Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

Kinia7

Rejestracja: 16 Jan 2012
Offline Ostatnio: Dec 05 2018 19:59
-----

Moje posty

W temacie: kula wpisana w stożek

04.12.2018 - 13:13

trójkąty podobne na podstawie cechy bkb, lub kbk

 

Co to za cecha podobieństwa „kbk”; co ona mówi?


W temacie: Rozwinięcie w szereg Maclaurina

01.12.2018 - 00:02

f(x)=x^2\ln(4-x^2) \quad\to\quad f(0)=0
f'=2x\ln(4-x^2)+x^2\fr{-2x}{4-x^2}=2x\ln(4-x^2)-\fr{2x^3}{4-x^2} \quad\to\quad f'(0)=0
f''=2\ln(4-x^2)+2x\fr{-2x}{4-x^2}-\fr{6x^2(4-x^2)-2x^3\cd(-2x)}{(4-x^2)^2} \quad\to\quad f''(0)=2\ln4
f'''=\fr{-4x}{4-x^2}+...+... \quad\to\quad f'''(0)=0
f^{(4)}=-\fr{4(4-x^2)-4x\cd(-2x)}{(4-x^2)^2}+...+... =-\fr{4}{4-x^2}-\fr{8x^2}{(4-x^2)^2}...+... \quad\to\quad f^{(4)}(0)=-1
f^{(5)}=-\fr{8x}{(4-x^2)^2}+...+... \quad\to\quad f^{(5)}(0)=0
f^{(6)}=-\fr{8(4-x^2)^2-8x(4-x^2)(-2x)}{(4-x^2)^4}+...+...=-\fr{8}{(4-x^2)^2}-\fr{16x^2}{(4-x^2)^3}+...+...  \quad\to\quad f^{(6)}(0)=-\fr12
f^{(7)}=-\fr{32x}{(4-x^2)^3}-\fr{32x(4-x^2)^3-48x^2(4-x^2)^2(-2x)}{(4-x^2)^6}+...+... \quad\to\quad f^{(7)}(0)=0
f^{(8)}=-\fr{32}{(4-x^2)^3}+\fr96x(4-x^2)^2(-2x)}{(4-x^2)^6}+...+...\quad\to\quad f^{(7)}(0)=-\fr12
należy przypuszczać, że
f^{(2k+1)}(0)=0\ \ \ \ f^{(2k)}(0)=-\fr12
więc
f(x)=\ln4\cd x^2-\fr1{24}x^4-\fr{1}{2\cd6!}x^6-\fr{1}{2\cd8!}x^8-\fr12\sum_{i=5}^{\infty}\fr{x^{2i}}{(2i)!}
pozostałe przykłady umieść w oddzielnych tematach

W temacie: Szeregi- badnie zbieżności

01.12.2018 - 00:02

1)
a_n=(-1)^{n-1}(\sq{n^2+2}-n)
kryterium d'Alemberta
\lim_{n\to\infty}\fr{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\fr{\sq{(n+1)^2+2}-(n+1)}{\sq{n^2+2}-n}=\lim_{n\to\infty}\fr{\(\sq{(n+1)^2+2}-(n+1)\)\(\sq{(n+1)^2+2}+(n+1)\)\(\sq{n^2+2}+n\)}{\(\sq{(n+1)^2+2}+(n+1)\)\(\sq{n^2+2}-n\)\(\sq{n^2+2}+n\)}=
=\lim_{n\to\infty}\fr{\((n+1)^2+2-(n+1)^2\)\(\sq{n^2+2}+n\)}{\(\sq{(n+1)^2+2}+(n+1)\)\(n^2+2-n^2\)}=\lim_{n\to\infty}\fr{\(\sq{n^2+2}+n\)}{\(\sq{(n+1)^2+2}+n+1\)}=\lim_{n\to\infty}\fr{n\(\sq{1+\fr2{n^2}}+1\)}{n\(\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+1+\fr1n\)}=
=\lim_{n\to\infty}\fr{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}{\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+1+\fr1n}=\fr{\sq{1+0}+1}{\sq{(1+0)^2+0}+1+0}=1
granica jest =1, więc trzeba sprawdzić
kryterium Raabego
\lim_{n\to\infty}n\(\fr{|a_n|}{|a_{n+1}|}-1\)=\lim_{n\to\infty}n\(\fr{\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+1+\fr1n}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}-1\)=\lim_{n\to\infty}n\(\fr{\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+1+\fr1n-\sq{1+\fr2{n^2}}-1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}\)=
=\lim_{n\to\infty}n\(\fr{\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}-\sq{1+\fr2{n^2}}+\fr1n}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}\)=\lim_{n\to\infty}\fr{\sq{(n+1)^2+2}-\sq{n^2+2}+1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}=
=\lim_{n\to\infty}\fr{\fr{\(\sq{(n+1)^2+2}-\sq{n^2+2}\)\(\sq{(n+1)^2+2}+\sq{n^2+2}\)}{\sq{(n+1)^2+2}+\sq{n^2+2}}+1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}=\lim_{n\to\infty}\fr{\fr{(n+1)^2+2-n^2-2}{\sq{(n+1)^2+2}+\sq{n^2+2}}+1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}=
=\lim_{n\to\infty}\fr{\fr{2n+1}{n\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+n\sq{1+\fr2{n^2}}}+1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}=\lim_{n\to\infty}\fr{\fr{n(2+\fr1n)}{n\(\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+\sq{1+\fr2{n^2}}\)}+1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}=\lim_{n\to\infty}\fr{\fr{2+\fr1n}{\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+\sq{1+\fr2{n^2}}}+1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}=
=\fr{\fr{2+0}{\sq{(1+0)^2+0}+\sq{1+0}}+1}{\sq{1+0}+1}=1
granica jest równa 1, więc zbieżność nie jest rozstrzygnięta
pozostałe przykłady umieść w oddzielnych tematach

1)
a_n=(-1)^{n-1}(\sq{n^2+2}-n)
kryterium d'Alemberta
\lim_{n\to\infty}\fr{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\fr{\sq{(n+1)^2+2}-(n+1)}{\sq{n^2+2}-n}=\lim_{n\to\infty}\fr{\(\sq{(n+1)^2+2}-(n+1)\)\(\sq{(n+1)^2+2}+(n+1)\)\(\sq{n^2+2}+n\)}{\(\sq{(n+1)^2+2}+(n+1)\)\(\sq{n^2+2}-n\)\(\sq{n^2+2}+n\)}=
=\lim_{n\to\infty}\fr{\((n+1)^2+2-(n+1)^2\)\(\sq{n^2+2}+n\)}{\(\sq{(n+1)^2+2}+(n+1)\)\(n^2+2-n^2\)}=\lim_{n\to\infty}\fr{\(\sq{n^2+2}+n\)}{\(\sq{(n+1)^2+2}+n+1\)}=\lim_{n\to\infty}\fr{n\(\sq{1+\fr2{n^2}}+1\)}{n\(\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+1+\fr1n\)}=
=\lim_{n\to\infty}\fr{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}{\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+1+\fr1n}=\fr{\sq{1+0}+1}{\sq{(1+0)^2+0}+1+0}=1
granica jest =1, więc trzeba sprawdzić
kryterium Raabego
\lim_{n\to\infty}n\(\fr{|a_n|}{|a_{n+1}|}-1\)=\lim_{n\to\infty}n\(\fr{\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+1+\fr1n}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}-1\)=\lim_{n\to\infty}n\(\fr{\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+1+\fr1n-\sq{1+\fr2{n^2}}-1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}\)=
=\lim_{n\to\infty}n\(\fr{\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}-\sq{1+\fr2{n^2}}+\fr1n}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}\)=\lim_{n\to\infty}\fr{\sq{(n+1)^2+2}-\sq{n^2+2}+1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}=
=\lim_{n\to\infty}\fr{\fr{\(\sq{(n+1)^2+2}-\sq{n^2+2}\)\(\sq{(n+1)^2+2}+\sq{n^2+2}\)}{\sq{(n+1)^2+2}+\sq{n^2+2}}+1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}=\lim_{n\to\infty}\fr{\fr{(n+1)^2+2-n^2-2}{\sq{(n+1)^2+2}+\sq{n^2+2}}+1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}=
=\lim_{n\to\infty}\fr{\fr{2n+1}{n\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+n\sq{1+\fr2{n^2}}}+1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}=\lim_{n\to\infty}\fr{\fr{n(2+\fr1n)}{n\(\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+\sq{1+\fr2{n^2}}\)}+1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}=\lim_{n\to\infty}\fr{\fr{2+\fr1n}{\sq{(1+\fr1n)^2+\fr2{n^2}}+\sq{1+\fr2{n^2}}}+1}{\sq{1+\fr2{n^2}}+1}=
=\fr{\fr{2+0}{\sq{(1+0)^2+0}+\sq{1+0}}+1}{\sq{1+0}+1}=1
granica jest równa 1, więc zbieżność nie jest rozstrzygnięta
pozostałe przykłady umieść w oddzielnych tematach

W temacie: Rownanie trygonometryczne

01.12.2018 - 00:00

1-\sin2x\neq0 \quad\to\quad 2x\neq\fr12\p+2k\p \quad\to\quad x\neq\fr14\p+k\p
(\cos x+\sin x)^2=\fr{\cos^22x}{(1-\sin2x)^2}         gdy   x\neq\fr\p2+2k\p\ \wedge\ x\neq\p+2k\p
\cos^2x+2\sin x\cos x+\sin^2x=\fr{\cos^22x}{(1-\sin2x)^2}
1+\sin2x=\fr{\cos^22x}{(1-\sin2x)^2}\ /\cd(1-\sin2x)
(1+\sin2x)(1-\sin2x)=\fr{\cos^22x}{1-\sin2x}
1-\sin^22x=\fr{\cos^22x}{1-\sin2x}
\cos^22x=\fr{\cos^22x}{1-\sin2x}\ /\cd(1-\sin2x)
\cos^22x(1-\sin2x)-\cos^22x=0
\cos^22x(1-\sin2x-1)=0
\cos^22x\sin2x=0 \quad\to\quad \{\cos2x=0\\\ lub\\\sin2x=0    \quad\to\quad \{2x=\fr\p2+k\p\\\ lub\\2x=k\p   \quad\to\quad \{x=\fr\p4+k\cd\fr\p2\\\ lub\\x=k\cd\fr\p2
uwzględniając wcześniejsze ograniczenia
x=2k\p\ \vee\ x=\fr32\p+2k\p\ \vee\ x=\fr34\p+k\p

W temacie: Funkcje tworzące, równania rekurencyjne.

30.11.2018 - 23:59

a)
a_{n+2}=3a_{n+1}+4a_n   gdzie   n\ge0\ \ \ a_o=2\ \ \ a_1=3
funkcja tworząca  A(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n
w równaniu wyjściowym podstawię za  n \quad\to\quad n-2
a_n-3a_{n-1}-4a_{n-2}=0
\sum_{n=2}^{\infty} a_nx^n-3\sum_{n=2}^\infty a_{n-1}x^n-4\sum_{n=2}^\infty a_{n-2}x^n=0
\(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n-a_ox^0-a_1x^1\)-3x\sum_{n=2}^\infty a_{n-1}x^{n-1}-4x^2\sum_{n=2}^\infty a_{n-2}x^{n-2}=0
A(x)-a_o-a_1x-3x\sum_{n=1}^\infty a_nx^n-4x^2\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=0
A(x)-2-3x-3x\(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n-a_ox^0\)-4x^2A(x)=0
A(x)-2-3x-3x\(A(x)-2\)-4x^2A(x)=0
A(x)\(1-3x-4x^2\)-2+3x=0 \quad\to\quad A(x)=\fr{2-3x}{1-3x-4x^2}=\fr{2-3x}{(1-4x)(1+x)}
rozkładamy na ułamki proste  \fr{B}{1-4x}+\fr{D}{1+x}=\fr{B+Bx+D-4Dx}{(1-4x)(1+x)}=\fr{B+D+(B-4D)x}{(1-4x)(1+x)}
B+D+(B-4D)x\equiv2-3x \quad\to\quad \{B+D=2\\B-4D=-3 \quad\to\quad \{B=1\\D=1  \quad\to\quad A(x)=\fr{1}{1-4x}+\fr{1}{1+x}
A(x)=\sum_{n=0}^\infty(4x)^n+\sum_{n=0}^\infty(-x)^n=\sum_{n=0}^\infty4^nx^n+\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n \quad\to\quad a_n=4^n+(-1)^n
pozostałe przykłady umieść w oddzielnych tematach