Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

bb314

Rejestracja: 15 Dec 2011
Offline Ostatnio: Informacja prywatna
*****

Moje posty

W temacie: Oblicz całke

23.07.2017 - 17:23

 \bl I=\int\int_D\(x^2+y^2-bx+2y-1\)\, dx\,dy\ \ \ \ \ \ \ \ \ D:\ x^2+y^2\leq16\ \ \wedge\ \ x\geq 0

 

I=\int_0^4\int_{-\sq{16-x^2}}^{\sq{16-x^2}}\(x^2+y^2-bx+2y-1\)\,dy\, dx\

 

I=\int_0^4\|\ \\x^2y+\fr13y^3-bxy+y^2-y\\\ \|_{-\sq{16-x^2}}^{\sq{16-x^2}}\, dx\

 

I=\int_0^4\(x^2\sq{16-x^2}+\fr13(16-x^2)\sq{16-x^2}-bx\sq{16-x^2}+16-x^2-\sq{16-x^2}+\\\ +x^2\sq{16-x^2}+\fr13(16-x^2)\sq{16-x^2}-bx\sq{16-x^2}-16+x^2-\sq{16-x^2}\)\, dx\

 

I=\int_0^4\(\fr43x^2\sq{16-x^2}-2bx\sq{16-x^2}+\fr{26}{3}\sq{16-x^2}\)\,dx

 

I=\fr43\int_0^4x^2\sq{16-x^2}dx-2b\int_0^4x\sq{16-x^2}dx+\fr{26}{3}\int_0^4\sq{16-x^2}dx

 

I=\fr43\cd16\p-2b\cd \fr{64}3+\fr{26}3\cd4\p

 

\re I=\fr13\(168\p-128b\)

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

W temacie: wyznacz przedzialy monotonocznosci funkcji f

26.04.2017 - 22:00

\bl f(x)=\fr1{12}x^3-x+2

 

f'(x)=\fr14x^2-1

 

f'(x)=0\gr\ \Rightarrow\ \fr14x^2-1=0\gr\ \Rightarrow\ x=-2\ \ \vee\ \ x=2

 

dla  \re x\in(\infty,-2)\cup(2,\infty)\ \ \ f'(x)>0\gr\ \Rightarrow\    - funkcja rosnąca

 

dla  \re x\in(-2,\,2)\ \ \ f'(x)<0\gr\ \Rightarrow\    - funkcja malejąca

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:

 

W temacie: Całka równania różniczkowego

21.04.2017 - 22:00

\bl ydx +\(2\sqrt{xy}-x\)dy=0\ \ \ \(^{*1}\)
 
mamy równanie różniczkowe postaci     P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
\{P(x,y)=y\\Q(x,y)=2sqrt{xy}-x\gr\ \Rightarrow\ \{\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=1\\\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}=sqrt{\frac yx}-1\gr\ \Rightarrow\ \frac{\partial P(x,y)}{\partial y}\neq\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}
to oznacza, że to równanie różniczkowe nie jest zupełne
żeby doprowadzić je do postaci równania różniczkowego zupełnego, trzeba pomnożyć je przez czynnik całkujący \mu
\mu\left(x,y\right)=\varphi\left(x\right)\psi\left(y\right)\ \ \ gdzie\ \ \ \varphi\left(x\right)=e^{\int{f\left(x\right)\mbox{d}x}}\ \ \ \ \psi\left(y\right)=e^{\int{g\left(y\right)\mbox{d}y}}
 
a f(x) i g(y) są tak dobrane, aby spełniona była tożsamość \frac{\partial P\left(x,y\right)}{\partial y}-\frac{\partial Q\left(x,y\right)}{\partial x}\equiv Q\left(x,y\right)f\left(x\right)-P\left(x,y\right)g\left(y\right)
patrząc na P(x,y),\ Q(x,y) i ich pochodne przewiduję f(x)=\frac Ax,\ \ g(y)=\frac By, więc otrzymamy
1-\(sqrt{\frac yx}-1\)\equiv\(2sqrt{xy}-x\)\cd \frac{A}{x}-y\cd\frac{B}{y}
2-sqrt{\frac yx}\equiv2A\sqrt{\frac yx}-A-B\gr\ \Rightarrow\ \{2A=-1\\-A-B=2\gr\ \Rightarrow\ \{A=-\frac12\\B=-\frac32\gr\ \Rightarrow\ \{f(x)=\frac{-1}{2x}\\g(y)=-\frac{3}{2y}
\varphi\left(x\right)=e^{\int{f\left(x\right)\mbox{d}x}}=e^{\int\(-\frac1{2x}\)dx}=e^{-\frac12\ln x}=x^{-\frac12}=\frac{1}{sqrt x}
\psi\left(y\right)=e^{\int{g\left(y\right)\mbox{d}y}}=e^{\int\(-\frac3{2y}\)dy}=e^{-\frac32\ln y}=y^{-\frac32}=\frac{1}{y\sqrt y}
\mu\left(x,y\right)=\varphi\left(x\right)\psi\left(y\right)=\frac{1}{sqrt x}\cd\frac{1}{y\sqrt y}\gr\ \Rightarrow\ \mu\left(x,y\right)=\frac{1}{y\cd\sqrt{xy}}
przez ten czynnik całkujący mnożymy równanie  \ \(^{*1}\)
\frac{1}{y\cd\sqrt{xy}}\cd ydx+\(\frac{1}{y\cd\sqrt{xy}}\cd2sqrt{xy}-\frac{1}{y\cd\sqrt{xy}}\cd x\)dy=0\gr\ \Rightarrow\ \bl\frac1{sqrt{xy}}dx +\(\frac2y-\frac{sqrt x}{y\sqrt{y}\)dy=0\ \ \ \ \(^{*2}\)
mamy nowe P i Q
\{P(x,y)=\frac1{sqrt{xy}}\\Q(x,y)=\frac2y-\frac{sqrt x}{y\sqrt{y}\gr\ \Rightarrow\ \{\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=-\frac{1}{2y\sqrt{xy}}\\\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}=0-\frac{1}{2y\sqrt{xy}}\gr\ \Rightarrow\ \frac{\partial P(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}
to oznacza, że jest to równanie różniczkowe zupełne, więc zachodzą równości
\frac{\partial F\left(x,y\right)}{\partial x}=P\left(x,y\right)\ \ \ \(^{*3}\)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial F\left(x,y\right)}{\partial y}=Q\left(x,y\right)\ \ \ \(^{*4}\)
z \(^{*3}\) mamy
F\left(x,y\right)=\int{P\left(x,y\right)\mbox{d}x}+\varphi_1\left(y\right)=\int\frac1{sqrt{xy}}dx+\varphi_1(y)=\frac{2sqrt x}{sqrt y}+\varphi_1(y)\ \ \ \(^{*5}\)
 
\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=-\frac{sqrt x}{y\sqrt y}+\varphi'_1(y)
na mocy \(^{*4}\) mamy
-\frac{sqrt x}{y\sqrt y}+\varphi'_1(y)=\frac2y-\frac{sqrt x}{y\sqrt{y}\gr\ \Rightarrow\ \varphi'_1(y)=\frac2y\gr\ \Rightarrow\ \varphi_1(y)=\int\frac2ydy\gr\ \Rightarrow\ \varphi_1(y)=2\ln Cy
podstawiamy do \(^{*5}\) 
F(x,y)=\frac{2sqrt x}{sqrt y}+2\ln Cy=0
czyli rozwiązaniem jest funkcja w postaci uwikłanej   \re \sqrt {\frac{x}{y}}+\ln Cy=0
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

 


W temacie: Pole trójkąta na sferze

06.04.2017 - 17:04

\bl A=(1,1,2)\ \ B=(3,6,8)\ \ C=(4,1,2)\ \ D=(-1,3,4)    O=(a,b,c)
 
r^2=|AO|^2=(1-a)^2+(1-b)^2+(2-c)^2=6-2(a+b+2c)+a^2+b^2+c^2\gr\ \Rightarrow\
r^2=6-2(a+b+2c)+a^2+b^2+c^2\ \ \ \(^{*1}\)
 
