Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

Kinia7

Rejestracja: 16 Jan 2012
Offline Ostatnio: wczoraj, 22:21
-----

Moje posty

W temacie: Ostrosłup zadanie

21.09.2017 - 19:24

a  - bok podstawy (kwadrat);  p=\sq2a  - przekątna podstawy;  h  - wysokość ściany;  k  - krawędź boczna;  H  - wysokość ostrosłupa
przekrój przez środki przeciwległych boków podstawy i wierzchołek ostrosłupa to trójkąt równoramienny
kąty przy jego podstawie  =60^{\circ} \quad\to\quad  jest to trójkąt równoboczny   \quad\to\quad  h=a
jego wysokość to wysokość ostrosłupa  \quad\to\quad  H=\fr{\sq3}{2}a
z tw. Pitagorasa w ścianie bocznej  k^2=h^2+\(\fr12a\)^2=a^2+\fr14a^2=\fr54a^2 \quad\to\quad k=\fr{\sq5}{2}a
przekrój przez  p  i wierzchołek ostrosłupa to trójkąt równoramienny o ramionach  k  i podstawie  p  wpisany w okrąg o promieniu  R
pole tego trójkąta  \{P_\triangle=\fr12pH=\fr{\sq6}{4}a^2\\P_\triangle=\fr{p\cd k\cd k}{4R}=\fr{5\sq2a^3}{16R}   \quad\to\quad R=\fr{5\sq3}{12}a
V_k=\fr43\p R^3=\fr43\p\cd\fr{5^3\cd3\sq3}{12^3}a^3=16\p \quad\to\quad a=\fr{12\sq[3]4}{5\sq[6]3}
P_c=P_p+4P_b=a^2+4\cd\fr12ah=3a^2=3\cd\(\fr{12\sq[3]4}{5\sq[6]3}\)^2=\fr{288\sq[3]{18}}{25}
 

W temacie: Ostrosłup prawidłowy trójkątny

18.09.2017 - 19:25

a  - bok podstawy;  h  - wysokość ściany bocznej;  k  - krawędź boczna;  H  - wysokość ostrosłupa
h,\ h,\ \fr12a  - boki trójkąta równoramiennego z kątem  \beta=60^{\circ}  między ramionami
tzn., że ten trójkąt jest równoboczny   \quad\to\quad h=\fr12a
z tw. Pitagorasa w ścianie bocznej  k^2=h^2+\(\fr12a\)^2=\fr14a^2+\fr14a^2=\fr12a^2 \quad\to\quad \fr12a^2=\(\fr{4\sq3}{3}\)^2 \quad\to\quad a=\fr{4\sq6}{3}
z tw. Pitagorasa  k^2=H^2+\(\fr{\sq3}{3}a\)^2 \quad\to\quad H=\sq{k^2-\fr1{3}a^2}=\sq{\fr{16}{3}-\fr{32}9}=\fr43
pole podstawy  P_p=\fr{\sq3}{4}a^2
pole ściany bocznej  P_b=\fr12ah=\fr12a\cd\fr12a=\fr14a^2
P=P_p+3P_b=\fr{\sq3}{4}a^2+3\cd\fr14a^2=\fr{3+\sq3}{4}a^2=\fr{3+\sq3}{4}\cd\(\fr{4\sq6}{3}\)^2=\fr{8(3+\sq3)}{3}\,dm^2
V=\fr13P_pH=\fr13\cd\fr{\sq3}{4}a^2\cd\fr43=\fr13\cd\fr{\sq3}{4}\cd\(\fr{4\sq6}{3}\)^2\cd\fr43=\fr{32\sq{3}}{27}\,dm^3
 

W temacie: Ostroslup prawidlowy

16.09.2017 - 11:59

a  - bok podstawy (trójkąt równoboczny);  h  - wysokość ściany bocznej;  k  - krawędź boczna;  r  - promień okręgu opisanego na podstawie
r=\fr23\cd\fr{\sq3}{2}a=\fr{\sq3}{3}a
pole podstawy  P_p=\fr{\sq3}{4}a^2
pole ściany bocznej  P_b=\fr12ah
3P_b=6P_p \quad\to\quad \fr32ah=\fr{3\sq3}{2}a^2 \quad\to\quad h=\sq3a
z tw. Pitagorasa  k^2=h^2+\(\fr12a\)^2 \quad\to\quad k=\sq{h^2+\fr14a^2}=\fr{\sq{13}}{2}a
\cos\beta=\fr rk=\fr{\fr{\sq{3}}{3}a}{\fr{\sq{13}}{2}a}=\fr{2\sq{39}}{39}
 

W temacie: ostrosłup prawidłowy czworokątny

08.09.2017 - 17:02

a  - bok podstawy (kwadrat),  k  - krawędź boczna,  h  - wysokość ściany,  H  - wysokość ostrosłupa
\{\fr ka=\fr32\\4a+4k=40   \quad\to\quad \{a=4\\k=6
z tw. Pitagorasa  k^2=h^2+\(\fr12a\)^2 \quad\to\quad h=\sq{k^2-\fr14a^2}=4\sq2
z tw. Pitagorasa  H^2+\(\fr12a\)^2=h^2 \quad\to\quad H=\sq{h^2-\fr14a^2}=2\sq7
pole podstawy  P_p=a^2=16
pole ściany bocznej  P_b=\fr12ah=8\sq2
P_c=P_p+4P_b=16+4\cd8\sq2=16(1+2\sq2)
V=\fr13P_pH=\fr13\cd16\cd2\sq7=\fr{32\sq7}{3}
 

W temacie: czworościan foremny-udowodnij...

31.08.2017 - 21:51

czworościan  ABCD;\  E  - środek boku  CD
przekrój przez  AB  i  E  to trójkąt równoramienny  ABE  o ramionach  h  i podstawie  a
h=\fr{\sq3}{2}a
spodek wysokości czworościanu leży na wysokości trójkąta w odległości  \fr13h  od boku tego trójkąta
w  \triangle ABE  wysokości czworościanu to odcinki  AF  i  BG  prostopadłe do  BE  i  AE,  przecinają się w  P
\fr{EF}{EB}=\fr13
\triangle FEG\approx \triangle ABE \quad\to\quad \fr{GF}{AB}=\fr{EF}{EB} \quad\to\quad \fr{GF}{AB}=\fr13
\triangle FGP\approx\triangle ABP \quad\to\quad \fr{PF}{AP}=\fr{GF}{AB} \quad\to\quad \fr{PF}{AP}=\fr13 \quad\to\quad PF:AP=1:3