Javascript Disabled Detected

You currently have javascript disabled. Several functions may not work. Please re-enable javascript to access full functionality.

Przegląd

Jarekzulus

Rejestracja: 16 Oct 2013
Offline Ostatnio: wczoraj, 08:17

Moja zawartość

Statystyki

Grupa: +Mods
Redaktor
Całość postów: 4060
Odwiedzin: 41895
Tytuł: Wielki Analityk
Wiek: Wiek nie został ustalony
Urodziny: Październik 19
Płeć
Mężczyzna

3341 Profesor

Narzędzia użytkownika

Znajomi

Ostatnio byli

Zojka
25 Aug 2021 - 13:28
kartm
30 Jun 2021 - 17:50
Zara Asker
29 Jun 2021 - 07:35
Ziemiaczek2002
13 Jun 2021 - 19:23
Xero
11 May 2021 - 12:39

#131878 Co jest większe 2 (pi, e)

Napisane przez Jarekzulus w 10.09.2021 - 10:04

Co jest większe

$e^{\pi}$ czy $\pi^e$

Zauważmy, że jeżeli mamy te same wykładniki to większa podstawa (oczywiście większa od 1) wskazuje kierunek nierówności

$2^{10}<3^{10}$ ponieważ $2<3$

podobnie jak $e^{e\cdot \pi}<\pi^{e\cdot \pi}$ na tej samej podstawie

Jeżeli wyjściowe liczby zapiszemy nieco inaczej tj.

$$e^{\frac{1}{e}}$^{e\cdot \pi}$ $$\pi^{\frac{1}{\pi}}$^{e\cdot \pi}$ więc musimy dowiedzieć się która "podstawa" jest większa $e^{\frac{1}{e}}$ czy $\pi^{\frac{1}{\pi}}$

Zbadajmy więc przebieg funkcji

$y=x^{\frac{1}{x}}$ łatwiej jeśli przejdziemy na logarytmy bo ciężko się liczy w tej postaci

$ln(y)=ln$x^{\frac{1}{x}}$$

$ln(y)=\frac{1}{x}\cdot ln(x)$

$\frac{d(ln(y))}{dx}=\frac{d(\frac{1}{x}\cdot ln(x))}{dx}$

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x}+ln(x)\cdot (-\frac{1}{x^2})$

$\frac{dy}{dx}=y\cdot $\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x}+ln(x)\cdot (-\frac{1}{x^2})$=x^{\frac{1}{x}}\cdot $\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x}+ln(x)\cdot (-\frac{1}{x^2})$$

$\frac{dy}{dx}=x^{\frac{1}{x}}\cdot \frac{1}{x^2}(1-ln(x))$

z założenia $x>0$ zatem dwa pierwsze czynniki są większe od zera

Pochodna równa zero gdy $1-ln(x)=0$ czyli gdy $x=e$ i tam też maksimum lokalne

zatem

$e^{\frac{1}{e}}$ jest większe niż $\pi^{\frac{1}{\pi}}$

$$e^{\frac{1}{e}}$^{e\cdot \pi} > $\pi^{\frac{1}{\pi}}$^{e\cdot \pi}$

$e^{\pi}>\pi^e$

$e^{\pi}=23.140692632779269005729086367948547380266106242600211993445046409$

$\pi^e=22.459157718361045473427152204543735027589315133996692249203002554$

#131871 x^y=y^x, x nie równe y

Napisane przez Jarekzulus w 27.08.2021 - 09:35

zobacz

http://matma4u.pl/to...-x-nie-równe-y/

$x^y=y^x$

Od czegoś trzeba zacząć więc może podstawmy coś :dancer2:

$y=bx$ dla odmiany b

$x^{xb}=(bx)^x$

$(x^b)^x=(bx)^x$

$$(x^b)^x$^{\frac{1}{x}}=$(bx)^x$^{\frac{1}{x}}$

$x^b=bx$ więc $\frac{x^b}{x}=b$

i dalej $x^{b-1}=b$

zatem podnosząc obustronnie do potęgi $\frac{1}{b-1}$ mamy

$$x^{b-1}$^{\frac{1}{b-1}}=b^{\frac{1}{b-1}}$

$x=b^{\frac{1}{b-1}}$

a skoro $y=bx$ to

$y=bx=b\cdot b^{\frac{1}{b-1}}=b^{1+\frac{1}{b-1}}=b^{\frac{b}{b-1}}$

$\{x=b^{\frac{1}{b-1}}\\ y=b^{\frac{b}{b-1}}$

aby nie było za trywialnie ani za trudno sprawdźmy dla $b=4$

$x=b^{\frac{1}{b-1}}=4^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{4}$

$y=b^{\frac{b}{b-1}}=4^{\frac{4}{3}}=4\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{256}$

$x^y= (\sqrt[3]{4})^{\sqrt[3]{256}}$

$y^x=(\sqrt[3]{256})^{\sqrt[3]{4}}$ proszę się pobawić w przekształcanie

#131866 Co jest większe 1 (piewiastek, logarytm)

Napisane przez Jarekzulus w 23.08.2021 - 15:06

$\sqrt[3]{x}$ czy $ln(x)$

Najprościej licząc granicę można to obliczyć

$\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt[3]{x}}{ln(x)}=[H]=\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to \infty}\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}}=\infty >1$

a zatem w granicy licznik jest większy. Jak widać na grafice można się przejechać :)Tj. jeśli mamy te same jednostki na obu osiach trudno zauważyć zmianę, że najpierw jest jedna nad a później pod

policzmy zatem dla jakiego x te funkcje są równe

$\sqrt[3]{x}=ln(x)$

$x^{\frac{1}{3}}=ln(x)$ dzielę przez $x^{\frac{1}{3}}$

$1=ln(x)\cdot x^{-\frac{1}{3}}$

$\re{e^{ln(x)}=x}$

$1=ln(x)\cdot e^{ln$x^{-\frac{1}{3}}$}$

$1=ln(x)\cdot e^{-\frac{1}{3}\cdot ln(x)}$ mnożę przez $-\frac{1}{3}$

$-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}\cdot ln(x)\cdot e^{-\frac{1}{3}\cdot ln(x)}$

$W$-\frac{1}{3}$=W$-\frac{1}{3}\cdot ln(x)\cdot e^{-\frac{1}{3}\cdot ln(x)}$$

$W$-\frac{1}{3}$=-\frac{1}{3}\cdot ln(x)$

$-3 W$-\frac{1}{3}$=ln(x)$

$e^{-3 W$-\frac{1}{3}$}=x$

Czyli (z Wolfram) $e^{-3*productLog(0,-1/3)} ...$

6.4056720789810570275681248283705578137524883328371483558766476821

93.354460835003657850683415262803653990614091443758778053203884276

#131865 Potęgi i

Napisane przez Jarekzulus w 22.08.2021 - 02:05

$\\i^0=1\\\\i^1=i\\\\i^2=-1\\\\i^3=-i\\\\i^4=1\\\\i^5=i \\ itd.\\\\$

zatem czy możliwe jest by $i^x=3$ ????

$i^x=3$ chcąc się dobrać do x musimy zlogarytmować obustronnie

$log_i(i^x)=log_i(3)$

$x=log_i(3)$ co kończy zadanie :dancer2:

No może policzmy dokładniej podstawa logarytmu "oryginalna" zatem zmieńmy podstawy

$x=log_i(3)=\frac{ln(3)}{ln(i)}$

ile to zatem $ln(i)$ pokazałem jak takie "cudeńko" policzyć tu: http://matma4u.pl/to...j-czy-istnieje/

$i=e^{i\cdot \frac{\pi}{2}+2 i\cdot n\cdot \pi}$

$x=log_i(3)=\frac{ln(3)}{ln(i)}=\frac{ln(3)}{ln(e^{i\cdot \frac{\pi}{2}+2 i\cdot n\cdot \pi})}=\frac{ln(3)}{ln(e^{i\cdot (\frac{\pi}{2}+2\cdot n\cdot \pi)})}=\frac{ln(3)}{i\cdot (\frac{\pi}{2}+2\cdot n\cdot \pi)}=\frac{-iln(3)}{\frac{\pi}{2}+2\cdot n\cdot \pi}$

i ogólnie

$i^x=a$ to $a=-\frac{2 i\cdot ln(a)}{\pi+4\cdot n\cdot \pi}$

oczywiście n jest całkowite czyli mamy wiele rozwiązań

#131859 Uporządowanie licznika w ułamku

Napisane przez Jarekzulus w 19.07.2021 - 21:30

To raczej kwestia umowy ale tak - standardowo najpierw całkowite, później niewymierne

#131852 x do x do x do x... (x^x^x^x....) =2

Napisane przez Jarekzulus w 01.07.2021 - 01:04

Niech $x^{x^{x^x^{...}}}=y$

$x^{(x^{x^x^{...}})}=y$ czyli $x^y=y$ (1)

z The Convergence of The Fixed Point Method - patrz http://mathonline.wi...ed-point-method (ostatnia linijka)

