

 

\sqrt{x^2+a}=t-x                do kwadratu

 

x^2+a = t^2-2xt+x^2              czyli:

 

x=\frac{t^2-a}{2t}=\frac{1}{2}\(t-\frac{a}{t}\)

 

dx=\frac{1}{2}\(1+\frac{a}{t^2}\)dt

 

\sqrt{x^2+a}=t-x      więc    \sqrt{x^2+a}=t-\frac{t^2-a}{2t}=\frac{t^2+a}{2t}          zatem Pierwsza całka wyniesie:

 

a\int \frac{dx}{\sqrt{a+x^2}}=a \int \frac{\frac{1}{2}\(1+\frac{a}{t^2}\)dt}{\frac{t^2+a}{2t}}=\frac{1}{2}\cdot a \int \frac{t^2+a}{t^2} \cdot \frac{2t}{t^2+a}dt=\frac{a}{2}\int \frac{2t}{t^2}dt=a\int \frac{dt}{t}=a\ln|t|+C=a\ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C

 

\re\fbox{a\int \frac{dx}{\sqrt{a+x^2}}=a\cdot \ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C}

 

Druga z całek:

 

\int \frac{x^2\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}=\int x\cdot \frac{x\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}

 

Przez części:

 

f(x)=x          g'(x)=\frac{x\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}

f'(x)=1          g(x)=\sqrt{a+x^2}       ponieważ:       \int \frac{x\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}=\frac{1}{2}\int \frac{2x\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}=2\cdot \frac{1}{2}\int \frac{2x\cdot dx}{2\sqrt{a+x^2}}=\sqrt{a+x^2}+C       \bl\fbox{\int \frac{h'(x)dx}{2\sqrt{h(x)}}=\sqrt{h(x)}+C

 

\int x\cdot \frac{x\cdot dx}{\sqrt{a+x^2}}=x\cdot \sqrt{a+x^2}-\int \sqrt{a+x^2}dx

 

Czyli:

 

\int \sqrt{a+x^2}dx=a\cdot \ln|x+\sqrt{x^2+a}|+x\cdot \sqrt{a+x^2}-\int \sqrt{a+x^2}dx                     więc:

 

2\cdot \int \sqrt{a+x^2}dx=a\cdot \ln|x+\sqrt{x^2+a}|+x\cdot \sqrt{a+x^2}

 

\re\fbox{\int \sqrt{a+x^2}dx=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \ln|x+\sqrt{x^2+a}|+\frac{1}{2}\cdot x\cdot \sqrt{a+x^2} + C}


  • 5


#111171 Całka funkcji z pierwiastkiem - ciekawe podstawienie (1)

Napisane przez Jarekzulus w 19.11.2013 - 02:37

\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+k^2}}

 

Podstawienie:

 \re\fbox{t=x+\sqrt{x^2+k^2}}

 

Przekształcenia:

\sqrt{x^2+k^2}=t-x    \backslash^2            (\triangle)

 

x^2+k^2=t^2-2tx+x^2 prace porządkowe :)

 

k^2=t^2-2tx       \Rightarrow      x=\frac{t^2-k^2}{2t}=\frac{1}{2}(t-\frac{k^2}{t})

 

                                                 \re\fbox{dx=\frac{t^2+k^2}{2t^2}dt}

 

Czyli z  (\triangle) mamy po wstawieniu obliczonego x:

 

\sqrt{x^2+k^2}=t-x

 

\re\fbox{\sqrt{x^2+k^2}=t-\frac{1}{2}(t-\frac{k^2}{t})=\frac{t^2+k^2}{2t}}

 

Wstawiamy do całki:

 

\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+k^2}}=\int \frac{t^2+k^2}{2t^2}\cdot \frac{dt}{\frac{t^2+k^2}{2t}}=\int \frac{1}{t}dt=\ln|t|+C=\ln|x+\sqrt{x^2+k^2}|+C    gdzie C\in R

 

Reasumując:

 

\re \fbox{\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+k^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2+k^2}|+C}    gdzie C\in R


  • 4


#111117 Miara zewnętrzna

Napisane przez Jarekzulus w 18.11.2013 - 07:52

1. Poczytaj jak używać TeX'a

 

A co do zadania. Cała sztuka by przedstawić pewne zbiory jako zbiory rozłączne, bo wtedy można użyć: \m(F\cup G)=\m(F)+\m(G)

22a014a1.png

 

A=\(A\backslash(B\cup C)\)\cup \((A\cap B)\backslash C\)\cup \(A\cap B\cap C\)\cup \((A\cap C)\backslash B\)

 

B=\(B\backslash(A\cup C)\)\cup \((A\cap B)\backslash C\)\cup \(A\cap B\cap C\)\cup \((B\cap C)\backslash A\)

 

C=\(C\backslash(A\cup B)\)\cup \((A\cap C)\backslash B\)\cup \(A\cap B\cap C\)\cup \((B\cap C)\backslash A\)

 

Teraz masz tak:

 

A\Delta B =(A\backslash B)\cup (B\backslash A)=\(A\backslash(B\cup C)\)\cup \((A\cap C)\backslash B\)\cup \(B\backslash(A\cup C)\)\cup \((B\cap C)\backslash A\)

 

A\Delta C=(A\backslash C)\cup (C\backslash A)=\(A\backslash(B\cup C)\)\cup \((A\cap B)\backslash C\)\cup \(C\backslash(A\cup B)\)\cup \((B\cap C)\backslash A\)

 

B\Delta C =(B\backslash C)\cup (C\backslash B)=\(B\backslash(A\cup C)\)\cup \((A\cap B)\backslash C\)\cup \(C\backslash(A\cup B)\)\cup \((A\cap C)\backslash B\)

 

Mamy przedstawione jako sumy zbiorów rozłącznych, więc obłożymy to miarami i dodamy:

 

\m(A\Delta C)+\m(B\Delta C)=\m(\(A\backslash(B\cup C)\))+\m(\((A\cap B)\backslash C\))+\m( \(C\backslash(A\cup B)\))+\m( \((B\cap C)\backslash A\))+\m(\(B\backslash(A\cup C)\))+\m( \((A\cap B)\backslash C\))+\m( \(C\backslash(A\cup B)\))+\m( \((A\cap C)\backslash B\))

 

Co jest większe lub równe niż (pierwszy składnik plus ósmy składnik plus piąty składnik plus czwarty składnik)

 

\m(\(A\backslash(B\cup C)\))+\m\(\((A\cap C)\backslash B\))+\m(\(B\backslash(A\cup C)\))+\m(\((B\cap C)\backslash A\))=\m(A\Delta B)


  • 1


#111068 Równanie okręgu

Napisane przez Jarekzulus w 17.11.2013 - 00:04

Prosta ma postać y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}

 

środek okręgu znajduje się na prostej prostopadłej do niej w punkcie (3,1) czyli na prostej y=-2x+5

 

skoro promień równy jest \sqrt{5}

 

Okręgów będzie dwa: srodki okręgów leżą na okręgu o środku w (3,1) i promieniu \sqrt{5} oraz leżą na prostej y=-2x+5

 

\{(x-2)^2+(y-1)^2=5\\ y=-2x+5


  • 2


#111067 Równanie prostej

Napisane przez Jarekzulus w 16.11.2013 - 23:42

5x+2y-7=0 \Rightarrow y=-\frac{5}{2}x+\frac{7}{2}

5x+2y+4=0\Rightarrow y=-\frac{5}{2}x-2

 

Współczynnik kierunkowy szukanej funkcji wynosi -\frac{5}{2} bo to  równoległa, natomiast b=\frac{\frac{7}{2}-2}{2}

 

zatem szukana funkcja ma postać y=-\frac{5}{2}x+\frac{3}{4}


  • 2


#111060 Ciągi geometryczne

Napisane przez Jarekzulus w 16.11.2013 - 21:00

S_3=3+3q+3q^2= 3(1+q+q^2)

 

minimum 1+q+q^2 to wierzchołek paraboli czyli dla q=-\frac{1}{2} wartość wynosi \frac{3}{4}

 

ciąg ma wyraz ogólny a_n=3\cdot (-\frac{1}{2})^{n-1}


  • 1


#111057 Granica sumy

Napisane przez Jarekzulus w 16.11.2013 - 20:39

Znaleźć granicę:

 

\lim_{n\to \infty}(\sqrt[3]{\frac{1}{n^4}}+\sqrt[3]{\frac{2}{n^4}}+\sqrt[3]{\frac{3}{n^4}}+..\sqrt[3]{\frac{n}{n^4}})

 

\lim_{n\to \infty}(\sqrt[3]{\frac{1}{n^4}}+\sqrt[3]{\frac{2}{n^4}}+\sqrt[3]{\frac{3}{n^4}}+..\sqrt[3]{\frac{n}{n^4}})=

 

\lim_{n\to \infty}({\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{n^4}}+\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{n^4}}+\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{n^4}}+..\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{n^4}})=

 

\lim_{n\to \infty}(n^{-\frac{4}{3}}(1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+...+\sqrt[3]{n}))


  • 1


#111054 Obraz i przeciwobraz

Napisane przez Jarekzulus w 16.11.2013 - 20:07

Z obrazem będzie  prosto:

 

Im A= \{3^2 \cdot 6^2, 3^2\cdot 6^3, 3^2\cdot 6^4, 3^3\cdot 6^2,3^3 \cdot 6^3,3^3 \cdot 6^4,3^4 \cdot 6^2,3^4 \cdot 6^3,3^4 \cdot 6^4\}

 

trzeba podnieść do potęgi i pomnożyć. Ogólnie wstawiasz za m,n liczby ze zbioru A (każdą kombinację dwuelementową)

 

Przeciwobraz:

Jest chyba lekki konflikt oznaczeń, ale chyba chodzi o to że trzeba znaleźć takie liczby a,b, że

3^a\cdot 6^b = n  ale takie by 729 nie dzieliło n, czyli nie mogą to być wielokrotności 729. Jeśli się mylę to prostujcie.

 

No chyba, że w drugą stronę :) Dzielnikami 729 są 1,3,9,27,81,243,729 - ale raczej chodzi o to wyżej ;)

 

 

3^a\cdot 6^b=3^{a+b}\cdot 2^b

729 = 3^5 więc n nie będzie się dzlielił przez 729 jeśli a+b\neq 5


  • 2


#111043 Obliczyć całke oznaczoną

Napisane przez Jarekzulus w 16.11.2013 - 17:04

W sumie łatwa całka: idzie przez podstawienie

 

e^x+3=t \Rightarrow e^xdx=dt

 

\int e^x \sqrt{e^x+3}dx=\int \sqrt{t}dt= \int t^{\frac{1}{2}}dt= \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3} (e^x+3)^{\frac{3}{2}}+C

 

\frac{2}{3} (e^x+3)^{\frac{3}{2}}|_{0}^{1}=\frac{2}{3}(e+3)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}(1+3)^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\((e+3)^{\frac{3}{2}}-8\)


  • 1