Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

Jarekzulus

Rejestracja: 16 Oct 2013
Offline Ostatnio: Feb 14 2020 11:43
*****

#131130 Całka z pierwiastka z trójmianu

Napisane przez Mariusz M w 09.02.2020 - 13:13

@Jarekzulus to podaj jakiś przykład całki tej postaci to pokażę jak  przedstawić tę całkę w postaci sumy trzech całek

Wtedy będzie jasne dlaczego wolałbym znaleźć taki rozkład drogą algebraiczną

 

\int \frac{dx}{x\sqrt{2x^2-2x+1}}
\int \frac{dx}{x\sqrt{2x^2-2x-1}}

 

W powyższych całkach podstawienia Eulera bardzo dobrze pasują ale gdyby chciał rozbić te całki na sumę całek to

 

 

 

\int \frac{dx}{x\sqrt{2x^2-2x+1}}=\int{\frac{dx}{x\sqrt{2\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}}}}\\</p>\\<p>=\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{dx}{x\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}}}\\</p>\\<p>x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\tan{t}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{1}{2}\left(1+\tan^2{t}\right)\mbox{d}t\\</p>\\<p>=\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{\mbox{d}t}{\frac{1}{2}\left(1+\tan{t}\right)\sqrt{\frac{1}{4}\left(1+\tan^2{t}\right)}}\cdot\frac{1}{2}\left(1+\tan^2{t}\right)\mbox{d}t}\\</p>\\<p>=\sqrt{2}\int{\frac{\frac{1}{\cos{t}}\mbox{d}t}{\frac{\cos{t}+\sin{t}}{\cos{t}}}}\\</p>\\<p>=\sqrt{2}\int{\frac{\mbox{d}t}{\cos{t}+\sin{t}}}\\</p>\\<p>=\sqrt{2}\int{-\frac{\sin{t}}{\cos^2{t}-\sin^2{t}}\mbox{d}t}+\sqrt{2}\int{\frac{\cos{t}}{\cos^{2}{t}-\sin^{2}{t}}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>

 

W ostatniej linijce skorzystałem z tego że funkcję można rozbić na

 

R\left(u,v\right)=\frac{R\left(u,v\right)-R\left(-u,v\right)}{2}+\frac{R\left(-u,v\right)-R\left(-u,-v\right)}{2}+\frac{R\left(-u,-v\right)+R\left(u,v\right)}{2}

 

 

Teraz jak dla każdej z tych całek wykonamy  z powrotem podstawienie x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\tan{t}\\

 

To otrzymamy sumę całek

 

\frac{1}{2}\int{\frac{2x-1}{x\left(x-1\right)\sqrt{2x^2-2x+1}}\mbox{d}x}-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x\left(x-1\right)\sqrt{2x^2-2x+1}}\mbox{d}x}

 

 

 

i teraz do pierwszej całki można zastosować podstawienie

u=\sqrt{2x^2-2x+1}

a do drugiej całki można zastosować podstawienie

v=\frac{x-\frac{1}{2}}{\sqrt{2x^2-2x+1}}

 

 

W przypadku całki

 

\int \frac{dx}{x\sqrt{2x^2-2x-1}}

rozkład wygląda podobnie

 

 

\frac{1}{2}\int{\frac{2x-1}{x\left(x-1\right)\sqrt{2x^2-2x-1}}\mbox{d}x}-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x\left(x-1\right)\sqrt{2x^2-2x-1}}\mbox{d}x}

 

i teraz do pierwszej całki można zastosować podstawienie

u=\sqrt{2x^2-2x-1}

a do drugiej całki można zastosować podstawienie

v=\frac{x-\frac{1}{2}}{\sqrt{2x^2-2x-1}}

 

 

Sam widzisz że ten sposób uzyskania tego rozkładu nie jest zbyt efektywny

i dlatego szukam innego sposobu na znalezienie tego rozkładu

Przekształcenia algebraiczne mogłyby być ok


  • 1


#131127 Funkcje

Napisane przez Kinia7 w 06.02.2020 - 22:04

Najsamwprzód zapoznaj się z Regulaminem :)


  • 1


#130937 Pole trójkąta na podstawie współrzędnych wierzchołków

Napisane przez janusz w 29.10.2019 - 19:26

Szybszy i  bardziej  nowoczesny sposób

 

Obliczamy współrzędne wektorów wychodzących z jednego punktu na przykład  A   

 

 \vec{AB} = [ 1- 0, 2 - 4] = [1, -2]

 

 \vec{AC} = [ 1 +3, 2 + 3] = [4, 5]  

 

Obliczamy połowę wartości wyznacznika utworzonego z tych wektorów:

 

 \frac{1}{2}\left | \begin{matrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right| = \frac{1}{2}( 5 +8 ) = \frac{13}{2} = 6,5

 

gdy wartość wyznacznika wychodzi ujemna, uwzględniamy jego  wartość bezwzględną.

 


  • 1


#130925 Mam problem z pewnym zadaniem (równanie z modułami)

Napisane przez bb314 w 26.10.2019 - 15:39

\bl |z-3i|+|z+3i|=10

|z-3i| jest to odległość punktu z od punktu 3i

|z+3i| jest to odległość punktu z od punktu -3i

suma tych dwóch odległości jest stała i =10

punkty, których suma odległości od dwóch zadanych punktów (ognisk) jest stała, tworzą elipsę

w naszym przypadku ogniska to punkty  (0,3)  i  (0,-3)

półosie elipsy wynoszą  4  i  5

rozwiązaniem wyjściowej równości jest zbiór punktów  z=(x,y),

które spełniają równanie elipsy  \re\fr {x^2}{16}+\fr {y^2}{25}=1

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

  • 1


#130920 rozwiąż nierówność

Napisane przez Kinia7 w 25.10.2019 - 18:33

 (u+1)(u+2)(2u+1)^2 \geq 0

 

 

Ta nierówność nijak nie pasuje do zadania, więc cała reszta jest do niczego :(


  • 1


#130900 Odciniki w okręgu

Napisane przez bb314 w 22.10.2019 - 10:07

Przyjmę, że środek okręgu jest środkiem układu współrzędnych. (Twoje "x" i "y" nazwę "X" i "Y")

 

równanie okręgu 

x^2+y^2=62,5^2

 

współrzędne lewego wierzchołka trójkąta

A=(42.5,\ 62.5)

 

równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną tego trójkąta

y=x\cd tg50^\circ +62,5-42,5\cd tg50^\circ

 

rozwiązując układ tych dwóch równań uzyskujemy współrzędne punktu przecięcia prostej z okręgiem

\bl P=(34.03951,\ 52.41719)

 

\re Y=|PA|\approx13,16218        X=Y\cd\sin50^\circ\gr\ \Rightarrow\ \re X\approx10,08281

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

  • 2


#130896 Oblicz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka C

Napisane przez janusz w 16.10.2019 - 20:09

W trójkącie równoramiennym wysokość poprowadzona  z wierzchołka  C w trójkącie   jest symetralną jego podstawy  AB.  

 

Współrzędne  punktu  D = (x_{D},\ \ y_{D}) = \left( \frac{1}{2}(x_{A}+x_{B}), \ \ \frac{1}{2}(y_{A}+y_{B}) \right)

 

 D = \left( \frac{4 - 2}{2}, \ \ \frac{-1 +3}{2} \right) = ( 1, \ \ 1).

 

Długość wysokości 

 

 |CD| = \sqrt{x_{C} - x_{D})^2 + (y_{C}-Y_{D})^2 } .

 

 |CD| = \sqrt{ (-3 -1)^2 + (-5 -1)^2} = \sqrt{ 16 +36} = \sqrt{42}.


  • 2


#130889 Różnica liczb lustrzanych

Napisane przez kerajs w 13.10.2019 - 20:39

Różnica jest podzielna przez 9 gdyż dla dowolnego naturalnego n liczba 10^n-1 jest podzielna przez 9.

 

Niestety, wbrew powyższej sugestii , tylko dla nieparzystych n  liczba 10^n+1 jest podzielna przez 11. Ergo, suma liczb lustrzanych o parzystej liczbie cyfr jest podzielna przez 11.


  • 2


#130854 Granica ciągu

Napisane przez janusz w 25.09.2019 - 14:11

Definicja granicy właściwej ciągu: 

 

 \lim_{n\to \infty} a_{n} = g \leftrightarrow \bigwedge_{ \varepsilon >0} \bigvee_{ n_{\epsilon} \in N} \bigwedge_{ n > n_{\epsilon}} |a_{n} - g | < \varepsilon  

 

Wystarczy dowieść prawdziwości ostatniego zdania.

 

Analiza zadania, w której poszukujemy liczby  n_{\varepsilon}

 

 \left | \frac{1}{2^{n} + 1} - 0 \right| < \left | \frac{1}{2^{n}} \right | < \epsilon  

 

 \frac{1}{2^{n}} < \epsilon

 

 2^{n} > \frac{1}{\varepsilon}

 

 n > \frac{\log\left( \frac{1}{\varepsilon}\right)}{\log 2}

 

 n_{\epsilon} > \frac{\log\left( \frac{1}{\varepsilon}\right)}{\log 2}.

 

Można dostrzec, że dowód został zakończony. Ze względów dydaktycznych podamy go niżej w sposób bardziej wyraźny.

 

Niech dana będzie  dowolna liczba dodatnia  \varepsilon,   dowolna liczba naturalna  n_{\varepsilon} > \frac{\log\left( \frac{1}{\varepsilon}\right)}{\log 2}   oraz dowolna liczba naturalna  n > n_{\varepsilon} . 

 

Wtedy  n > n_{\varepsilon} > \frac{\log\left( \frac{1}{\varepsilon}\right)}{\log 2}, \ \ n >\frac{\log\left( \frac{1}{\varepsilon}\right)}{\log 2}, \ \ \frac{1}{n} < \frac{log 2}{\log \left(\frac{1}{\varepsilon}\right)} , \ \ \frac{1}{n\log 2} < \frac{1}{\log\left( \frac{1}{\varepsilon}\right)}, \ \ \frac{1}{2^n}< \varepsilon, \ \ \left| \frac{1}{2^{n} \right| < \varepsilon,

 

c.d.d.o.


  • 2


#45882 Budowanie liczby...

Napisane przez anubis w 22.09.2009 - 20:55

Witam:)
Mam problem z zadaniem...

Budujemy liczbę w taki sposób, że ustawiamy kolejno kwadraty 50-ciu kolejnych liczb naturalnych 14916253649..... (1,4,9,16,25,36,49 itd.).
Jaka cyfra znajduje się na 50, 75 i 100 miejscu tej liczby???

Mam już rozwiązanie:)

- kwadraty liczb od 1 do 3 są jednocyfrowe i są 3 takie cyfry;
- kwadraty liczb od 4 do 9 są dwucyfrowe i jest 6 takich cyfr;
- kwadraty liczb od 10 do 31 są trzycyfrowe i są 22 takie cyfry;
- kwadraty liczb od 32 do 99 są czterocyfrowe.

Zatem pięćdziesiąta cyfra naszej liczby, z uwagi na:
 50=3 \cdot 1 + 6 \cdot 2 +11 \cdot 3 +2
to druga cyfra kwadratu liczby  3+6+11+1=21, więc jest to 144 czyli 4.

Siedemdziesiąta piąta cyfra naszej liczby, z uwagi na:
 75=3\cdot 1 + 6 \cdot 2 +19 \cdot 3 +3
to trzecia cyfra kwadratu liczby  3+6+19+1=29, więc jest to 841 czyli 1.

Setna piąta cyfra naszej liczby, z uwagi na:
 100=3 \cdot 1 + 6 \cdot 2 +22 \cdot 3 +4 \cdot 4 + 3
to trzecia cyfra kwadratu liczby  3+6+22+4+1=36, więc jest to 1296 czyli 9.
  • 1


#130841 Zapisz poniższe rozumowania za pomocą symboliki logicznej i udowodnij stosują...

Napisane przez sokora w 18.09.2019 - 11:18

O ile 'pop' znaczy poprawne, to:

 

1/ Jeżeli będę się uczył lub jestem geniuszem, to zdam egzamin. Jeżeli zdam egzamin, to będę szczęśliwy. Nie będę szczęśliwy. A więc nie jestem geniuszem.

 

u - będę się uczył

g - jestem geniuszem

z - zdam egzamin

s - będę szczęśliwy

 

(u \vee g)\Rightarrow z

z \Rightarrow s

\neg s

------------------------------------

\neg g

 

Dowód założeniowy wprost:

1. (u \vee g)\Rightarrow z   założenie

2. z \Rightarrow s    założenie

3. \neg s    założenie

4. \neg z    modus tollendo tollens 2,3

5. \neg (u \vee g)    modus tollendo tollens 4,1

6. \neg u\wedge \neg g    II prawo de Morgana 5

7. \neg g    OK (reguła odrywania koniunkcji) 5   

Wnioskowanie jest poprawne.

 

 

 


  • 1


#130807 Środek masy i moment bezwladnosci kuli

Napisane przez janusz w 15.08.2019 - 20:48

Masa kuli

 

 m = \int_{0}^{2\pi} \int_{-a}^{a -h}\int_{0}^{\sqrt{a^2 -z^2}}\rho r dr dz d\phi = \pi \rho \int_{-a}^{a-h}(a^2 -z^2) dz = \pi \rho \left( \frac{4}{3}a^3 -ah^2 +\frac{1}{3}h^3\right) = \frac{\pi \rho}{3}(a+h)(2a -h^2)^2.  

 

Gdy  h= 0 \ \ m = \frac{4}{3}\pi\rho a^3.

 

Gdy  h = 2a , \ \ m=0.

 

Środek masy kuli

 

 m z = \int _{0}^{2\pi} \int_{-a}^{a-h}\int_{0}^{\sqrt{a^2 -z^2}}\rho r z dr dz d\phi = \pi \rho \int_{-a}^{a-h} z(a^2 - z^2) dz = \frac{\pi \rho h^2 }{4}(2 a -h)^2,

 

 z = \frac{mz}{m} = \frac{3}{4}\frac{h^2}{a+h}.

 

 z = 0 gdy  h \rightarrow 0 i  z \rightarrow -a gdy  h \rightarrow 2a.

 

Moment bezwładności kuli względem osi Oz 

 

 I_{z} = \int_{0}^{2\pi} \int_{-a}^{a-h} \int_{0}^{\sqrt{a^2 -z^2}}\rho r^3 dr dz d\phi = \frac{1}{2}\pi \rho \int_{-a}^{a-h} (a^2 -z^2)^2 dz = \frac{1}{2}\pi \rho \left( \frac{16}{15}a^5 -\frac{4}{3}a^2 h^3 + ah^4 -\frac{1}{5} h^5 \right) = \frac{\pi \rho}{30} (2a - h)^2( 4a^3+4a^3 h +3a h^2 -3h^3 ) = \frac{1}{10}m \frac{4a^3 +4a^3 h +3a h^2 -3h^3}{a +h}.

 

Gdy  h = a, \ \ I_{z} = \frac{2}{5}m a^2.

 

Gdy  h = 0 , \ \ I_{z} = 0.


  • 1


#130653 Całka

Napisane przez Mariusz M w 22.05.2019 - 18:57

Jarek przez części można ale źle je dobrałeś

 

\int{\frac{x^2}{(1-x)^2}\mbox{d}x}=\frac{x^2}{1-x}-2\int{\frac{x}{1-x}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{x^2}{(1-x)^2}\mbox{d}x}=\frac{x^2}{1-x}+\int{\frac{2-2x-2}{1-x}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{x^2}{(1-x)^2}\mbox{d}x}=\frac{x^2}{1-x}+2\int{\mbox{d}x}+2\int{\frac{-1}{1-x}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{x^2}{(1-x)^2}\mbox{d}x}=\frac{x^2}{1-x}+2x+2\ln{\left|1-x\right|}+C\\</p>\\<p>


  • 3


#130801 Całka

Napisane przez Mariusz M w 29.07.2019 - 22:47


Mariusz nie widzę błędu

 

Podział na części który zaproponowałeś nie doprowadzi do poprawnego wyniku

Przy twoim podziale na części stopień wielomianu w mianowniku wzrośnie zamiast zmaleć

 

Poprawny podział na części to

 

u=x^2 \qquad \mbox{d}v=\frac{1}{\left(1-x\right)^2}\mbox{d}v\\ \mbox{d}u=2x\mbox{d}x \qquad v=\frac{1}{1-x}


  • 1


#130800 Udowodnij obliczalność całki

Napisane przez janusz w 26.07.2019 - 21:27

 f(x) = \arcsin(tgx) = \int_{0}^{tgx} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt

 

 f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - tg^2 x}}\frac{1}{\cos^2x} = \frac{1}{cos(x)\sqrt{cos(2x)}}

 

 \int f(x) dx = \int \int_{0}^{x} \frac{1}{\cos t \sqrt{cos(2t)}} dt = \int \int_{0}^{x}\frac{1}{\cos(t)\sqrt{2\cos^2 t -1}}dt =...


  • 2