$|\frac{d(f(x^y)}{dy}|<1$

$|x^y\cdot ln x|<1$

ale $x^y=y$

|y ln x|<1

|ln x^y|<1

ale $x^y=y$

$|ln y|<1$

$-1<ln y< 1$

$e^{-1}<y<e$

Mamy oszacowanie wartości

$x^y=y$

$(x^y)^{\frac{1}{y}}=y^{\frac{1}{y}}$

$x=y^{\frac{1}{y}}$

korzystając z powyższego oszacowania y skoro $e^{-1}<y<e$ to

$(e^{-1})^{\frac{1}{e^{-1}}}<x<e^{\frac{1}{e}}$

$(e^{-1})^{\frac{1}{e^{-1}}}=(e^{-1})^{e}=e^{-e}$

$e^{-e}<x<e^{\frac{1}{e}}$

Patrz:

https://en.wikipedia...nfinite_heights

https://pl.wikipedia.org/wiki/Tetracja

https://www.maa.org/.../Knoebelchv.pdf

#131851 x do x do x do x... (x^x^x^x....) =2

Napisane przez Jarekzulus w 30.06.2021 - 01:59

$x^{x^{x^x^{...}}}=a$ to $x=\sqrt[a]{a}$ GDZIE BŁĄD?

Powyżej pokazałem, że dla a=2 mamy rozwiązanie $x=\sqrt{2}$

zauważmy jednak, że dla a=4 mamy

$x^{x^{x^x^{...}}}=4$

$x^{(x^{x^x^{...}})}=4$

$x^4=4$

$x=\sqrt[4]{4}$

$x=\sqrt{2}$

czyli

$\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}^{...}}}=2$ ale także $\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}^{...}}}=4$ Ewidentnie coś nie gra

Błąd leży u podstaw tj. określeniu dla jakich x takie wyrażenie ma rozwiązanie

Niebawem więcej

#131848 x^x=2

Napisane przez Jarekzulus w 18.06.2021 - 12:40

https://en.wikipedia...bert_W_function

https://pl.wikipedia...kcja_W_Lamberta

$x^x=2$

Podnosimy obustronnie do potegi $\frac{1}{x}$

$(x^x)^{\frac{1}{x}}=2^{\frac{1}{x}}$

$x=2^{\frac{1}{x}}=$e^{ln(2)}$^{\frac{1}{x}$

$x=e^{\frac{ln(2)}{x}}$ obustronnie mnożymy przez $\frac{ln(2)}{x}$

$x\cdot \frac{ln(2)}{x}=\frac{ln(2)}{x}\cdot e^{\frac{ln(2)}{x}}$

$ln(2)=\frac{ln(2)}{x}\cdot e^{\frac{ln(2)}{x}}$ obkładam funkcją W Lamberta

$W(ln(2))=W$\frac{ln(2)}{x}\cdot e^{\frac{ln(2)}{x}}$$

$W(ln(2))=\frac{ln(2)}{x}$

więc

$x=\frac{ln(2)}{W(ln(2))}$

a ponieważ Jeżeli $W(x)\cdot e^{W(x)}=x$ to $e^{W(x)}=\frac{x}{W(x)}$

więc

$x=\frac{ln(2)}{W(ln(2))}=e^{W(ln(2))}$

$x=\frac{ln(2)}{W(ln(2))}\approx 1,5596104694623693499703887687650029932848835118430914247195945694$

$1,559610469462369^{1,559610469462369}=1,99999999999\approx 2$ :dancer2:

#131838 Test zgodności :(

Napisane przez Jarekzulus w 17.06.2021 - 12:36

Badanie czy rozkład jest normalny dla 9 elementowej próby raczej sensu nie ma. Brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

#131837 x^x=y^y, x nie równe y

Napisane przez Jarekzulus w 15.06.2021 - 17:27

$x^x=y^y$

$x^x=y^y$ logarytmujemy

$ln(x^x)=ln(y^y)$

$x\cdot ln (x)=y\cdot ln(y)$ możemy inaczej zapisać y: jako: $y=e^{ln(y)}$ więc

$x\cdot ln (x)=ln(y)\cdot e^{ln(y)}$ obkładamy funkcją W lamberta

$W(x\cdot ln (x))=W$ln(y)\cdot e^{ln(y)}$$

$W(x\cdot ln (x))=ln(y)$ obkładamy funkcją wykładniczą

$e^{W(x\cdot ln (x))}=y$

np.

$x=0,2$

$x^x=(0,2)^{0,2}\approx 0,7247796636776955314706140008815740907141798346041898684537$

$y= e^{(0,2*product log(0,2))}\approx 0.5665973048267657250506515338021951184436301507572241274639$ obliczenia wolfram

$y^y=0.56659730^{0.56659730}\approx 0,7247796636776955314706140008815740907141798346041898684537$

#131836 x^x=y^y, x nie równe y

Napisane przez Jarekzulus w 15.06.2021 - 17:01

$x^x=y^y$

założenia $x>0$ , $y>0$ , $x\neq y$

Niech $x=ay$

zatem

$(ay)^{ay}=y^y$ obustronnie do potęgi $\frac{1}{y}$

$(ay)^a=y$

$a^a\cdot y^a=y$

$a^a=y^{1-a}$ obustronnie do potęgi $\frac{1}{1-a}$

$(a^a)^{\frac{1}{1-a}}=y$

$y=a^{\frac{a}{1-a}}$ więc $x=ay=a\cdot a^{\frac{a}{1-a}}=a^{\frac{1-a+a}{1-a}}=a^{\frac{1}{1-a}}$

$\{x=a^{\frac{1}{1-a}}\\ y=a^{\frac{a}{1-a}}$

przykład

a=3

$x=3^{\frac{1}{1-3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$y=3^{\frac{3}{1-3}}=\frac{1}{3\sqrt{3}}$

$x^x=(\frac{1}{\sqrt{3}})^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\approx 0,7282273028722097195045434280334788674580752002720560845237201224$

$y^y=(\frac{1}{3\sqrt{3}})^{\frac{1}{3\sqrt{3}}}\approx 0,7282273028722097195045434280334788674580752002720560845237201224$

#131830 Zmienna losowa o rozkładzie normalnym - błąd pomiaru

Napisane przez Jarekzulus w 10.06.2021 - 09:02

$X\sim N(0,100)$

a potrzebujesz policzyć $P(X>150)+P(X<-150)$ . z uwagi że jest to rozkład symetryczny a średnia wynosi zero wystarczy policzyć $2\cdot P(X>150)$

$P(X>150)=1-\Phi $\frac{150-0}{100}$=1-\Phi (1,5)=1-0,93319=0,06681$

$2\cdot 0,06681=0,13362$

dopieść zapis

dla ujemnej masz $\Phi(-a)=1-\Phi(a)$

#131828 x^x^x=0.5 do sqrt(2)

Napisane przez Jarekzulus w 08.06.2021 - 14:15

$x^{x^x}=$\frac{1}{2}$^{\sqrt{2}}$

$x^{x^x}=$\frac{1}{2}$^{\sqrt{2}}=$\frac{1}{2}$^{2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}=$\frac{1}{4}$^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=$\frac{1}{2}$^{\frac{1}{2}}$

$x^{x^x}=$\frac{1}{4}$^{\frac{1}{\sqrt{2}}}=$\frac{1}{4}$^{$\frac{1}{2}$^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{1}{2}=$\frac{1}{2}$^1=$\frac{1}{2}$^{2\cdot \frac{1}{2}}=$\frac{1}{4}$^{\frac{1}{2}}$

$x^{x^x}=$\frac{1}{4}$^{$\frac{1}{2}$^{\frac{1}{2}}}=$\frac{1}{4}$^{$\(\frac{1}{4}$^{\frac{1}{2}}\)^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{4}^{$\frac{1}{4}$^{\frac{1}{4}}}$ stąd $x=\frac{1}{4}$

#131827 x^x=1 przez piewiastek z 2

Napisane przez Jarekzulus w 08.06.2021 - 13:47

$x^x=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$x^x=\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}=2^{-\frac{1}{2}}=$(\frac{1}{2})^{-1}$^{-\frac{1}{2}}=$\frac{1}{2}$^{\frac{1}{2}}$ więc $x=\frac{1}{2}$

ale teraz

$x^x=$\frac{1}{2}$^{\frac{1}{2}}=$\frac{1}{2}$^{2\cdot \frac{1}{4}}=$\(\frac{1}{2}$^2\)^{\frac{1}{4}}=$\frac{1}{4}$^{\frac{1}{4}}$ więc $x=\frac{1}{4}$

#131826 Jeden do potęgi x równe a (1^x=a, [TeX]a\neq 1[/TeX])

Napisane przez Jarekzulus w 07.06.2021 - 22:46

Zapewne słyszeliście, że jeden do każdej potęgi daje jeden... do każdej rzeczywistej :whistle: ale w zbiorze liczb zespolonych dzieją się rzeczy których nie śniło się filozofom :dancer: