Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

bb314

Rejestracja: 15 Dec 2011
Offline Ostatnio: Informacja prywatna
*****

#129234 Całka równania różniczkowego

Napisane przez bb314 w 21.04.2017 - 22:00

\bl ydx +\(2\sqrt{xy}-x\)dy=0\ \ \ \(^{*1}\)
 
mamy równanie różniczkowe postaci     P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
\{P(x,y)=y\\Q(x,y)=2sqrt{xy}-x\gr\ \Rightarrow\ \{\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=1\\\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}=sqrt{\frac yx}-1\gr\ \Rightarrow\ \frac{\partial P(x,y)}{\partial y}\neq\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}
to oznacza, że to równanie różniczkowe nie jest zupełne
żeby doprowadzić je do postaci równania różniczkowego zupełnego, trzeba pomnożyć je przez czynnik całkujący \mu
\mu\left(x,y\right)=\varphi\left(x\right)\psi\left(y\right)\ \ \ gdzie\ \ \ \varphi\left(x\right)=e^{\int{f\left(x\right)\mbox{d}x}}\ \ \ \ \psi\left(y\right)=e^{\int{g\left(y\right)\mbox{d}y}}
 
a f(x) i g(y) są tak dobrane, aby spełniona była tożsamość \frac{\partial P\left(x,y\right)}{\partial y}-\frac{\partial Q\left(x,y\right)}{\partial x}\equiv Q\left(x,y\right)f\left(x\right)-P\left(x,y\right)g\left(y\right)
patrząc na P(x,y),\ Q(x,y) i ich pochodne przewiduję f(x)=\frac Ax,\ \ g(y)=\frac By, więc otrzymamy
1-\(sqrt{\frac yx}-1\)\equiv\(2sqrt{xy}-x\)\cd \frac{A}{x}-y\cd\frac{B}{y}
2-sqrt{\frac yx}\equiv2A\sqrt{\frac yx}-A-B\gr\ \Rightarrow\ \{2A=-1\\-A-B=2\gr\ \Rightarrow\ \{A=-\frac12\\B=-\frac32\gr\ \Rightarrow\ \{f(x)=\frac{-1}{2x}\\g(y)=-\frac{3}{2y}
\varphi\left(x\right)=e^{\int{f\left(x\right)\mbox{d}x}}=e^{\int\(-\frac1{2x}\)dx}=e^{-\frac12\ln x}=x^{-\frac12}=\frac{1}{sqrt x}
\psi\left(y\right)=e^{\int{g\left(y\right)\mbox{d}y}}=e^{\int\(-\frac3{2y}\)dy}=e^{-\frac32\ln y}=y^{-\frac32}=\frac{1}{y\sqrt y}
\mu\left(x,y\right)=\varphi\left(x\right)\psi\left(y\right)=\frac{1}{sqrt x}\cd\frac{1}{y\sqrt y}\gr\ \Rightarrow\ \mu\left(x,y\right)=\frac{1}{y\cd\sqrt{xy}}
przez ten czynnik całkujący mnożymy równanie  \ \(^{*1}\)
\frac{1}{y\cd\sqrt{xy}}\cd ydx+\(\frac{1}{y\cd\sqrt{xy}}\cd2sqrt{xy}-\frac{1}{y\cd\sqrt{xy}}\cd x\)dy=0\gr\ \Rightarrow\ \bl\frac1{sqrt{xy}}dx +\(\frac2y-\frac{sqrt x}{y\sqrt{y}\)dy=0\ \ \ \ \(^{*2}\)
mamy nowe P i Q
\{P(x,y)=\frac1{sqrt{xy}}\\Q(x,y)=\frac2y-\frac{sqrt x}{y\sqrt{y}\gr\ \Rightarrow\ \{\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=-\frac{1}{2y\sqrt{xy}}\\\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}=0-\frac{1}{2y\sqrt{xy}}\gr\ \Rightarrow\ \frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}
to oznacza, że jest to równanie różniczkowe zupełne, więc zachodzą równości
\frac{\partial F\left(x,y\right)}{\partial x}=P\left(x,y\right)\ \ \ \(^{*3}\)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial F\left(x,y\right)}{\partial y}=Q\left(x,y\right)\ \ \ \(^{*4}\)
z \(^{*3}\) mamy
F\left(x,y\right)=\int{P\left(x,y\right)\mbox{d}x}+\varphi_1\left(y\right)=\int\frac1{sqrt{xy}}dx+\varphi_1(y)=\frac{2sqrt x}{sqrt y}+\varphi_1(y)\ \ \ \(^{*5}\)
 
\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=-\frac{sqrt x}{y\sqrt y}+\varphi'_1(y)
na mocy \(^{*4}\) mamy
-\frac{sqrt x}{y\sqrt y}+\varphi'_1(y)=\frac2y-\frac{sqrt x}{y\sqrt{y}\gr\ \Rightarrow\ \varphi'_1(y)=\frac2y\gr\ \Rightarrow\ \varphi_1(y)=\int\frac2ydy\gr\ \Rightarrow\ \varphi_1(y)=2\ln Cy
podstawiamy do \(^{*5}\) 
F(x,y)=\frac{2sqrt x}{sqrt y}+2\ln Cy=0
czyli rozwiązaniem jest funkcja w postaci uwikłanej   \re \sqrt {\frac{x}{y}}+\ln Cy=0
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

 


  • 1


#129203 Pole trójkąta na sferze

Napisane przez bb314 w 06.04.2017 - 17:04

\bl A=(1,1,2)\ \ B=(3,6,8)\ \ C=(4,1,2)\ \ D=(-1,3,4)    O=(a,b,c)
 
r^2=|AO|^2=(1-a)^2+(1-b)^2+(2-c)^2=6-2(a+b+2c)+a^2+b^2+c^2\gr\ \Rightarrow\
r^2=6-2(a+b+2c)+a^2+b^2+c^2\ \ \ \(^{*1}\)
 
r^2=|BO|^2=(3-a)^2+(6-b)^2+(8-c)^2=109-2(3a+6b+8c)+a^2+b^2+c^2\gr\ \Rightarrow\
r^2=109-2(3a+6b+8c)+a^2+b^2+c^2\ \ \ \(^{*2}\)
 
r^2=|CO|^2=(4-a)^2+(1-b)^2+(2-c)^2=21-2(4a+b+2c)+a^2+b^2+c^2\gr\ \Rightarrow\
r^2=21-2(4a+b+2c)+a^2+b^2+c^2\ \ \ \(^{*3}\)
 
r^2=|DO|^2=(-1-a)^2+(3-b)^2+(4-c)^2=26-2(-a+3b+4c)+a^2+b^2+c^2\gr\ \Rightarrow\
r^2=26-2(-a+3b+4c)+a^2+b^2+c^2\ \ \ \(^{*4}\)
odejmę  \ \(^{*1}\)  od  \ \(^{*2}\),   odejmę  \ \(^{*3}\)  od  \ \(^{*2}\),   odejmę  \ \(^{*4}\)  od  \ \(^{*2}\)
 
\{0=103-2(2a+5b+6c)\\0=88-2(-a+5b+6c)\\0=83-2(4a+3b+4c)\gr\ \Rightarrow\ \bl\{a=\fr52 \\b=-\fr32 \\c=9         podstawiam np. do  \ \(^{*1}\)\gr\ \Rightarrow\ \bl r=\sq{\fr{115}{2}}
 
|AB|=\sq{(1-3)^2+(1-6)^2+(2-8)^2}=\sq{65} 
|AC|=\sq{(1-4)^2+(1-1)^2+(2-2)^2}=3
|BC|=\sq{(3-4)^2+(6-1)^2+(8-2)^2}=\sq{62}
 
boki trójkąta sferycznego
\widehat{AB}=2\arcsin\fr{\fr12|AB|}{r}=2\arcsin\sq{\fr{13}{26}
\widehat{AC}=2\arcsin\fr{\fr12|AC|}{r}=2\arcsin\sq{\fr{9}{230}
\widehat{BC}=2\arcsin\fr{\fr12|BC|}{r}=2\arcsin\sq{\fr{31}{115}
 
\re\angle A\ =\arccos\fr{\cos\widehat{BC}-\cos\widehat{AB}\cos\widehat{AC}}{\sin\widehat{AB}\sin\widehat{AC}}\approx1,3978\approx\re\ 80,09^{\circ}
\re\angle B\ =\arccos\fr{\cos\widehat{AC}-\cos\widehat{AB}\cos\widehat{BC}}{\sin\widehat{AB}\sin\widehat{BC}}\approx0,445\approx\re\ 25,5^{\circ}
\re\angle C\ =\arccos\fr{\cos\widehat{AB}-\cos\widehat{AC}\cos\widehat{BC}}{\sin\widehat{AC}\sin\widehat{BC}}\approx1,5418\approx\re\ 88,34^{\circ}
 
\re S_{\widehat{ABC}}\ =r^2(\angle A+\angle B+\angle C-\p)\approx\re\ 13,973
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

 


  • 3


#129147 Ciąg arytmetyczny,geometryczny

Napisane przez bb314 w 24.03.2017 - 22:37

Wyraz ogólny ciągu arytmetycznego     \bl \fbox{\fbox{\ a_n=a_1+(n-1)r\ }}

więc

a_{k+1}=a_1+kr\ \ \ a_{k+3}=a_1+(k+2)r\ \ \ a_{2k+3}=a_1+(2k+2)r

jeżeli te trzy wyrazy mają stanowić ciąg geometryczny to musi zachodzić:

a_{k+1}\cd a_{2k+3}=(a_{k+3})^2

 

(a_1+kr)(a_1+2kr+2r)=\(a_1+(k+2)r\)^2

 

r^2k^2+(a_1r-2r^2)k-2r(a_1+2r)=0

 

jest to równanie kwadratowe ze względu na  k

 

\re k=\fr{2r-a_1\pm\sq{(a_1-2r)^2+8r(a_1+2r)}}{2r}

 

pierwiastki tego równania są odpowiedzią, jeśli są liczbami naturalnymi

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \   :shifty: \   :shifty:
 
 

  • 1


#129077 Pole obszaru

Napisane przez bb314 w 09.03.2017 - 11:10

Prosisz i masz :)

 

Kwadrat o boku  a  i środku  S.

Rozpatruję prawą górną ćwiartkę kwadratu.

 

Kwadrat_wnetrze.jpg

P ma być równo odległy od  S  i od boku kwadratu, czyli od punktu  A

zatem musi leżeć na symetralnej odcinka  SA

B  jest środkiem odcinka  SA, więc jego rzut pionowy daje punkt  C\gr\ \Rightarrow\ SC=\fr14a 

PA || SC\gr\ \Rightarrow\ \angle ASC=\angle PAS  jako kąty naprzemianległe

\triangle SAP  jest równoramienny, więc  \angle PSA=\angle PAS\gr\ \Rightarrow\ \angle PSA=\angle ASC\gr\ \Rightarrow\ \angle PSA=\angle ASC=\fr{\varphi}{2}

z  \triangle SCB\ \ SB=\fr{SC}{\cos\angle BSC}=\fr{a}{4\cos\fr{\varphi}{2}}  

z  \triangle SBP\ \ SP=\fr{SB}{\cos\angle PSB}=\fr{a}{4\cos^2\fr{\varphi}{2}}\gr\ \Rightarrow\ \re r\in\(0,\,\fr{a}{4\cos^2\fr{\varphi}{2}}\)\ \ \ \ \varphi\in\(0,\,\fr\p4\)

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

  • 2


#129056 Gęstość prawdopodobieństwa

Napisane przez bb314 w 03.03.2017 - 23:02

\bl f(x)=\left{\ \begin{array}{lcrcccl} 0 & \ dla\ & & & x & \leq & 0\\ x & \ dla\ & 0 & < & x & \leq & m \\ 2-x & \ dla\ & m & < & x & \leq & 2\\ 0 & \ dla\ & 2 & < & x & & \end{array}

 

a)

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=\int_{0}^mx\,dx+\int_m^2(2-x)\,dx=\fr12m^2+2\cd2-\fr12\cd2^2-2\cd m+\fr12m^2=m^2-2m+2

 

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1\gr\ \Rightarrow\ m^2-2m+2=1\gr\ \Rightarrow\ \re m=1

 

b)

P(X\leq x)=\int_{-\infty}^xf(t)\,dt=\left{\ \begin{array}{lcrcccl} 0 & \ dla\ & & & x & \leq & 0\\ \frac12x^2 & \ dla\ & 0 & < & x & \leq & 1 \\ 2x-\fr12x^2-1 & \ dla\ & 1 & < & x & \leq & 2\\ 1 & \ dla\ & 2 & < & x & & \end{array}

 

P(-1<X<1,5)=P(X<1,5)-P(X<-1)=2\cd1,5-\fr12\cd1,5^2-1-0\gr\ \Rightarrow\

 

\re P(-1<X<1,5)=0,875

 
c)
\mathbb{E}X=\int_{-\infty}^{\infty}x\cd f(x)\,dx=\int_0^1x^2\,dx+\int_1^2(2x-x^2)\,dx=\fr13\cd1^3+2^2-\fr13\cd2^3-1^2+\fr13\cd1^3\gr\ \Rightarrow\
 
\re\mathbb{E}X=1
 
D^2X=\mathbb{E}X^2-\(\mathbb{E}X\)^2=\int_{-\infty}^{\infty}x^2\cd f(x)\,dx\,-1^2=\int_0^1x^3\,dx+\int_1^2(2x^2-x^3)\,dx\,-1\gr\ \Rightarrow\
 
\re D^2X=\fr16

 

d)

P(X<a)=\fr12\cd a^2=0,18\gr\ \Rightarrow\ \re a=0,6

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

  • 1


#128966 Trójkąt dowolny

Napisane przez bb314 w 26.02.2017 - 19:06

Boki trójkąta oznaczę jako  a,\ b,\ c  i kąty leżące na przeciw nich odpowiednio jako  \alpha,\ \beta,\ \gamma

oraz promień okręgu opisanego na tym trójkącie jako  R

 

z tw. Snelliusa (tw. sinusów)

\bl\fbox{\fbox{\ \fr{a}{\sin\alpha}=\fr{b}{\sin\beta}=\fr{c}{\sin\gamma}=2R\ }}\gr\ \ \ \Rightarrow\ \{a=2R\sin\alpha\\b=2R\sin\beta\\c=2R\sin\gamma\ \ \ \(^{*1}\)

 

pole trójkąta

\bl\fbox{\fbox{\ P=\fr12ab\sin\gamma\ }}\gr\ \Rightarrow\ P=\fr12\cd2R\sin\alpha\cd2R\sin\beta\cd\sin\gamma\gr\ \Rightarrow\ R=\sq{\fr{P}{2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}}

 

z ostatniego i z  \\(^{*1}\)

\bl\fbox{\fbox{\ a=\sq{\fr{2P\sin\alpha}{\sin\beta\sin\gamma}}\\\ b=\sq{\fr{2P\sin\beta}{\sin\alpha\sin\gamma}}\\\ c=\sq{\fr{2P\sin\gamma}{\sin\alpha\sin\beta}}\ }}\ \ \ \ \gr\ \Rightarrow\ \re\{a=20\sq{\fr{\sin50^{\circ}}{\sin35^{\circ}\sin85^{\circ}}}\approx23,157\\b=20\sq{\fr{\sin35^{\circ}}{\sin50^{\circ}\sin85^{\circ}}}\approx17,339\\c=20\sq{\fr{\sin85^{\circ}}{\sin35^{\circ}\sin50^{\circ}}}\approx30,115

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

 


  • 2


#128826 Kąt w ostrosłupie trójkątnym

Napisane przez bb314 w 04.02.2017 - 19:11

Trzeba wyznaczyć spodek wysokości ostrosłupa. Nasz kąt to kąt między krawędzią ostrosłupa a odcinkiem łączącym spodek z wierzchołkiem podstawy, z którego wychodzi dana krawędź. Wysokość ostrosłupa, ten odcinek i krawędź tworzą trójkąt prostokątny.

W przypadku trójkąta równobocznego spodek wysokości jest środkiem okręgu na nim opisanego.

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

  • 1


#128664 postać algebraiczna

Napisane przez bb314 w 05.01.2017 - 22:54

\bl t=\fr{z^6}{w^5+1}\ \ \ \ z=1-\sq3i\ \ \ \ w=\cos\fr\p4+i\,\sin\fr\p4

 

z2\(\fr12-\fr{\sq3}2i\)=2\(\cos\fr\p3-i\,\sin\fr\p3\)\gr\ \Rightarrow\ z^6=2^6\(\cos2\p-i\,\sin2\p\)=64

 

w^5=\cos\fr54\p+i\,\sin\fr54\p=-\fr{\sq2}2-\fr{\sq2}2i

 

t=\fr{64}{1-\fr{\sq2}2-\fr{\sq2}2i}=\fr{64\sq2}{\sq2-1-i}=\fr{64\sq2(\sq2-1+i)}{(\sq2-1-i)(\sq2-1+i)}=\fr{64\sq2(\sq2-1+i)}{4-2\sq2}=\fr{64\sq2(\sq2-1+i)(4+2\sq2)}{(4-2\sq2)(4+2\sq2)}=

\ \ =8\sq2(\sq2-1+i)(4+2\sq2)=8\sq2(\sq2-1)(4+2\sq2)+8\sq2(4+2\sq2)i

 

\re t=32+32(\sq2+1)i

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

  • 1


#128663 Funkcja kwadratowa,parametr,wartość bezwzględna

Napisane przez bb314 w 05.01.2017 - 22:17

Zaproponuję inne podejście:

 

podstawmy   z=x-a
nierówność przyjmuje wówczas formę
z^2+2az+4|z|\ge 0
 
dla  z=0  niezależnie od wartości  a  zawsze zachodzi równość
 
dla  z>0  mamy nierówność  z^2+2az+4z\geq0\gr\ \Rightarrow\ z(z+2a+4)\geq0\gr\ \Rightarrow\ z+2a+4\geq0
funkcja  y(z)=z+2a+4  jest rosnąca,
więc przyjmuje najmniejszą wartość dla najmniejszego  z, czyli dla  z=0\ \ \ \ y(0)=2a+4
zatem trzeba, żeby było  2a+4\geq0\gr\ \Rightarrow\ \bl a\geq-2
 
dla  z<0  mamy nierówność  z^2+2az-4z\geq0\gr\ \Rightarrow\ z(z+2a-4)\geq0\gr\ \Rightarrow\ -z-2a+4\geq0
funkcja  y(z)=-z-2a+4  jest malejąca,
więc przyjmuje najmniejszą wartość dla największego  z, czyli dla  z=0\ \ \ \ y(0)=-2a+4
zatem trzeba, żeby było  -2a+4\geq0\gr\ \Rightarrow\ \bl a\leq2
 
stąd rozwiązaniem jest  \re a\in[-2,\,2]
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

 


  • 1


#128622 Funkcja kwadratowa,parametr,wartość bezwzględna

Napisane przez bb314 w 24.12.2016 - 22:32

\bl x^2 +4 \mid x-a \mid - a^2 \geq 0

 

dla   x-a\geq0

x^2 +4( x-a) - a^2 \geq 0

x^2+4x-4a-a^2\geq0

ta nierówność będzie spełniona dla wszystkich  x,  gdy 

\Delta\leq0\gr\ \Rightarrow\ 16+16a+4a^2\leq0\gr\ \Rightarrow\ \bl a=-2\ \ \wedge\ \ x\geq-2

 

dla   x-a<0

x^2 +4( -x+a) - a^2 \geq 0

x^2-4x+4a-a^2\geq0

ta nierówność będzie spełniona dla wszystkich  x, gdy

\Delta\leq0\gr\ \Rightarrow\ 16-16a+4a^2\leq0\gr\ \Rightarrow\ \bl a=2\ \ \wedge\ \ x<2

 

odp.: dla \re a\in[-2,\,2] nierówność jest spełniona dla każdego  x\in \mathbb{R}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

  • 1


#128550 Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego

Napisane przez bb314 w 09.12.2016 - 11:03

\bl y' \cos x \sin x=y+\sin^3 x

 

y' \cos x \sin x=y\ \ \ \(^{*1}\)

 

\fr{dy}{dx}=\fr{y}{\sin x\cos x}

 

\fr{dy}{y}=\fr{dx}{\sin x\cos x}\ \ /\int

 

\ln y=\int\fr{1}{tg x}\cd\fr{1}{\cos^2x}dx=\int\fr{1}{tg x}\cd(tg x)'dx=\ln (C\,tg x)

 

y=C(y)tg x

podstawiamy do \ \ \ \(^{*1}\)

\(C'(y)tg x+\fr{C(y)}{\cos^2x}\)\cos x\sin x=C(y)tg x

 

C'(y)\sin^2x=0\gr\ \Rightarrow\ C(y)=D

rozwiązanie ogólne

\bl y=Dtg x

 

 

\bl y' \cos x \sin x-y=\sin^3 x

przewiduję rozwiązanie szczególne postaci  y=A\sin x

A\cos x\cd\cos x\sin x-A\sin x=\sin^3x

A\sin x(\cos^2x-1)=\sin^3x

A\sin x(-\sin^2x)=\sin^3x\gr\ \Rightarrow\ \bl A=-1

 

\re y=Dtg x-\sin x

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

  • 1


#128546 Jakie jest prawdopodobieństwo

Napisane przez bb314 w 08.12.2016 - 22:26

\overline{ \overline \Omega } =\frac{10!}{4!}

 

\overline{\overline{\Omega}}={10\choose 6}=\fr{10!}{4!\cd6!}=\ \bl210

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

  • 1


#128532 Jakie jest prawdopodobieństwo

Napisane przez bb314 w 08.12.2016 - 20:26

P=\(\fr14\)^3=\ \re\fr1{64}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

  • 1


#128531 Znaleźć prawdopodobieństwo

Napisane przez bb314 w 08.12.2016 - 19:32

P=\fr{{8\choose 5}\cdot{12-8\choose 9-5}}{{12\choose 9}}\gr\ \Rightarrow\ \re P=\fr{14}{55}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

  • 1


#128530 Znaleźć prawdopodobieństwo

Napisane przez bb314 w 08.12.2016 - 19:23

Zdarzenie przeciwne to - ciągnąc 10 razy nie trafiamy na to właściwe zdjęcie

 

P(A')=\fr{99}{100}\cd\fr{98}{99}\cd\ ...\ \cd\fr{91}{92}\cd\fr{90}{91}=\fr{90}{100}

 

P(A)=1-P(A')=1-\fr9{10}\gr\ \Rightarrow\ \re P=10\%

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

  • 1