Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

Jarekzulus

Rejestracja: 16 Oct 2013
Offline Ostatnio: wczoraj, 15:03
*****

#132373 Na ile sposobów można połączyć w pary 9 osób?

Napisane przez NiezłyMatematykPL w 04.04.2023 - 19:14

{9\choose 2} jest ilością sposobów na jakie możemy wybrać JEDNĄ parę spośród 9 osób. Jeżeli dobrze rozumiem w pytaniu "Na ile sposobów można połączyć w pary 9 osób?" chodzi o ilość sposobów na jakie możemy wybrać 4 pary dwuosobowe (jedna osoba zawsze będzie bez pary).

Jeżeli ponumerujemy osoby od 1-9 to przykładowym rozwiązaniem będzie zbiór, czterech podzbiorów dwuelementowych. Przykładowo [[3,8], [1,7], [4,5], [2,6]] i osoba nr 9 będzie bez pary.

Rozwiązaniem więc będzie:

 

9\cdot\frac{8!}{4!\cdot2^4}=945

 

Najpierw wybieramy która osoba będzie bez pary, następnie robimy permutację z pozostałych 8 osób i dzielimy przez 4! żeby kolejność wybierania par nie miała znaczenia (przykładowo żeby permutacja [[2,5],[7,9]...] była tym samym co [[7,9],[2,5]...]). 

Na koniec musimy jeszcze podzielić przez 2^4 żeby kolejność wewnątrz par również nie miała znaczenia (przykładowo żeby permutacja [[2,5],[7,9]...] była tym samym co [[5,2],[9,7]...].


  • 1


#132365 Równanie różniczkowe drugiego stopnia

Napisane przez Mariusz M w 26.02.2023 - 09:59

1) obniżanie rzędu równania liniowego

 

</p>\\<p>x^2\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)\cdot y''\left(x\right) + x\cdot y'\left(x\right) -y\left(x\right) = 0 \qquad y\left(1\right) = 2 \qquad y'\left(1\right) = 1<br>\\y_{1}\left(x\right) = x\\</p>\\<p>x^2\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)\cdot 0 + x\cdot 1 -x = 0\\</p>\\<p>0 + x - x = 0\\</p>\\<p>0 = 0\\</p>\\<p>y\left(x\right) = x\int{u\left(x\right)\mbox{d}x}\\</p>\\<p>y'\left(x\right) = \int{u\left(x\right)\mbox{d}x} + xu\left(x\right)\\</p>\\<p>y''\left(x\right) = u\left(x\right) + u\left(x\right) + xu'\left(x\right)\\</p>\\<p>y''\left(x\right) = 2u\left(x\right) + xu'\left(x\right)\\</p>\\<p>x^2\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)\cdot\left(2u\left(x\right) + xu'\left(x\right)\right)+x\left(\int{u\left(x\right)\mbox{d}x} + xu\left(x\right)\right) - x\int{u\left(x\right)\mbox{d}x} = 0\\</p>\\<p>x^3\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)u'\left(x\right)+2x^2\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)u\left(x\right)+x^2u\left(x\right)+x\int{u\left(x\right)\mbox{d}x} - x\int{u\left(x\right)\mbox{d}x} = 0\\</p>\\<p>x^3\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)u'\left(x\right)+x^2\left(3-2\ln{\left(x\right)}\right)u\left(x\right) = 0\\</p>\\<p>x\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)u'\left(x\right)+\left(3-2\ln{\left(x\right)}\right)u\left(x\right) = 0\\</p>\\<p>x\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)u'\left(x\right) = \left(2\ln{\left(x\right)} - 3\right)u\left(x\right) \\</p>\\<p>\frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)} = \frac{2\ln{\left(x\right)} - 3}{x\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)}\\</p>\\<p>t = 1-\ln{\left(x\right)}\\</p>\\<p>\mbox{d}t = -\frac{\mbox{d}x}{x}\\</p>\\<p>-2t-1 = 2\ln{\left(x\right)}-3\\</p>\\<p>\int{\frac{2\ln{\left(x\right)} - 3}{x\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)}\mbox{d}x}= \int{\frac{2t+1}{t}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{2\ln{\left(x\right)} - 3}{x\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)}\mbox{d}x} = 2t + \ln{\left(t\right)}\\</p>\\<p>\frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)} = - 2\ln{\left(x\right)} + \ln{\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)} + C\\</p>\\<p>\ln{\left(u\left(x\right)\right)} = \ln{\left(\frac{1-\ln{\left(x\right)}}{x^2}\right)} +C\\</p>\\<p>u\left(x\right) = \frac{1-\ln{\left(x\right)}}{x^2}\\</p>\\<p>y = x\left(C_{1}\int{\frac{1-\ln{\left(x\right)}}{x^2}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>y = C_{1}x\left(-\frac{1}{x}+\frac{\ln{\left(x\right)}}{x} - \int{\frac{1}{x^2}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>y = C_{1}x\left(-\frac{1}{x}+\frac{\ln{\left(x\right)}}{x} + \frac{1}{x} + C_{2}\right)\\</p>\\<p>y = C_{1}x\left(\frac{\ln{\left(x\right)}}{x} + C_{2}\right)\\</p>\\<p>y = C_{1}\ln{\left(x\right)} + C_{2}x\\</p>\\<p>y' = \frac{C_{1}}{x}+C_{2}\\</p>\\<p>C_{2} = 2\\</p>\\<p>C_{1}+C_{2}=1\\</p>\\<p>C_{1} = -1\\</p>\\<p>y = 2x - \ln{\left(x\right)}</p>\\<p>

 

2) równanie Eulera - zamiana zmiennej niezależnej sprowadzi równanie do równania o stałych współczynnikach

 

 

</p>\\<p>x^2y''-2xy'+2y = 0 \qquad y\left(1\right) = 3 \qquad y'\left(1\right) = 1</p>\\<p>x=e^{t}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t} = e^{t}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\cdot\frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}e^{-t}\\</p>\\<p>x\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = e^{t}\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}e^{-t}\\</p>\\<p>x\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\left(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\cdot\frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}x}\right)\frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\left(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\cdot e^{-t}\right)e^{-t}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} = \left(\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2}\cdot e^{-t} - \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t} \cdot e^{-t}\right)e^{-t}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} = \left(\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2} -\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t} \right)e^{-2t}\\</p>\\<p>x^2\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} = e^{2t}\left(\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2} - \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\right)e^{-2t}\\</p>\\<p>x^2\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} =\left(\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2} -\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t} \right)\\</p>\\<p>\left(\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2} - \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\right) - 2\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}+2y = 0\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2} - 3 \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}+ 2y = 0\\</p>\\<p></p>\\<p>y = e^{\lambda t}\\</p>\\<p>\lambda^2e^{\lambda t} - 3\lambda e^{\lambda t} + 2e^{\lambda t} = 0\\</p>\\<p>\left(\lambda^2 - 3\lambda + 2\right)e^{\lambda t} = 0\\</p>\\<p>\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0\\</p>\\<p>\left(\lambda - 1\right)\left(\lambda - 2\right) = 0\\</p>\\<p>\lambda_{1} = 1\\</p>\\<p>\lambda_{2} = 2\\</p>\\<p>y\left(t\right) = C_{1}e^{t}+C_{2}e^{2t}\\</p>\\<p>y\left(x\right) = C_{1}x + C_{2}x^2\\</p>\\<p>y'\left(x\right) = C_{1} + 2C_{2}x\\</p>\\<p>\begin{cases}</p>\\<p>C_{1}+C_{2} = 3\\</p>\\<p>C_{1}+2C_{2} = 1\\</p>\\<p>\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}</p>\\<p>C_{1}+C_{2} = 3\\</p>\\<p>C_{2} = -2\\</p>\\<p>\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}</p>\\<p>C_{1} = 5\\</p>\\<p>C_{2} = -2\\</p>\\<p>\end{cases}\\</p>\\<p></p>\\<p>y\left(x\right) = 5x -2x^2\\</p>\\<p></p>\\<p>


  • 2


#131862 Sprowadzenie równania liniowego drugiego rzędu do równania Riccatiego

Napisane przez Mariusz M w 28.07.2021 - 01:56

Pomysł jest taki aby sprowadzić równanie liniowe drugiego rzędu do układu dwóch równań pierwszego rzędu z których jedno jest równaniem Riccatiego a drugie jest np równaniem o rozdzielonych zmiennych

 

y''+p\left(x\right)y'+q\left(x\right)y=0\\</p>\\<p>y''=-p\left(x\right)y'-q\left(x\right)y\\</p>\\<p>\begin{cases}y''=-p\left(x\right)y'-q\left(x\right)y\\y'=\frac{y}{z} \end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}\frac{y'z-yz'}{z^2}=-p\left(x\right)\frac{y}{z}-q\left(x\right)y\\y'=\frac{y}{z} \end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}\frac{\frac{y}{z}\cdot z-yz'}{z^2}=-p\left(x\right)\frac{y}{z}-q\left(x\right)y\\y'=\frac{y}{z} \end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}\frac{y-yz'}{z^2}=-p\left(x\right)\frac{y}{z}-q\left(x\right)y\\y'=\frac{y}{z} \end{cases}\</p>\\<p>\begin{cases} y - yz' =-p\left(x\right)yz-q\left(x\right)yz^2\\y'=\frac{y}{z} \end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases} - yz' =-p\left(x\right)yz-q\left(x\right)yz^2-y\\y'=\frac{y}{z} \end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases} - yz' =-y\left(q\left(x\right)z^2+p\left(x\right)z + 1\right)\\y'=\frac{y}{z} \end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases} z' =q\left(x\right)z^2+p\left(x\right)z + 1 \\y'=\frac{y}{z} \end{cases}\\</p>\\<p>

 

 

Teraz przykład że to może się czasem przydać podczas rozwiązywania równań rożniczkowych

 

f''+\left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}}\right)f'+\frac{2}{x^2+1}f = 0\\</p>\\<p>\begin{cases}z'=\frac{2}{x^2+1}z^2+\left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}}\right)z+1\\f'=\frac{f}{z} \end{cases}\\</p>\\<p>z'=\frac{2}{x^2+1}z^2+\left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}}\right)z+1\\<br>\\z_{1}=\sqrt{x^2+1}\\</p>\\<p>\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=2+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-3+1\\</p>\\<p>\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\\</p>\\<p>z = \sqrt{x^2+1}+\frac{1}{u}\\</p>\\<p>\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{u'}{u^2}=\frac{2}{x^2+1}\left(\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{u}\right)^2+\left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}}\right)\left(\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{u}\right)+1\\</p>\\<p>\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{u'}{u^2}=\frac{2}{x^2+1}\left(x^2+1+2\frac{\sqrt{x^2+1}}{u}+\frac{1}{u^2}\right)+\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-3+\frac{x}{x^2+1}\cdot\frac{1}{u}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}}\cdot\frac{1}{u}\right)+1\\</p>\\<p>\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{u'}{u^2}=2+\frac{4}{\sqrt{x^2+1}}\cdot \frac{1}{u}+\frac{2}{x^2+1}\cdot\frac{1}{u^2}+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-3+\frac{x}{x^2+1}\cdot\frac{1}{u}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}}\cdot\frac{1}{u}+1\\</p>\\<p>-\frac{u'}{u^2}=\left(\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)\cdot\frac{1}{u}+\frac{2}{x^2+1}\cdot\frac{1}{u^2}\\</p>\\<p>-\frac{u'}{u^2}-\left(\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)\cdot\frac{1}{u}=\frac{2}{x^2+1}\cdot\frac{1}{u^2}</p>\\<p>u'+\left(\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)u=-\frac{2}{x^2+1}\\</p>\\<p>u'+\left(\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)u=0\\</p>\\<p>u'=-\left(\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)u\\</p>\\<p>\frac{u'}{u}=-\left(\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=t-x\\</p>\\<p>x^2+1=t^2-2tx+x^2\\</p>\\<p>1=t^2-2tx\\</p>\\<p>2tx=t^2-1\\</p>\\<p>x=\frac{t^2-1}{2t}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2t\cdot 2t-2\left(t^2-1\right)}{4t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{t^2+1}{2t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=t-\frac{t^2-1}{2t}\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=\frac{t^2+1}{2t}\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mbox{d}x}=\int{\frac{2t}{t^2+1}\cdot\frac{t^2+1}{2t^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mbox{d}x}=\int{\frac{1}{t}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mbox{d}x}=\ln{\left|x+\sqrt{x^2+1}\right|}\\</p>\\<p>\ln{\left|u\right|}=\ln{\left|\frac{1}{\sqrt{x^2+1}\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)}\right|}+C_{1}\\</p>\\<p>\ln{\left|u\right|}=\ln{\left|\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}\left(\left(x^2+1\right)-x\right)}\right|}+C_{1}\\</p>\\<p>\ln{\left|u\right|}=\ln{\left|\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}}\right|}+C_{1}\\</p>\\<p>u\left(x\right)=C\left(x\right)\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)\\</p>\\<p>C'\left(x\right)\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)+C\left(x\right)\left(\frac{-\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}\right)+\left(\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)C\left(x\right)\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)=-\frac{2}{x^2+1}\\</p>\\<p>C'\left(x\right)\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)+\frac{-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}C\left(x\right)+C\left(x\right)\left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{x^2}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{x}{x^2+1}\right)=-\frac{2}{x^2+1}\\</p>\\<p>C'\left(x\right)\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)-\frac{1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}C\left(x\right)+C\left(x\right)\frac{1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}=-\frac{2}{x^2+1}\\</p>\\<p>C'\left(x\right)\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}}=-\frac{2}{x^2+1}\\</p>\\<p>C'\left(x\right)=-\frac{2}{\sqrt{x^2+1}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)}\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=t-x\\</p>\\<p>x^2+1=t^2-2tx+x^2\\</p>\\<p>1=t^2-2tx\\</p>\\<p>2tx=t^2-1\\</p>\\<p>x=\frac{t^2-1}{2t}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2t\cdot 2t-2\left(t^2-1\right)}{4t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{t^2+1}{2t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=t-\frac{t^2-1}{2t}\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=\frac{t^2+1}{2t}\\</p>\\<p>-2\int{\frac{1}{\frac{t^2+1}{2t}\cdot\frac{t^2+1-t^2+1}{2t}}\cdot\frac{t^2+1}{2t^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>-2\int{\frac{2t^2}{t^2+1}\cdot\frac{t^2+1}{2t^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>-2\int{\mbox{d}t}=-2\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C_{1}\\</p>\\<p>u\left(x\right)=\left(-2\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C_{1}\right)\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}}\\</p>\\<p>u\left(x\right)=\frac{-2+C_{1}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)}{\sqrt{x^2+1}}\\</p>\\<p>z\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}+\frac{\sqrt{x^2+1}}{-2+C_{1}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)}</p>\\<p>z\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}\cdot\frac{-1+C_{1}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)}{-2+C_{1}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)}</p>\\<p>z\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}\cdot\frac{x+\sqrt{x^2+1}-C_{1}}{2x+2\sqrt{x^2+1}-C_{1}}\\</p>\\<p>f'=f\cdot\frac{2x+2\sqrt{x^2+1}-C_{1}}{\sqrt{x^2+1}\left(x+\sqrt{x^2+1}-C_{1}\right)}</p>\\<p>\frac{f'}{f}=\frac{2x+2\sqrt{x^2+1}-C_{1}}{\sqrt{x^2+1}\left(x+\sqrt{x^2+1}-C_{1}\right)}</p>\\<p>\frac{\mbox{d}f}{f}=\frac{2x+2\sqrt{x^2+1}-C_{1}}{\sqrt{x^2+1}\left(x+\sqrt{x^2+1}-C_{1}\right)}\mbox{d}x\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=t-x\\</p>\\<p>x^2+1=t^2-2tx+x^2\\</p>\\<p>1=t^2-2tx\\</p>\\<p>2tx=t^2-1\\</p>\\<p>x=\frac{t^2-1}{2t}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2t\cdot 2t-2\left(t^2-1\right)}{4t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{t^2+1}{2t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=t-\frac{t^2-1}{2t}\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=\frac{t^2+1}{2t}\\</p>\\<p>\int{\frac{2t-C_{1}}{t-C_{1}}\cdot\frac{2t}{t^2+1}\cdot\frac{t^2+1}{2t^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{2t-C_{1}}{t\left(t-C_{1}\right)}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{2t-C_{1}}{t^2-C_{1}t}\mbox{d}t}=\ln{\left|t^2-C_{1}t\right|}+\ln{C_{2}}\\</p>\\<p>\ln{\left|f\right|}=\ln{\left|\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^2-C_{1}\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right|}+\ln{C_{2}}\\</p>\\<p>f=C_{2}\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^2-C_{2}C_{1}\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)<br>\\
 

 

 

Jak widać sposób ten nie zawsze upraszcza rozwiązanie równań liniowych drugiego rzędu

choć czasem znalezienie całki szczególnej równania Riccatiego jest łatwiejsze niż znalezienie całki szczególnej równania liniowego drugiego rzędu

 

Zastanówcie się dlaczego akurat tak zostało dobrane to drugie równanie

Pobawcie się tym sposobem sprowadzania równania liniowego drugiego rzędu

To nie jest jedyna możliwość przekształcenia równania liniowego drugiego rzędu w układ równań różniczkowych pierwszego rzędu z których jedno jest równaniem Riccatiego

Spróbujcie znaleźć inne


  • 2


#131773 Kąt między ścianami bocznymi ostrosłupa

Napisane przez Kinia7 w 17.03.2021 - 20:53

Generalnie kąt między dwoma przecinającymi się płaszczyznami wyznacza się przecinając te płaszczyzny płaszczyzną prostopadłą do ich wspólnej krawędzi. Ta płaszczyzna wyznaczy dwie proste wspólne z owymi dwiema płaszczyznami. Kąt między tymi prostymi to kąt między płaszczyznami, do których należą.

Na powyższym rysunku CE to wspólna krawędź płaszczyzn zawierających ściany BCE i DCE. Płaszczyzna prostopadła do CE i przechodząca przez punkty B i D przecina CE w punkcie G. To znaczy, że BG i DG są prostopadłe do CE, a kąt między nimi czyli kąt BGD jest kątem między ścianami BCE i DCE.


  • 1


#131693 Pięciokąt foremny konstrukcja

Napisane przez Mariusz M w 19.01.2021 - 18:59

Na wikipedii są podane konstrukcje przy podanej długości promienia

 

Ja bazując na konstrukcjach dostępnych w tablicach Mizerskiego

wyprowadziłem dwie konstrukcje gdy dana jest długość boku

 

Skrótowy opis konstrukcji

 

Konstrukcja pięciokąta foremnego o danym boku

Sposób pierwszy

Wykorzystanie tego że
   kąt 108 jest przyległy do kąta 72
   trójkąta prostokątnego o kątach 18 72 90
   wartości cosinusa kąta 72 do ustalenia przykładowych długości boków trójkąta prostokątnego o kątach 18 72 90
1. Konstrukcja odcinka o długości \frac{1+\sqrt{5}}{2} \cdot a
   i przyjęcie go jako przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o kątach 18 72 90
2. Przeciwprostokątna i przedłużenie przyprostokątnej przyległej do kąta 72 tworzy kąt 108
3. Przyjęcie odcinka danej długości jako boku trójkąta
   (okrąg o środku w wierzchołku kąta 108 i promieniu równym odcinkowi danej długości)   
4. Środkowe odcinków wyznaczają środek okręgu
5. Na okręgu odmierzyć pozostałe odcinki o danej długości

Sposób drugi

Konstrukcja trójkąta równoramiennego o kątach 54 54 72
i danym boku będącym również bokiem pięciokąta

Wykorzystanie
        wartości sinusa kąta 54 do ustalenia prostych zawierających ramiona trójkąta równoramiennego

   Konstrukcja odcinka o długości \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1\right)\cdot a 
   i opuszczene go na symetralną odcinka o długości a prostopadłego do prostej zawierającej odcinek o długości a
   Proste zawierające odcinek o długości \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1\right)\cdot a poprowadzony z obydwu końców boku pięciokąta przecinają się w punkcie
   który jest brakującym wierzchołkiem trójkąta równoramiennego a zarazem środkiem okręgu opisanego na pięciokącie

 

Teraz opiszę kroki jakie wykonałem w programie Geogebra

 

Sposób 1.

Konstrukcja pięciokąta foremnego o danej długości boku
Pierwszy etap - konstrukcja trójkąta prostokątnego
gdzie jeden z kątów ostrych jest kątem przyległym do kąta wewnętrznego pięciokąta
Z wartości cosinusa 72 stopni wnosimy że przeciwprostokątna tego
pomocniczego trójkąta ma długość \frac{1+\sqrt{5}}{2} \cdot a

1.  Przez dane punkty A oraz B kreślimy prostą np f
2.  Kreślimy okrąg c o środku w punkcie B i promieniu AB
3.  Niech punkt C będzie punktem przecięcia okręgu c i prostej f (różnym od A)
4.  Kreślimy symetralną g odcinka BC
5.  Niech punkt D będze środkiem odcinka BC
6.  Kreślimy okrąg d o środku w punkcie D i promieniu AB
7.  Niech punkt E będzie punktem przecięcia okręgu d i prostej g
8.  Przez punkty B oraz E kreślimy prostą h
9.  Kreślimy okrąg e o środku w punkcie E i promieniu BD
10. Niech punkt F będzie przecięciem okręgu e i prostej h na przedłużeniu odcinka BE
11. Kreślimy okrąg k o środku w punkcie B i promieniu BF
12. Niech punkt G będzie punktem przecięcia okręgu k i prostej G (punkty G oraz E leżą po tej samej stronie prostej F)
13. Przez punkty B oraz G kreślimy prostą i

Trójkąt BGD jest pomocniczym trójkątem prostokątnym gdzie GBD jest kątem przyległym do kąta wewnętrznego pięciokąta


Drugi etap - konstrukcja środka okręgu opisanego na pięciokącie

14. Niech punkt H będzie punktem przecięcia okręgu c i prostej h (punkty G oraz H jeżą po tej samej stronie prostej f)
    Teraz mamy dwa boki pięciokąta
15. Kreślimy symetralną j odcinka BH
16. Kreślimy symetralną l odcinka AB
17. Niech punkt I pęcie punktem przecięcia symetralnych j oraz l
    Punkt I jest środkiem okręgu opisanego na pięciokącie

Trzeci etap - wyznaczenie dwóch pozostałych wierzchołków pięciokąta

18. Kreślimy okrąg p o środku w punkcie I oraz promieniu AI
19. Kreślimy okrąg q o środku w punkcie A i promieniu AB
20. Niech punkt J będzie punktem przecięcia okręgu p oraz okręgu q
21. Kreślimy okrąg r o środku w punkcie H i promieniu AB
22. Niech punkt K będzie punktem przecięcia okręgu p oraz okręgu r
23. Punkty A,B,H,K,J są wierzchołkami poszukiwanego pięciokąta foremnego

Sposób 2.
 

Przez punkty A i B prowadzimy prostą p1
Prowadzimy prostą p2 prostopadła do prostej p1 i przechodzącą przez punkt B
Kreślimy okrąg o środku w B i promieniu AB
Niech punkt C będzie punktem przecięcia okręgu O(B,AB) i prostej p2
Niech prosta p3 będzie symetralną odcinka BC
Punkt D środek odcinka BC (przecięcie prostych p2 oraz p3)
Przez punkty A i D prowadzimy prostą p4
Kreślimy okrąg o środku w D i promieniu BD
Niech punkt E będzie punktem przecięcia okręgu O(D,BD) i prostej p4
Kreślimy okrąg o środku w A i promieniu AE
Kreślimy okrąg o środku w B i promieniu AE
Niech punkt F będzie punktem przecięcia okręgu O(A,AE) i prostej p3
Niech punkt G będzie punktem przecięcia okręgu O(B,AE) i prostej p3
Przez punkty A i F prowadzimy prostą p5
Przez punkty B i G prowadzimy prostą p6
Niech punkt H będzie punktem przecieęcia prostych p5 i p6
Kreślimy okrąg o środku w H i promieniu AH
Na okręgu O(H,AB) odkładamy odcinek AB



Ktoś chętny aby wyedytować wikipedię aby dodać opis konstrukcji dla danej długości boku ?


  • 1


#131537 Wstaw "operacje" matematyczne a wynikiem jest 6

Napisane przez Kinia7 w 08.10.2020 - 12:47

777                    

                                 7-(7-7)=6

 

 

To jest fałsz.


  • 1


#131535 Wstaw "operacje" matematyczne a wynikiem jest 6

Napisane przez Kinia7 w 08.10.2020 - 10:29

(\lg10+\lg10+\lg10)!=6

 

 


  • 1


#131516 Zadanie z prawdopodobieństwa

Napisane przez janusz w 16.09.2020 - 22:25

Model  doświadczenia losowego zawartego w treści zadania

 

Doświadczenie losowe składa się z dwóch etapów:

 

-badanie, czy poszukiwany skarb leży na dnie oceanu - etap pierwszy

 

- poszukiwanie skarbu przez zespół nurków - etap drugi.

 

Etap pierwszy 

 

Oznaczenie zdarzeń:

 

 L_{+} - "skarb leży na dnie oceanu" 

 

 L_{-} - "skarb nie leży na dnie oceanu" 

 

\Omega_{1} = \{ L_{+} , L_{-} \}  

 

 P_{1}(L_{+})= 0,60, \ \ P_{1}(L_{-})= 0,40.

 

Etap drugi

 

Oznaczenie zdarzeń;

 

 \{W|L_{+} \} - "wydobycie skarbu, jeśli znajduje na dnie oceanu "

 

 \{ N|L_{+} \} - "nie wydobycie skarbu, jeśli znajduje się na dnie oceanu".

 

 \{ W| L_{-} \} - " wydobycie skarbu, jeśli nie znajduje się na dnie oceanu"

 

 \{ N| L_{-} \} - nie wydobycie skarbu jeśli nie znajduje się na dnie oceanu.

 

 \Omega_{(2|+)} = \{ W|L_{+} , \ \ N|L_{+} \} , \ \ \Omega_{(2|-)} = \{ W|L_{-}\} , \ \ N|L_{-} \}

 

 P(W|L_{+}) = 0,45, \ \ P( N | L_{+}) = 0,55, \ \ P(W | L_{-}) = 0, \ \ P(N | L_{+}) = 1.

 

Model łączny dwóch etapów (produktowy)

 

 \Omega = \Omega_{1} \times \Omega_{(2|+)} \times \Omega_{(2|-)} = \{ ( L_{+},W | L_{+}), \ \ (L_{-},W | L_{+}), \ \ (L_{+},N | L_{+}), \ \ (L_{-},N | L_{+}), \ \( L_{+},W | L_{-}), \ \(L_{-},W | L_{-}),

 

 (L_{+},N | L_{-}), \ \ (L_{-},N | L_{-})\} .

 

 P(( L_{+},W | L_{+}) = 0,60 \cdot 0,45, \ \ P(L_{-},W | L_{+}) = 0, 40\cdot 0,45 \ \ P( (L_{+},N | L_{+}) = 0,60\cdot 0,55, \ \ P((L_{-},N | L_{+}) = 0,40 \cdot 0,55 , \ \ P( L_{+},W | L_{-}) = 0,60\cdot 0

 

 P(L_{-},W | L_{-}) = 0,40\cdot 0 = 0, \ \ P(L_{+},N | L_{-}) = 0,60 \cdot 0, \ \ P(L_{-},N | L_{-}) = 0,40\cdot 1 = 0,40.

 

Oznaczenia:

 

 A - "zdarzenie ekipa nurków nie odnajdzie skarbu"

 

 P(A) = P(\{(L_{+},N | L_{+}), \ \ (L_{-},N | L_{-})\}

 

 P(A) = 0,60\cdot 0,55 + 0,40\cdot 1 = 0,73.

 

 P(L_{-}| N) = \frac{P(L_{-} \cap N)}{P(N)} = \frac{0,40\cdot 1}{0,60\cdot 0,55 + 0,40 \cdot 1} = 0,54795 \approx 0,55.

 

Interpretacja otrzymanych wartości prawdopodobieństwa

 

W wyniku realizacji doświadczenia losowego należy oczekiwać, że w  73\% ogólnej liczby jego realizacji ekipa nurków nie odnajdzie skarbu  i w około  55\%

 

jeśli   nie znajdzie  skarbu leżącego na dnie oceanu, to nie ma go w tym miejscu. 


  • 1


#131377 działania na potęgach

Napisane przez Kinia7 w 10.06.2020 - 18:56

 ... =16^{501}-16=16(2^{500}-1)

 

 

 

po mojemu to jest bzdet, winno być

 

 ... =16^{501}-16=16(16^{500}-1)

 

ten czynnik w nawiasach rozkłada się na czynniki w ten sposób, że jednym z nich jest  (16-1)

 

więc 2^{2004}-2^4 jest podzielne przez 16\cd15=240


  • 1


#131350 Polecenie do zadania z programowania liniowego

Napisane przez thirdman w 01.06.2020 - 14:39

W excelu po lewej stronie u góry masz pole nazwy, i tam komórka b8 jest wpisana jako x_11, c8 jako x_12, i tak dalej. Ok tak mniej więcej napiszę. Dziękuję za odpowiedź. 


  • 1


#131288 planimetria

Napisane przez janusz w 19.05.2020 - 17:36


Mamy  napisać pracę klasową, siedząc w rzędzie I, jeśli się nie chce nawet przepisać treści zadań. Wstyd i lenistwo.


  • 1


#131256 Ciśnienie gazu w zbiorniku

Napisane przez michal210 w 08.05.2020 - 10:01

Mamy tutaj do czynienia z przemianą izotermiczną bo gaz w obu zbiornikach znajduje się w tej samej temperaturze (a przynajmniej w zadaniu nie jest napisane żeby było inaczej). Kolejna kwestia odnośnie tego czy gaz należy traktować jak gaz doskonały czy jak rzeczywisty. Zasada jest prosta, jeśli w zadaniu nie ma wyraźnej informacji, że jest to gaz rzeczywisty, to należy traktować go jako gaz doskonały. Do opisu gazu doskonałego wykorzystuje się równie Clapeyrona. W zadaniu mamy 2 sytuacje:

 

a) gaz znajduje się w butlach 50L pod ciśnieniem 200 bar. Nie wiemy ile tych butli potrzebujemy aby napełnić zbiornik o objętości 35m^3, dlatego objętość butli jaką zużyjemy zapiszmy jako:

V1=n*50L gdzie n- ilość butli 

p1=200bar 

 

b) zbiornik o objętości 35000L, ciśnienie 2bar

V2=35000L

p2=2bar 

 

Czy gaz będziemy trzymać w małych butlach czy w dużym zbiorniku to liczba jego moli w obu przypadkach będzie taka sama. Również zakładamy, że temperatura się nie zmienia w obu przypadkach. Napiszmy wiec równinie do sytuacji przestawionej w podpunkcie a oraz b. 

 

p1V1=nRT

p2V2=nRT

 

Mamy 2 równianina, w których nRT ma dokładnie taką samą wartość, bo tak jak pisałem wcześniej liczba moli i temperatura jest dokładnie taka sama czy my trzymamy gaz w butlach 50L czy w zbiorniku 35m^3. Skoro tak to oba równania możemy do sobie przyrównać 

 

p1V1=p2V2

 

Dzięki temu dostaliśmy wzór który penie pamiętasz z fizyki ( to jest wzór dla warunków izotermicznych)

 Podstawmy do niego dane które wypisałem w podpunkcie a i b

 

200bar*n*50L=2bar*35000L

n=7 

 

z tego wynika ze musimy opróżnić 5 zbiorników

 

musisz trochę policzyć tego typu zadań żeby nabrać wprawę. Jedno podsyłam w linku https://fizyka-kursy...a-termodynamika

 

 

 


  • 2


#122738 Całkowanie - jak to rozwiązać - wymierna

Napisane przez Kinia7 w 27.07.2015 - 11:08

zakładam, że miało być
\int {x^4 \over f(x)} dx = Ax^3 + Bx + C ln {g(x) \over h(x)} + D , gdzie f(x) = (16x^2-36)
wtedy
\int\frac{x^4}{16x^2-36}dx=\int\frac{x^4}{(4x-6)(4x+6)}dx=\int\(\frac{1}{16}x^2+\frac{9}{64}+\frac{\frac{27}{64}}{4x-6}-\frac{\frac{27}{64}}{4x+6}\)dx=
=\frac{1}{16}\int x^2dx+\frac{9}{64}\int1dx+\frac{27}{64}\(\int\frac{dx}{4x-6}-\int\frac{dx}{4x+6}\)=
=\frac{1}{48}x^3+\frac{9}{64}x+\frac{27}{64}\(\frac{1}{4}\ln(4x-6)-\frac{1}{4}\ln(4x+6)\)+D=\frac{1}{48}x^3+\frac{9}{64}x+\frac{27}{256}\ln\frac{4x-6}{4x+6}+D
czyli  A=\frac{1}{48}\quad\quad B=\frac{9}{64}\quad\quad C=\frac{27}{256}\quad\quad g(x)=4x-6\quad\quad h(x)=4x+6
sprawdzenie - policz pochodną
\(\frac{1}{48}x^3+\frac{9}{64}x+\frac{27}{256}\ln\frac{4x-6}{4x+6}+D\)'_x
powinna wyjść
\frac{x^4}{16x^2-36}
 

  • 3


#131198 Dzielenie wielomianów za pomocą permutacji poprzez macierze.

Napisane przez SzymonDreamer357 w 16.04.2020 - 16:28

Postaram się, Mamy dowolny wielomian, przykładowo:

\frac{ 2x^{5}+2x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x^{1}+2}{(x+3)(x+2)}\\

 

Bierzemy ostatni pierwiastek:

\frac{ 2x^{5}+2x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x^{1}+2}{(x+3)(x+2)}\\

 

 

I wyciągamy co następuje, tutaj, dla mnie to oczywiste, ale jak są pytania to by mnie naprowadziło, na to co jest nie jasne:

\frac{ -2 \cdot 2^{5}+2 \cdot 2^{4}-2 \cdot 2^{3}+2 \cdot 2^{2}-2 \cdot 2+2 }{(x+3)(x+2)}\\

 

 

 

</p>\\<p>\frac{-64+32-16+8-4+2 }{(x+3)(x+2)}\\</p>\\<p>d(x)=\frac{-42}{(x+3)(x+2)}\\</p>\\<p></p>\\<p>

Teraz od wielomianu odejmujemy, naszą wielkość d(x)

\frac{ 2x^{5}+2x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x^{1}+2}{(x+3)(x+2)}- \frac{ - 42}{(x+3)(x+2)}\\

 

Zamieniamy postać dzielnika, z formy kanonicznej, na wielomianową:

 

\frac{ 2x^{5}+2x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x^{1}+44}{x^{2}+5x+6}=\\

 

Wykonujemy dzielenie:

</p>\\<p>-(2x^{5}+10x^{4}+12x^{3})\\-8x^{4}-10x^{3}+2x^{2}+2x^{1}+44\\-(-8x^{4}-40x^{3}-48x^{2}\\30x^{3}+50x^{2}+2x+44\\-(30x^{3}+150x^{2}+180x)\\-100x^{2}-178x+44\\-(-100x^{2}-500x-600)\\322x+644\\</p>\\<p></p>\\<p>

 

Resztę dzielimy przez pierwiastki dla czterech pierwiastków, przez trzy pierwiastki,resztę przez dwa, resztę przez jeden.

Tu mamy przykład z tylko dwoma pierwiastkami i dzielimy tylko przez jeden.

\frac{322x+644}{(x+2)

 

I otrzymujemy wynik.

2x^{3}-8x^{2}+30x-100+ \frac{322}{(x+3)} + \frac{- 42}{(x+3)(x+2)} \\


A postawisz dobry obiad za to :), o tym wzorze to mógłbym opowiadać tygodniami.


  • 1


#131191 objętość prostopadłościanu z zaokrąglonymi narożami (trudne i ciekawe)

Napisane przez bb314 w 15.04.2020 - 22:19

\bl P_p\=320(270-2\cd24)+2\cd24(320-2\cd24)+\pi\cd24^2\bl=84096+576\pi

 

\re V=P_p\cd H=(84096+576\pi)\cd1500\re\approx128858336\ mm^3

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

  • 2