Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

Kinia7

Rejestracja: 16 Jan 2012
Offline Ostatnio: Feb 26 2023 20:17
-----

#132365 Równanie różniczkowe drugiego stopnia

Napisane przez Mariusz M w 26.02.2023 - 09:59

1) obniżanie rzędu równania liniowego

 

</p>\\<p>x^2\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)\cdot y''\left(x\right) + x\cdot y'\left(x\right) -y\left(x\right) = 0 \qquad y\left(1\right) = 2 \qquad y'\left(1\right) = 1<br>\\y_{1}\left(x\right) = x\\</p>\\<p>x^2\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)\cdot 0 + x\cdot 1 -x = 0\\</p>\\<p>0 + x - x = 0\\</p>\\<p>0 = 0\\</p>\\<p>y\left(x\right) = x\int{u\left(x\right)\mbox{d}x}\\</p>\\<p>y'\left(x\right) = \int{u\left(x\right)\mbox{d}x} + xu\left(x\right)\\</p>\\<p>y''\left(x\right) = u\left(x\right) + u\left(x\right) + xu'\left(x\right)\\</p>\\<p>y''\left(x\right) = 2u\left(x\right) + xu'\left(x\right)\\</p>\\<p>x^2\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)\cdot\left(2u\left(x\right) + xu'\left(x\right)\right)+x\left(\int{u\left(x\right)\mbox{d}x} + xu\left(x\right)\right) - x\int{u\left(x\right)\mbox{d}x} = 0\\</p>\\<p>x^3\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)u'\left(x\right)+2x^2\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)u\left(x\right)+x^2u\left(x\right)+x\int{u\left(x\right)\mbox{d}x} - x\int{u\left(x\right)\mbox{d}x} = 0\\</p>\\<p>x^3\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)u'\left(x\right)+x^2\left(3-2\ln{\left(x\right)}\right)u\left(x\right) = 0\\</p>\\<p>x\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)u'\left(x\right)+\left(3-2\ln{\left(x\right)}\right)u\left(x\right) = 0\\</p>\\<p>x\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)u'\left(x\right) = \left(2\ln{\left(x\right)} - 3\right)u\left(x\right) \\</p>\\<p>\frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)} = \frac{2\ln{\left(x\right)} - 3}{x\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)}\\</p>\\<p>t = 1-\ln{\left(x\right)}\\</p>\\<p>\mbox{d}t = -\frac{\mbox{d}x}{x}\\</p>\\<p>-2t-1 = 2\ln{\left(x\right)}-3\\</p>\\<p>\int{\frac{2\ln{\left(x\right)} - 3}{x\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)}\mbox{d}x}= \int{\frac{2t+1}{t}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{2\ln{\left(x\right)} - 3}{x\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)}\mbox{d}x} = 2t + \ln{\left(t\right)}\\</p>\\<p>\frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)} = - 2\ln{\left(x\right)} + \ln{\left(1-\ln{\left(x\right)}\right)} + C\\</p>\\<p>\ln{\left(u\left(x\right)\right)} = \ln{\left(\frac{1-\ln{\left(x\right)}}{x^2}\right)} +C\\</p>\\<p>u\left(x\right) = \frac{1-\ln{\left(x\right)}}{x^2}\\</p>\\<p>y = x\left(C_{1}\int{\frac{1-\ln{\left(x\right)}}{x^2}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>y = C_{1}x\left(-\frac{1}{x}+\frac{\ln{\left(x\right)}}{x} - \int{\frac{1}{x^2}\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>y = C_{1}x\left(-\frac{1}{x}+\frac{\ln{\left(x\right)}}{x} + \frac{1}{x} + C_{2}\right)\\</p>\\<p>y = C_{1}x\left(\frac{\ln{\left(x\right)}}{x} + C_{2}\right)\\</p>\\<p>y = C_{1}\ln{\left(x\right)} + C_{2}x\\</p>\\<p>y' = \frac{C_{1}}{x}+C_{2}\\</p>\\<p>C_{2} = 2\\</p>\\<p>C_{1}+C_{2}=1\\</p>\\<p>C_{1} = -1\\</p>\\<p>y = 2x - \ln{\left(x\right)}</p>\\<p>

 

2) równanie Eulera - zamiana zmiennej niezależnej sprowadzi równanie do równania o stałych współczynnikach

 

 