r^2=|BO|^2=(3-a)^2+(6-b)^2+(8-c)^2=109-2(3a+6b+8c)+a^2+b^2+c^2\gr\ \Rightarrow\
r^2=109-2(3a+6b+8c)+a^2+b^2+c^2\ \ \ \(^{*2}\)
 
r^2=|CO|^2=(4-a)^2+(1-b)^2+(2-c)^2=21-2(4a+b+2c)+a^2+b^2+c^2\gr\ \Rightarrow\
r^2=21-2(4a+b+2c)+a^2+b^2+c^2\ \ \ \(^{*3}\)
 
r^2=|DO|^2=(-1-a)^2+(3-b)^2+(4-c)^2=26-2(-a+3b+4c)+a^2+b^2+c^2\gr\ \Rightarrow\
r^2=26-2(-a+3b+4c)+a^2+b^2+c^2\ \ \ \(^{*4}\)
odejmę  \ \(^{*1}\)  od  \ \(^{*2}\),   odejmę  \ \(^{*3}\)  od  \ \(^{*2}\),   odejmę  \ \(^{*4}\)  od  \ \(^{*2}\)
 
\{0=103-2(2a+5b+6c)\\0=88-2(-a+5b+6c)\\0=83-2(4a+3b+4c)\gr\ \Rightarrow\ \bl\{a=\fr52 \\b=-\fr32 \\c=9         podstawiam np. do  \ \(^{*1}\)\gr\ \Rightarrow\ \bl r=\sq{\fr{115}{2}}
 
|AB|=\sq{(1-3)^2+(1-6)^2+(2-8)^2}=\sq{65} 
|AC|=\sq{(1-4)^2+(1-1)^2+(2-2)^2}=3
|BC|=\sq{(3-4)^2+(6-1)^2+(8-2)^2}=\sq{62}
 
boki trójkąta sferycznego
\widehat{AB}=2\arcsin\fr{\fr12|AB|}{r}=2\arcsin\sq{\fr{13}{26}
\widehat{AC}=2\arcsin\fr{\fr12|AC|}{r}=2\arcsin\sq{\fr{9}{230}
\widehat{BC}=2\arcsin\fr{\fr12|BC|}{r}=2\arcsin\sq{\fr{31}{115}
 
\re\angle A\ =\arccos\fr{\cos\widehat{BC}-\cos\widehat{AB}\cos\widehat{AC}}{\sin\widehat{AB}\sin\widehat{AC}}\approx1,3978\approx\re\ 80,09^{\circ}
\re\angle B\ =\arccos\fr{\cos\widehat{AC}-\cos\widehat{AB}\cos\widehat{BC}}{\sin\widehat{AB}\sin\widehat{BC}}\approx0,445\approx\re\ 25,5^{\circ}
\re\angle C\ =\arccos\fr{\cos\widehat{AB}-\cos\widehat{AC}\cos\widehat{BC}}{\sin\widehat{AC}\sin\widehat{BC}}\approx1,5418\approx\re\ 88,34^{\circ}
 
\re S_{\widehat{ABC}}\ =r^2(\angle A+\angle B+\angle C-\p)\approx\re\ 13,973
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

 


W temacie: Ciąg arytmetyczny,geometryczny

24.03.2017 - 22:37

Wyraz ogólny ciągu arytmetycznego     \bl \fbox{\fbox{\ a_n=a_1+(n-1)r\ }}

więc

a_{k+1}=a_1+kr\ \ \ a_{k+3}=a_1+(k+2)r\ \ \ a_{2k+3}=a_1+(2k+2)r

jeżeli te trzy wyrazy mają stanowić ciąg geometryczny to musi zachodzić:

a_{k+1}\cd a_{2k+3}=(a_{k+3})^2

 

(a_1+kr)(a_1+2kr+2r)=\(a_1+(k+2)r\)^2

 

r^2k^2+(a_1r-2r^2)k-2r(a_1+2r)=0

 

jest to równanie kwadratowe ze względu na  k

 

\re k=\fr{2r-a_1\pm\sq{(a_1-2r)^2+8r(a_1+2r)}}{2r}

 

pierwiastki tego równania są odpowiedzią, jeśli są liczbami naturalnymi

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \   :shifty: \   :shifty: