Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

xawery

Rejestracja: 30 Dec 2012
Offline Ostatnio: Jan 27 2015 21:53
-----

Moje tematy

Równe p-stwo wypadnięcia orła dla każdego z i=1,2,..,n-1 rzutów (spośród n rzutów) - je...

24.11.2014 - 00:35

Rzucamy monetą do momentu kiedy wypadnie drugi orzeł - powiedzmy wypada w n-tym rzucie. Pokazać, że orzeł po raz pierwszy wypadł w i-tym rzucie z równym p-stwem. (i=1,2,...,n-1)

 

X - zmienna losowa, która przypisuje numer doświadczenia, w którym po raz pierwszy odnieśliśmy sukces (czyli dostaliśmy orła).

Wykonujemy n-1 takich prób. Te próby nazywają się próbami Bernoulliego, zaś opisująca je zmienna jest zmienną o rozkładzie geometrycznym.

 

Skoro tak, to znam własność:

P(X=n|X>m)=P(X=n-m)

dla n>m\ge 0

Skoro tak, to jest jasne, że mogę tak podobierać m i n żeby dostać żądaną równość. 

To jest dobrze ? Czy mogę powiedzieć od tak, że ta zmienna ma rozkład geometryczny ?


Prawdopodobieństwo, że Małgosia wyrzuci więcej razy orła

05.10.2014 - 15:40

Cześć!

 

Mam takie zadanie, które próbuję podjąć, ale nie za bardzo wychodzi. Jaś i Małgosia rzucają monetą. Jaś n razy, zaś Małgosia n+1 razy.

Jakie jest p-stwo, że Małgosia wyrzuci więcej orłów niż Jaś.

 

I oczywiście prawdopodobieństwo klasyczne. Nie bardzo mam pomysł, więc proszę o wskazówkę.

 


Prognoza pogody

02.10.2014 - 06:46

Każdego dnia deszcz pada z prawdopodobieństwem \frac12, w przeciwnym przypadku mamy słoneczną pogodę.
Prognoza pogody myli się z p-stwem \frac13 (jeśli progonoza mówi, że będzie słonecznie, to z p-stwem \frac23 tak będzie.
 
Profesor zawsze zabiera ze sobą parasol, jeśli prognoza zapowiada pogodę deszczową. Jeśli zapowiadana jest pogoda słoneczna, profesor
zabiera parasol z prawdopodobieństwem \frac13
 
1. Oblicz p-stwo tego, że prognoza zapowie deszcz.
 
Moje podejście jest takie: Są dwie możliwe zapowiedzi, albo deszcz, albo słońce.
Stąd też \Omega = \{s,d\}
Ponieważ obydwa zdarzenia mają równą szansę na wystąpienie, to mogę zastosować p-stwo klasyczne.
Czyli odpowiedź to \frac12
Nie wiem czy dobrze, ale co mogłoby być źle ?
 
2. Zakładając, że pada deszcz, oblicz prawdopodobieństwo, że profesor nie ma parasola.
Zastanowię się nad przestrzenią zdarzeń - bo ją muszę znaleźć. I nie za bardzo widzę jak to dobrać, a bo popatrzcie:
To zależy od tego co powiedzieli w prognozie. Jeśli zapowiadali deszcz, to wtedy profesor zabrał ze sobą parasol. Jeśli jednak zapowiadali słońce to profesor z prawdopodobieństwem \frac13 wziął parasol.
 
Tzn, mamy \frac23 na to, że prognoza była prawidłowa i profesor ma parasol.
Jeśli prognoza się myliła, to na \frac13 p-stwa. Wtedy profesor na \frac13 zabrał parasol.
Z moich dedukcji wynika, że \frac13\cdot\frac13+\frac23\cdot1
Ale czy to jest dobrze?  Jeśli nie to co źle rozumiem ?

Interpretacja kombinatoryczna

01.09.2014 - 18:07

Witam,

 

Chcę uzasadnić taką równość.

 

\sum_{i=1}^{n}( {n\choose i}i^2)=2^{n-2}n(n+1)

 

Ona jest prawdziwa, ale nie rozumiem dlaczego:

Spójrzcie po lewej stronie wybieramy najpierw zespół i-osobowy, a potem wybieramy dwóch liderów - lub jednego lidera. Mamy więc wybory każdego możliwego zespołu, co wiecej z dwoma lub jednym kapitanem. Jeśli chodzi o prawą stronę powinno być nieco inaczej, a mianowicie:

n^22^{n-2}

Wybieramy kapitana - jednego bądź dwóch (jeśli wybiorę tego samego, to mam po prostu jednego), a potem dodaję do niego zespół.

 

O co chodzi ?

 


Rozwiązać rekurencję

09.08.2014 - 12:57

Witam,
f_n = \frac{2n-1}{n}f_{n-1} - \frac{n-1}{n} f_{n-2} + 1, \quad f_0 = 0, f_1 = 1\ .
Jak zabrać się do rozwiązania tej rekurencji ?
Chciałbym funkcjami tworzącymi, ale nie bardzo mi to wychodzi.
Tzn zaczynam tak:
F(x) = \sum_{n=0}^{\infty}f_nx^n
Wtedy:
F(x) = f_0 + f_1x + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2n-1}{n}f_{n-1}x^n - \sum_{n=2}^{\infty}\frac{n-1}{n} f_{n-2}x^n + \sum_{n=2}^{\infty}1x^n


Jak to rozwiązać ? Sami widzicie, że jest kłopot  z tymi ułamkowymi współczynnikami.