</p>\\<p>x^2y''-2xy'+2y = 0 \qquad y\left(1\right) = 3 \qquad y'\left(1\right) = 1</p>\\<p>x=e^{t}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t} = e^{t}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\cdot\frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}e^{-t}\\</p>\\<p>x\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = e^{t}\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}e^{-t}\\</p>\\<p>x\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}\right)\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\left(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\cdot\frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}x}\right)\frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} = \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\left(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\cdot e^{-t}\right)e^{-t}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} = \left(\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2}\cdot e^{-t} - \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t} \cdot e^{-t}\right)e^{-t}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} = \left(\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2} -\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t} \right)e^{-2t}\\</p>\\<p>x^2\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} = e^{2t}\left(\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2} - \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\right)e^{-2t}\\</p>\\<p>x^2\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}x^2} =\left(\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2} -\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t} \right)\\</p>\\<p>\left(\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2} - \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}\right) - 2\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}+2y = 0\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}^2y}{\mbox{d}t^2} - 3 \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}t}+ 2y = 0\\</p>\\<p></p>\\<p>y = e^{\lambda t}\\</p>\\<p>\lambda^2e^{\lambda t} - 3\lambda e^{\lambda t} + 2e^{\lambda t} = 0\\</p>\\<p>\left(\lambda^2 - 3\lambda + 2\right)e^{\lambda t} = 0\\</p>\\<p>\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0\\</p>\\<p>\left(\lambda - 1\right)\left(\lambda - 2\right) = 0\\</p>\\<p>\lambda_{1} = 1\\</p>\\<p>\lambda_{2} = 2\\</p>\\<p>y\left(t\right) = C_{1}e^{t}+C_{2}e^{2t}\\</p>\\<p>y\left(x\right) = C_{1}x + C_{2}x^2\\</p>\\<p>y'\left(x\right) = C_{1} + 2C_{2}x\\</p>\\<p>\begin{cases}</p>\\<p>C_{1}+C_{2} = 3\\</p>\\<p>C_{1}+2C_{2} = 1\\</p>\\<p>\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}</p>\\<p>C_{1}+C_{2} = 3\\</p>\\<p>C_{2} = -2\\</p>\\<p>\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}</p>\\<p>C_{1} = 5\\</p>\\<p>C_{2} = -2\\</p>\\<p>\end{cases}\\</p>\\<p></p>\\<p>y\left(x\right) = 5x -2x^2\\</p>\\<p></p>\\<p>


  • 2


#111455 Sprężyny połączone szeregowo lub równolegle.

Napisane przez bb314 w 26.11.2013 - 23:02

Jeśli sprężyny połączymy szeregowo, to żeby rozciągnąć je o odległość d, wystarczy dwa razy mniejsza siła, gdyż każdą ze sprężyn trzeba rozciągnąć o 1/2d,

czyli \bl k_{nowe}=\frac12k_{stare}

 

przy połączeniu równoległym nasza siła rozkłada się po połowie na każdą sprężynę, więc rozciągnie je o połowę d,

czyli \bl k_{nowe}=2k_{stare}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 3


#111453 Ciało na sprężynie.

Napisane przez bb314 w 26.11.2013 - 22:35

Siła jest proporcjonalna do wychylenia, więc

F=k\cdot d\gr\ \Rightarrow\ k=\frac{F}{d}=\frac{g\cdot0,3kg}{0,02m}=\frac{10\frac{m}{s^2}\cdot0,3kg}{0,02m}\gr\ \Rightarrow\ \bl k=150\,\frac{kg}{s^2}

 

sprężyna o takim współczynniku sprężystości wykonuje ruch harmoniczny z masą 2kg, więc

\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{150}{2}}=sqrt{75}=sqrt{25\cdot3}\gr\ \Rightarrow\ \bl\omega=5sqrt3\,\frac{1}{s}

 

okres drgań \ \ T=\frac{2\p}{\omega}=\frac{2\p}{5sqrt3}\gr\ \Rightarrow\ \re T=\frac{2sqrt3\p}{15}\,[s]

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:


  • 2


#111452 Paczka na wadze sprężynowej.

Napisane przez bb314 w 26.11.2013 - 21:51

f=2\,[Hz]\gr\ \Rightarrow\ \omega=2\p f=2\p\cdot2\gr\ \Rightarrow\ \bl\omega=4\p\,\[\frac1s\]

 

sprężystość sprężyny daje siłę proporcjonalną do wychylania, więc (przyjmę g=10\,\[\frac{m}{s^2}\])

F=kd\gr\ \Rightarrow\ k=\frac{F}{d}=\frac{32kG}{0,2m}=\frac{32\cdot10\frac{kgm}{s^2}}{0,2m}\gr\ \Rightarrow\ \bl k=1600\frac{kg}{s^2}

 

masa paczki \ \ m=\frac{k}{\omega^2}=\frac{1600}{(4\p)^2}\gr\ \Rightarrow\ \bl m=\frac{100}{\p^2}kg

 

ciężar paczki \ \ P=gm=10\frac{m}{s^2}\cdot\frac{100kg}{\p^2}=\frac{100}{\p^2}\cdot10\frac{kgm}{s^2}=\frac{100}{\p^2}kG\gr\ \Rightarrow\ \re P\approx10,13\,[kG\]

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:


  • 2


#111451 Sprężyna.

Napisane przez bb314 w 26.11.2013 - 21:15

Energia układu drgającego harmonicznie \ \ \ \bl\fbox{\fbox{\ E=\frac{m\omega^2A^2}{2}\ }}\ \ \ \ \ \ \ \ \bl\fbox{\fbox{\ v_{max}=\omega A\ }}

 

\omega=\frac{v_{max}}{A}=\frac{1}{0,1}\gr\ \Rightarrow\ \bl \omega=10\,\[\frac1s\]

 

częstotliwość drgań \ \ \ \ f=\frac{\omega}{2\p}=\frac{10}{2\p}\gr\ \Rightarrow\ \re f=\frac{5}{\p}\,[Hz]

 

masa \ \ \ m=\frac{2E}{\omega^2A^2}=\frac{2\cdot1}{10^2\cdot0,1^2}\gr\ \Rightarrow\ \re m=2\,[kg]

 

współczynnik sprężystości \ \ \ k=m\omega^2=2\cdot10^2\gr\ \Rightarrow\ \re k=200\,\[\frac{kg}{s^2}\]

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 2


#111450 Ruch harmoniczny.

Napisane przez bb314 w 26.11.2013 - 20:51

Energia potencjalna w ruchu harmonicznym \ \ \bl\fbox{\fbox{\ E_p=\frac{kA^2}{2}\cos^2(\omega t+\varphi)\ }}

 

średnia energia potencjalna

E_{psr}=\int_0^{T}\frac{kA^2}{2}\cos^2(\omega t+\varphi)dt=\frac{kA^2}{2}\cdot\int_0^{T}\cos^2(\omega t+\varphi)dt\ \ \ \(^{*1}\)

\int_0^{T}\cos^2(\omega t+\varphi)dt=\|\frac{\sin(\omega t+\varphi)\cos(\omega t+\varphi)}{2\omega}+\frac12t\|_0^T=\ \ \ \ \ \bl\fbox{\fbox{\ \omega T=2\p\ }}

 

=\frac{\sin(\omega T+\varphi)\cos(\omega T+\varphi)}{2\omega}+\frac12T-\(\frac{\sin(\omega\cdot0+\varphi)\cos(\omega\cdot0+\varphi)}{2\omega}+\frac12\cdot0\)=\frac{\sin(\varphi)\cos(\varphi)}{2\omega}+\frac12T-\frac{\sin(\varphi)\cos(\varphi)}{2\omega}=\frac12T

 

wracamy do \ \(^{*1}\)\ \ \ E_{psr}=\frac{kA^2}{2}\cdot\frac12T\gr\ \Rightarrow\ \bl E_{psr}=\frac{kA^2T}{4}

 

energia kinetyczna w ruchu harmonicznym \ \ \bl\fbox{\fbox{\ E_k=\frac{m\omega^2A^2}{2}\sin^2(\omega t+\varphi)\ }}

 

średnia energia kinetyczna

E_{ksr}=\int_0^T\frac{m\omega^2A^2}{2}\sin^2(\omega t+\varphi)dt=\frac{m\omega^2A^2}{2}\cdot\int_0^T\sin^2(\omega t+\varphi)dt\ \ \ \(^{*2}\)

\int_0^T\sin^2(\omega t+\varphi)dt=\|-\frac{\sin(\omega t+\varphi)\cos(\omega t+\varphi)}{2\omega}+\frac12t\|_0^T=

 

=-\frac{\sin(\omega T+\varphi)\cos(\omega T+\varphi)}{2\omega}+\frac12T-\(-\frac{\sin(\omega\cdot0+\varphi)\cos(\omega\cdot0+\varphi)}{2\omega}+\frac12\cdot0\)=-\frac{\sin(\varphi)\cos(\varphi)}{2\omega}+\frac12T+\frac{\sin(\varphi)\cos(\varphi)}{2\omega}=\frac12T

 

wracamy do \ \(^{*2}\)\ \ \ E_{ksr}=\frac{m\omega^2A^2}{2}\cdot\frac12T\gr\ \Rightarrow\ \bl E_{ksr}=\frac{m\omega^2A^2T}{4}

 
\bl\fbox{\fbox{\ m\omega^2=k\ }}\ \ \ \ \gr\ \Rightarrow\ \re E_{psr}=E_{ksr}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 2


#111438 Chłopiec i sanki.

Napisane przez bb314 w 26.11.2013 - 18:54

Chłopiec ciągnie z siłą F. Ponieważ ciągnie pod kątem do podłoża, więc na pokonanie tarcia sanek o podłoże i ciężaru sanek działa składowa siły równoległa do stoku, czyli \bl\ F_1=F\cos20^o

składowa siły prostopadła do podłoża \bl\ F_2=F\sin20^o zmniejsza nacisk sanek na stok

ciężar sanek, skierowany pionowo w dół, rozkłada się na siłę działającą wzdłuż stoku \bl\ F_3=mg\sin30^o

oraz siłę skierowaną prostopadle do stoku, powodującą tarcie \bl\ F_4=mg\cos30^o

 

siła tarcia \ T=\mu\cdot(F_4-F2)=\mu\cdot\(mg\cos30^o-F\sin20^o\)

tę siłę i część ciężaru sanek musi pokonać siła F_1

F_1=T+F_3\gr\ \Rightarrow\ F\cos20^o=\mu\cdot\(mg\cos30^o-F\sin20^o\)+mg\sin30^o

 

F\cos20^o=\mu mg\cos30^o-\mu F\sin20^o+mg\sin30^o\gr\ \Rightarrow\ \bl F=\frac{mg(\mu\cos30^o+\sin30^o\)}{\cos20^o+\mu\sin20^o}

 

F=\frac{20\cdot10(0,2\cdot\frac{sqrt3}{2}+\frac12\)}{\cos20^o+0,2\sin20^o}\gr\ \Rightarrow\ \re\fbox{\ F\approx133,56[N]=13,356[kG]

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 2


#111394 Siły w układzie nieinercjalnym .

Napisane przez bb314 w 25.11.2013 - 22:01

\bl|a|m<fmg

- siła działająca na ciało w związku z hamowaniem wagonu

- siła tarcia przeciwstawiająca się ruchowi ciała względem podłoża, jest to iloczyn współczynnika tarcia i siły nacisku ciała na podłoże, czyli jego ciężaru 

 

\bl m_1a-m_2a<fm_1g+fm_2g

- siła działająca na ciało m1 w związku ze wzrostem prędkości wagonu

- siła działająca na ciało m2 w związku ze wzrostem prędkości wagonu

- siła tarcia przeciwstawiająca się ruchowi ciała m1 względem podłoża

- siła tarcia przeciwstawiająca się ruchowi ciała m2 względem podłoża

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

 


  • 2


#111380 Siły w układzie nieinercjalnym .

Napisane przez bb314 w 25.11.2013 - 18:50

a)

ciała pozostaną na miejscu, gdy wagon będzie hamować (a<0)

|a|m<fmg\gr\ \Rightarrow\ |a|<0,1g\gr\ \Rightarrow\ \re a_{min}=-0,1g

 

b)

jeśli wagon będzie przyspieszać  (a>0), ciała pozostaną na miejscach, gdy

m_1a-m_2a<fm_1g+fm_2g\gr\ \Rightarrow\ a<\frac{m_1+m_2}{m_1-m_2}\cdot fg=\frac{3+1}{3-1}\cdot0,1g=0,2g\gr\ \Rightarrow\ \re a_{max}=0,2g

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 2


#111378 Winda

Napisane przez bb314 w 25.11.2013 - 17:53

Jeśli przyspieszenie windy jest zerowe, to waga wskazuje \ F_c=mg\gr\ \Rightarrow\ \bl m=\frac{F_c}{g}

gdy winda porusza się coraz szybciej w dół, waga wskaże \ m(g-a)

gdy winda porusza się coraz szybciej w górę, waga wskaże \ m(g+a)

różnica wskazań wagi

m(g+a)-m(g-a)=F\gr\ \Rightarrow\ 2ma=F\gr\ \Rightarrow\ a=\frac{F}{2m}\gr\ \Rightarrow\ \re a=\frac{F}{2F_c}\cdot g

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 2


#111375 Dach domu.

Napisane przez bb314 w 25.11.2013 - 16:20

Pewnie dlatego, że przyjęli y_o=0

 

gd\sin\alpha+v_o\cos^3\alpha\sqrt{v_o^2+2gd\,tg\alpha}-v_o^2\cos^3\alpha-2gd\,tg\alpha\cos^3\alpha=0\gr\ \Rightarrow\ \bl gd\sin\alpha-2gd\,tg\alpha\cos^3\alpha=0
 
gd\sin\alpha=2gd\sin\alpha\cos^2\alpha\gr\ \Rightarrow\ \cos^2\alpha=\frac12\gr\ \Rightarrow\ \cos\alpha=\frac{sqrt2}{2}\gr\ \Rightarrow\ \re\alpha=45^o
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

 


  • 2


#111368 Dach domu.

Napisane przez bb314 w 25.11.2013 - 11:57

Zakładam, że budynek ma szerokość 2d i dach jest dwuspadzisty, symetryczny, o nachyleniu \alpha do poziomu.

najdłuższa droga kropli to s=\frac d{\cos\alpha}

kropla „wpada” na szczyt dachu z prędkością \ v_o

działa na nią składowa przyspieszenia ziemskiego wzdłuż dachu \ a=g\sin\alpha

droga kropli w ruchu jednostajnie przyspieszonym

s=v_ot+\frac{at^2}{2}=v_ot+\frac{g\sin\alpha t^2}{2}=\frac{d}{\cos\alpha\gr\ \Rightarrow\ \frac{g\sin\alpha}{2}t^2+v_ot-\frac{d}{\cos\alpha}=0\gr\ \Rightarrow\ \bl t(\alpha)=\frac{-v_o+sqrt{v_o^2+2gd\,tg\alpha}}{g\sin\alpha}

 

t'(\alpha)=\frac{\(-v_o+sqrt{v_o^2+2gd\,tg\alpha}\)'\cdot g\sin\alpha-\(-v_o+sqrt{v_o^2+2gd\,tg\alpha}\)\cdot\(g\sin\alpha\)'}{\(g\sin\alpha\)^2}=

 

=\frac{\frac{1}{2\sqrt{v_o^2+2gd\,tg\alpha}}\cdot\(v_o^2+2gd\,tg\alpha\)'\cdot g\sin\alpha-\(-v_o+sqrt{v_o^2+2gd\,tg\alpha}\)\cdot g\cos\alpha}{g^2\sin^2\alpha}=

 
=\frac{\frac{1}{2\sqrt{v_o^2+2gd\,tg\alpha}}\cdot\frac{2gd}{\cos^2\alpha}\cdot g\sin\alpha+v_og\cos\alpha-g\cos\alpha\sqrt{v_o^2+2gd\,tg\alpha}}{g^2\sin^2\alpha}=
 
=\frac{g^2d\sin\alpha+v_og\cos^3\alpha\sqrt{v_o^2+2gd\,tg\alpha}-g\cos^3\alpha\(v_o^2+2gd\,tg\alpha\)}{g^2\sin^2\alpha\cos^2\alpha\sqrt{v_o^2+2gd\,tg\alpha}}=
 
=\frac{gd\sin\alpha+v_o\cos^3\alpha\sqrt{v_o^2+2gd\,tg\alpha}-v_o^2\cos^3\alpha-2gd\,tg\alpha\cos^3\alpha}{g\sin^2\alpha\cos^2\alpha\sqrt{v_o^2+2gd\,tg\alpha}}
 
czas będzie najmniejszy, gdy \ \ t'(\alpha)=0
 
gd\sin\alpha+v_o\cos^3\alpha\sqrt{v_o^2+2gd\,tg\alpha}-v_o^2\cos^3\alpha-2gd\,tg\alpha\cos^3\alpha=0
 
przy g=10\frac m{s^2}\ \ \ v_o=10\frac ms\ \ \ d=10m\ \ \ \ \re\alpha\approx20^o
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

 


  • 2


#111198 Siła naprężenia liny

Napisane przez bb314 w 19.11.2013 - 17:59

Na guźdź diała pionowa siła = ciężarowi obrazu. Jest ona wypadkową dwóch sił działających wzdłuż linek.

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 2


#111108 Winda.

Napisane przez bb314 w 17.11.2013 - 19:56

d)

wskazania wagi nie zależą od zwrotu prędkości windy

 

a) b) c) masz dobrze

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:


  • 2


#111109 Waga szalkowa

Napisane przez bb314 w 17.11.2013 - 20:19

Jeżeli człowiek przyciąga ciało zawieszone nad nim, zwiększa nacisk na drugą szalę jednocześnie zmniejszając nacisk na swoją szalę. W skrajnym przypadku (T=Q) cały jego ciężar obciąży drugą szalę, a jego szala będzie bez obciążenia. Szale prawdopodobnie wrócą do stanu równowagi, gdy T=0.

Odpychając ciało, z jednej strony zmniejsza nacisk na drugą szalę (szala idzie do góry) , z drugiej - zwiększa nacisk na swoją szalę pchając ją w dól.

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

  • 2