Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

Jarekzulus

Rejestracja: 16 Oct 2013
Offline Ostatnio: dziś, 15:03
*****

#113430 Macierze - układy równań

Napisane przez Jarekzulus w 06.02.2014 - 15:37

Jeśli Ci nikt do wieczora nie napisze dokładniej to się tym zajmę. Teraz niestety brak czasu. Niemniej jednak postaraj się sama, być może nie będziesz potrzebowała mojej pomocy.


  • 1


#113429 Czy zdanie jest tautologią

Napisane przez Jarekzulus w 06.02.2014 - 15:35

Tego typu zadania najlepiej rozwiązać w tabelce

 

pre_1391697066__taut.jpg

 

Legenda:

 

Np                     ~p          (zaprzeczenie p

 

p TO q             p\Rightarrow q

 

3 i 4                (3)\wedge (4)       koniunkcja zdań 3,4

 

 

Jedynki na końcu świadczą, że jest to tautologia (jeśli się nie pomyliłem). Drugi przykład wykonaj sama


  • 3


#113427 Macierze - układy równań

Napisane przez Jarekzulus w 06.02.2014 - 15:00

Znajdź A^{-1}  jeśli:

 

A=\left[\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&3&-3\\-1&0&2\end{array}\right]

 

Zobacz tu http://matma4u.pl/to...ną-do-macierzy/

 

Co do Twojego przypadku: Mi wyszło

 

det A=3

 

A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}2&0&1\\1&\frac{1}{3}&0\\1&0&0\end{array}\right]

 

Jeśli chcesz bym zrobił jaśniej napisz. A Pozostałe zadania zgodnie z regulaminem (Patrz na górze strony) każde zadania powinno być w oddzielnym poście.


  • 1


#113407 Granica ciągu, tw. o 3 ciągach

Napisane przez Jarekzulus w 05.02.2014 - 19:51


Owszem -1\leq cosx\leq 1                ale                       0\leq cos^2x\leq1

 

więc

 

\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{2\cdot 3^n+2^n\cdot 0} \leq \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{2\cdot 3^n+2^n\cdot cos^2n} \leq \lim_{x\to \infty}\sqrt[n]{2\cdot 3^n+2^n\cdot 1}

 

\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{2\cdot 3^n} \leq \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{2\cdot 3^n+2^n\cdot cos^2n} \leq \lim_{x\to \infty}\sqrt[n]{2\cdot 3^n+2^n}

 

\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{2}\cdot \sqrt[n]{3^n} \leq \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{2\cdot 3^n+2^n\cdot cos^2n} \leq \lim_{x\to \infty}\sqrt[n]{2+(\frac{2}{3})^n}\cdot\sqrt[n]{3^n}

 

I teraz:

 

\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{2}=1                         oraz                             \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{2+(\frac{2}{3})^n}=1

 

więc na podstawie tw. o 3 ciągach granica wyjściowego wynosi 3


  • 1


#113392 Relacja równoważności

Napisane przez Jarekzulus w 05.02.2014 - 03:12

Klasą abstrakcji elementu a jest zbiór tych elementów które są z elementem a w relacji - to tak w kwestii formalnej. Klasy abstrakcji są rozłączne a ich suma mnogościowa daje całą dziedzinę relacji.

 

W kwestii przykładu to wybierz sobie dowolną liczbę - oznaczmy ją przez \m

 

Klasą obstrukcji do \m będzie zbiór 3k+\m czyli będzie to prosta. Tych prostych masz tak dużo, bardzo dużo :)

 

Dwie klasy abstrakcji to linie równoległe (bo muszą być rozłączne więc nie mogą się przeciąć)


  • 1


#113388 Prawdopodobieństwo wyboru liczby

Napisane przez Jarekzulus w 04.02.2014 - 23:39

A widzisz to zmienia postać rzeczy

 

Równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania, gdy \Delta>0  jak wiesz

 

\Delta=4a^2-12ab=4a(a-3b)

 

\Delta>0  gdy 4a(a-3b)>0  czyli oba czynniki muszą być większe od zera (oba mniejsze nie mogą być bo wybierasz z liczb dodatnich).

 

4a>0\wedge a-3b> 0

 

a>0\wedge a>3b  ale a\leq 2 więc ostatecznie 2>3b zatem b<\frac{2}{3}

 

Teraz masz już zabawę na prawdopodobieństwie geometrycznym, czyli działasz na długościach przedziałów


  • 1


#113385 Relacja równoważności

Napisane przez Jarekzulus w 04.02.2014 - 22:50

Zasadniczo to jest ok, choć są drobne niedociągnięcia jeśli chodzi o oznaczenia:

 

1. punkcik ujdzie tak jak jest :)

2. skoro 3k=x-y to y-x=-(x-y)=-3k, czyli tak jak napisałaś skoro 3 dzieli x-y to również przeciwną do niej

3. Nie możesz użyć tego samego "k"              x-y=3k       y-z=3l       więc   x=3k+y         z=y-3l  więc      x-z= 3k+y-y+3l=3(k+l)      k+l      jest liczbą całkowitą

 

Co do klas abstrakcji: Miałaś użyć literki r :)              a poza tym działasz na liczbach rzeczywistych  x, y\in R

 

Ale może zacznij od def

 

[r]=\{y\in R: y S r\}

 

czyli r jest postaci 3k+y.   Masz dużo tych klas abstrakcji, bo działasz na R


  • 1


#113383 Kwadraty liczb całkowitych

Napisane przez Jarekzulus w 04.02.2014 - 22:21

Można użyć indukcji matematycznej albo kongruencji, ale ja może zrobię tak:

 

sprawdźmy kilka początkowych liczb (coś jakby pierwszy krok indukcyjny)

 

dla n=2 mamy 2^2-2=2        nie dzieli się przez 6,     2 dzielone przez 6 = 0 reszty 2

 

dla n=3 mamy 3^2-2=7        nie dzieli się przez 6,     7 dzielone przez 6 = 1 reszty 1

 

dla n=4 mamy 4^2-2=14       nie dzieli się przez 6,    14 dzielone przez 6 = 2 reszty 2

 

dla n=5 mamy 5^2-2=23        nie dzieli się przez 6,     23 dzielone przez 6 = 3 reszty 5

 

dla n=6 mamy 6^2-2=34        nie dzieli się przez 6,     34 dzielone przez 6 = 5 reszty 4

 

dla n=7 mamy 7^2-2=47        nie dzieli się przez 6,     47 dzielone przez 6 = 7 reszty 5

 

dla n=8 mamy 8^2-2=62        nie dzieli się przez 6,     62 dzielone przez 6 = 10 reszty 2

 

dla n=9 mamy 9^2-2=79        nie dzieli się przez 6,     79 dzielone przez 6 = 13 reszty 1

 

dla n=10 mamy 10^2-2=98        nie dzieli się przez 6,     98 dzielone przez 6 = 16 reszty 2

 

dla n=11 mamy 11^2-2=119        nie dzieli się przez 6,     119 dzielone przez 6 = 19 reszty 5

 

dla n=12 mamy 12^2-2=142        nie dzieli się przez 6,     142 dzielone przez 6 = 23 reszty 4

 

dla n=13 mamy 13^2-2=167        nie dzieli się przez 6,     167 dzielone przez 6 = 27 reszty 5

itd.

 

Zrobiłem aż tyle by dokładnie pokazać, że sekwencja reszt się powtarza. A skoro są reszty to oczywiście nie zachodzi podzielność. Są to jedyne reszty jakie mogą wyjść.

 

Ale jak mówiłem możesz też użyć indukcji.

 

Będziesz miał na koniec do udowodnienia, że (n+1)^2-2 nie dzieli się przez 6, czyli że n^2+2n-1  nie dzieli się przez 6.


  • 1


#113377 Kwadraty liczb całkowitych

Napisane przez Jarekzulus w 04.02.2014 - 20:57

Załóżmy, że       6n+2,       n\in N        jest kwadratem pewnej liczny całkowitej k, zatem

 

6n+2=k^2   k\in Z

 

6n=k^2-2

 

n=\frac{k^2-2}{6}=\frac{k^2}{6}-\frac{1}{3}, więc

 

n=\frac{k^2}{6}-\frac{1}{3}

 

teraz tylko wystarczy dowieść że k^2 dzielone przez 6 nie daje reszty 2 (bo wtedy n było by naturalne)

 

innymi słowy, że k^2-2 nie dzieli się przez 6


  • 1


#113318 Konstrukcja czworokąta

Napisane przez Jarekzulus w 03.02.2014 - 11:33

No to zmienia treść dość radykalnie.

 

Chodzi Ci o coś takiego?

pre_1391423650__konsdziwna.jpg

DE=a          EF=b         FG=c            GD=d


  • 1


#113312 Całka - Całka z pierwiastka - ciekawe podstawienie (5)

Napisane przez Jarekzulus w 03.02.2014 - 01:37

\int \frac{\sqrt{a-x^2}}{x}dx

 

Podstawienie:

 

x=\sqrt{a}sin(t)                    więc                   dx=\sqrt{a}cos(t)dt                   a                   t=arcsin\(\frac{x}{\sqrt{a}}\)

 

zatem:

 

\sqrt{a-x^2}=\sqrt{a-a\cdot sin^2(t)}=\sqrt{a\cdot\(1-sin^2(t)\)}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{1-sin^2(t)}=\sqrt{a}\cdot cos(t)

 

\sqrt{1-sin^2(t)}=cos(t)                       \vee                \sqrt{1-sin^2(t)}=-cos(t). Dla uproszczenia zapisu przyjmiemy cos(t).

 

a wracając do całki mamy:

 

\int \frac{\sqrt{a-x^2}}{x}dx=\int\frac{\sqrt{a}\cdot cos(t)}{\sqrt{a}\cdot sin(t)}\cdot \sqrt{a}cos(t)dt=\sqrt{a}\cdot \int \frac{cos^2(t)}{sin(t)}dt=\sqrt{a}\cdot \int \frac{1-sin^2(t)}{sin(t)}dt=\sqrt{a}\cdot \int\frac{1}{sin(t)}dt-\sqrt{a}\cdot \int \frac{sin^2(t)}{sin(t)}dt

 

Druga z całek:

 

-\int \frac{sin^2(t)}{sin(t)}dt=-\int sin(t)dt=\int -sin(t)dt=cos(t)+C

 

Pierwsza z całek:

 

\int\frac{1}{sin(t)}dt

 

                                              Podejście I

 

Wykorzystując wzór \bl{\fbox{2\cdot sin(u)\cdot cos(u)=sin(2u)}}                 oraz wzór                  \bl{\fbox{tg(u)=\frac{sin(u)}{cos(u)}}}

 

sin(t)=2\cdot sin(\frac{t}{2})\cdot cos(\frac{t}{2})=2\cdot cos(\frac{t}{2})\cdot cos(\frac{t}{2})\cdot \frac{sin(\frac{t}{2})}{cos(\frac{t}{2})} =2\cdot cos^2\(\frac{t}{2}\)\cdot tg\(\frac{t}{2}\)

 

zatem:

 

\int\frac{1}{sin(t)}dt=\int \frac{dt}{2\cdot sin(\frac{t}{2})\cdot cos(\frac{t}{2})}=\frac{1}{2}\cdot \int \frac{dt}{cos^2\(\frac{t}{2}\)\cdot tg\(\frac{t}{2}\)}

 

Teraz podstawiamy          k= tg\(\frac{t}{2}\)         dk=\frac{dt}{2\cdot cos^2\(\frac{t}{2}\)}         więc:

 

\frac{1}{2}\cdot\int \frac{dt}{cos^2\(\frac{t}{2}\)\cdot tg\(\frac{t}{2}\)}=\int\frac{dk}{k}=ln|k|+C=ln|tg\(\frac{t}{2}\)|+C

 

więc:                                              \fbox{\fbox{\int\frac{1}{sin(t)}dt=ln|tg\(\frac{t}{2}\)|+C}}

 

 

                                              Podejście II

 

\int\frac{1}{sin(t)}dt=\int\frac{sin(t)}{sin^2(t)}dt=\int\frac{sin(t)}{1-cos^2(t)}dt

 

I stosując podstawienie:                        j=cos(t)                            dj=-sin(t)dt                            mamy:

 

\int\frac{sin(t)}{1-cos^2(t)}dt=\int\frac{-dj}{1-j^2}=\int\frac{dj}{j^2-1}=\int\frac{dj}{(j-1)(j+1)}

 

Teraz rozkładając na ułamki proste:

 

\frac{dj}{(j-1)(j+1)}=\frac{A}{j-1}+\frac{B}{j+1}            dosteniemy            \{A=\frac{1}{2}\\B=-\frac{1}{2}

 

\int\frac{dj}{j^2-1}=\frac{dj}{(j-1)(j+1)}=\frac{\frac{1}{2}}{j-1}+\frac{-\frac{1}{2}}{j+1}=\frac{1}{2}\int \frac{dj}{j-1}-\frac{1}{2}\int\frac{dj}{j+1}=\frac{1}{2}ln|j-1|-\frac{1}{2}ln|j+1|+C=\frac{1}{2}\(ln|j-1|-ln|j+1|\)+C=\frac{1}{2}\(ln|cos(t)-1|-ln|cos(t)+1|\)+C

 

więc:                                              \fbox{\fbox{\int\frac{1}{sin(t)}dt=\frac{1}{2}\(ln|cos(t)-1|-ln|cos(t)+1|\)+C

 

Naniesiono drobne acz istotne poprawki w wyniku wykrycia nieciągłości przez @bb314. Dzięki za czujność ;).

 

Oba rozwiązania są oczywiście poprawne choć dają "teoretycznie" różne wyniki. Poprawność można zbadać obliczając pochodną obu wyrażeń lub stosując kilka przekształceń wykorzystując wzory trygonometryczne wyprowadzić jedno rozwiązanie z drugiego.

 

Reasumując:

 

\int \frac{\sqrt{a-x^2}}{x}dx=\sqrt{a}\cdot \int\frac{1}{sin(t)}dt-\sqrt{a}\cdot \int \frac{sin^2(t)}{sin(t)}dt=\sqrt{a}ln|tg\(\frac{t}{2}\)|+\sqrt{a}cos(t)+C

 

a wracając do wyjściowych zmiennych:

 

\fbox{\fbox{\re{\int \frac{\sqrt{a-x^2}}{x}dx=\sqrt{a}ln\|tg\(\frac{arcsin\(\frac{x}{\sqrt{a}}\)}{2}\)\|+\sqrt{a}\cdot cos (arcsin(\frac{x}{\sqrt{a}}))+C}}}


  • 3


#113290 Ile elementów zawiera zbiór - łatwe pytanie

Napisane przez Jarekzulus w 02.02.2014 - 15:04

1. W=\emptyset tak jak napisałeś. Możesz posłużyć się wykresem by teo dowieść, masz tam parabolę ale to napewno wiesz.

 

2. Wypisz sobie kilka zbiorów:

 

A_1=(1,2)

A_2=(2,5)

A_3=(3,10)

...

 

Przecięcie czyli iloczyn zbiorów (część wspólna):

 

\cap_{n=1}^{\infty}A_n=\emptyset   bo np. A_1  i A_3 nie mają części wspólnej. A_1 nie ma części wspólnej z żadny ze zbiorów A_n, n\neq 1

 

Suma zbiorów

 

\cup_{n=1}^{\infty}A_n=(1,2)\cup(2,\infty)

 

--------------------

Co oznacza zapis? \A nie wiem co masz na myśli?

 

A \backslash B= oznacza różnicę zbiorów


  • 1


#113261 Zmienna losowa o rozkładzie normalnym

Napisane przez Jarekzulus w 01.02.2014 - 03:20

A ponad 99%  się uzyskasz z średnia +3\sigma - reguła 3 sigma. To oczywiście wartość przybliżona. Chcąc dokładniej musisz uzyć metody którą przedstawił @janusz


  • 1


#113246 Jaka jest dziedzina funkcji?

Napisane przez Jarekzulus w 31.01.2014 - 15:46

Tak w mianowniku nie może być zera więc x-2\neq 0    więc D_f=R\backslash {2}

 

W pozostałych funkcjach dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, bo jak widzę dwa ostatnie to wielomiany a przyład drugi to funkcja wykładnicza która też ma taką właśnie dziedzinę.

 

Z dziedziną musisz tylko uważać gdy masz:

 

  • Funcję wymierną (czyli w postaci ułamka łopatologicznie rzecz ujmując) wtedy mianownik różny od zera
  • Pierwiastek - wtedy pod pierwiastkiem możesz mieć tylko liczy większe lub równe zero np. f(x)=\sqrt{2x-7}  więc 2x-7\geq0\Rightarrow x\geq 3,5                                   D_f=\{x\in R: x\geq 3,5\}
  • Logarytm - wtedy pod logarytmem możesz mieć tylko liczby większe od zera, a podstawa musi być większa od zera i różna od 1. Zazwyczaj jednak podstawa logarytmu jest znana więc trzeba uważać tylko na wyrażenie pod logarytmem np. f(x)= log_{3}(3x^2-27) więc 3x^2-27>0 \Rightarrow x^2>9\Rightarrow (x<-3\vee x>3)                             D_f=\{x\in R: x< -3\vee x>3\}
  • Są jeszcze warunki dotyczące funkcji trygonometrycznych \(tg(x), ctg(x)\) a także bardziej zaawansowanych funkcji jak np. Arcussinus itd. ale to chyba jeszcze cię nie obejmuje

  • 1


#113241 Konstrukcja czworokąta

Napisane przez Jarekzulus w 31.01.2014 - 01:08

Literówka była: Powinno być:

3. Na prostej skonstruuj odcinek b. Koniec oznacz jako B (odcinek b zawiera się między punkami AB)

 

Ale konstrukcja wydaje się ok :)

------------------------------------------------------------------------

 

Boki b i d powinny być bokami przeciwległymi

 

No niecałkiem skoro w treści zadania mamy:

 

taki, że boki b i d zawierają się w ramionach kąta alfa

pre_1391126869__konstr.jpg

 

Jak widać możliwe są dwie sytuacje. Nikt nie powiedział, że ma być wypukły :)

 

 

Jest literówka wiem. Tam ma być czewone i niebieskie a, a nie b


  • 1