Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

bb314

Rejestracja: 15 Dec 2011
Offline Ostatnio: Informacja prywatna
*****

Moje posty

W temacie: Najkrótsza cięciwa okręgu

10.01.2018 - 23:16

Uzasadnienie:

 

Dwie przecinające się w punkcie P cięciwy AB i CD dzielą się w ten sposób, że  AP\cd PB=CP\cd PD=m

 

oznaczmy   CD=y\ \ \ \ CP=x\ \ \ \ PD=d,  czyli  dx=m\gr\ \Rightarrow\ d=\fr mx

 

policzmy, kiedy cięciwa  CD  będzie najkrótsza

 

y=x+d=x+\fr mx\gr\ \Rightarrow\ y'=1-\fr m{x^2}

 

y'=0\gr\ \Rightarrow\ \fr m{x^2}=1\gr\ \Rightarrow\ x=\sq m\gr\ \Rightarrow\ d=\fr mx=\fr m{\sq m}=\sq m\gr\ \Rightarrow\ x=d\gr\ \Rightarrow\ \re CP=PD

   

czyli:   

cięciwa  CD  będzie najkrótsza, gdy  P  będzie jej środkiem, a to znaczy,

że środek okręgu (który musi leżeć na symetralnej cięciwy) leży na prostej prostopadłej do prostej  w punkcie  P.

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

W temacie: Najkrótsza cięciwa okręgu

10.01.2018 - 18:29

Połącz punkty A i B. Będzie to jedna cięciwa naszego okręgu. Przecięcie jej z prostą k oznacz jako P.

Środek szukanego okręgu leży na przecięciu symetralnej cięciwy AB i prostej prostopadłej do prostej k w punkcie P.

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

W temacie: Równanie

07.01.2018 - 20:12

a=\sq{2+\sq3}\cd\sq{2+\sq{2+\sq3}}\cd\sq{2+\sq{2+\sq{2+\sq3}}}\cd\sq{2-\sq{2+\sq{2+\sq3}}}

 

zastosuję trzy razy wzór   \bl (a+b)(a-b)=a^2-b^2

 

\sq{2+\sq{2+\sq{2+\sq3}}}\cd\sq{2-\sq{2+\sq{2+\sq3}}}=\sq{\(2+\sq{2+\sq{2+\sq3}}\)\(2-\sq{2+\sq{2+\sq3}}\)}=

=\sq{4-\(2+\sq{2+\sq3}\)}=\sq{2-\sq{2+\sq3}}

 

a=\sq{2+\sq3}\cd\sq{2+\sq{2+\sq3}}\cd\sq{2-\sq{2+\sq3}}

 

\sq{2+\sq{2+\sq3}}\cd\sq{2-\sq{2+\sq3}}=\sq{\(2+\sq{2+\sq3}\)\(2-\sq{2+\sq3}\)}=\sq{4-\(2+\sq3\)}=\sq{2-\sq3}

 

a=\sq{2+\sq3}\cd\sq{2-\sq3}=\sq{\(2+\sq3\)\(2-\sq3\)}=\sq{4-3}\gr\ \Rightarrow\ \re a=1

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

W temacie: Sześcian

04.01.2018 - 23:36

Jeśli odcięty narożnik położymy "na boku", to okaże się ostrosłupem, którego podstawą jest równoramienny trójkąt prostokątny o przyprostokątnych   =k.  Wysokość tego ostrosłupa również   =k.  Pole podstawy  =\fr12k^2.

Objętość narożnika    V=\fr13\cd\fr12k^2\cd k\gr\ \Rightarrow\ \re V=\fr{k^3}{6}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

W temacie: Pole trapezu

04.01.2018 - 10:40

Tw. kosinusów jest raczej mało przydatne w tym zadaniu.

Przyjmując oznaczenia na rysunku i oznaczając przecięcie przekątnych jako P mamy:

 

\triangle CDP  i  \triangle ABP  są podobne w skali   \fr49

 

CP=\fr4{13}\cd BC=\fr{48}{13}             PD=\fr{4}{13}\cd AD=\fr{20}{13}

 

CP^2+PD^2=\(\fr{48}{13}\)^2+\(\fr{20}{13}\)^2=16=4^2=CD^2\gr\ \Rightarrow\ CP^2+PD^2=CD^2

czyli

\triangle CDP  jest prostokątny, a zatem przekątne trapezu są do siebie prostopadłe, więc

 

P=\fr12\cd AD\cd BC\gr\ \Rightarrow\ \re P=30

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty: