Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

octahedron

Rejestracja: 01 Mar 2011
Offline Ostatnio: Mar 19 2013 15:10
*****

#103384 funkcja homograficzna

Napisane przez octahedron w 10.10.2012 - 21:51

y=\frac{2x+7}{x+4}=\frac{2x+8-1}{x+4}=\frac{2(x+4)}{x+4}-\frac{1}{x+4}=2-\frac{1}{x+4}

Jest to hiperbola y=-\frac{1}{x} przesunięta o wektor [-4,2], więc jej wierzchołki to (-1-4,1+2)=(-5,3) oraz (1-4,-1+2)=(-3,1), a osi symetri to y-2=x+4\Rightarrow y=x+6 i y-2=-(x+4)\Rightarrow y=-x-2
  • 1


#103382 Podobieństwo

Napisane przez octahedron w 10.10.2012 - 21:33

1)\\\.AC\parallel DE\Rightarrow \angle ACB=\angle DEB\\AB\parallel FE\Rightarrow \angle ABC=\angle FEC\}\Rightarrow \Delta FEC\sim\Delta DBE\\<br />\\\frac{|FE|}{|FC|}=\frac{|DB|}{|DE|}\Rightarrow |FE|\cdot|DE|=|AD|^2=|FC|\cdot|DB|\\<br />\\2)\\<br />\\FE\parallel AB\Rightarrow \angle CFE=\angle CAB\Rightarrow \Delta FEC\sim\Delta ABC\\<br />\\\frac{|CF|}{|AC|}=\frac{|FE|}{|AB|}\\<br />\\\frac{|AC|-|AD|}{|AC|}=\frac{|AD|}{|AB|}\\<br />\\1-\frac{|AD|}{|AC|}=\frac{|AD|}{|AB|}\\<br />\\1=\frac{|AD|}{|AC|}+\frac{|AD|}{|AB|}\\<br />\\\frac{1}{|AD|}=\frac{1}{|AC|}+\frac{1}{|AB|<br />\\
  • 1


#102911 Całka oznaczona

Napisane przez octahedron w 06.09.2012 - 01:19

Ogólnie:
\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\,dt=b'(x)f(b(x))-a'(x)f(a(x))
czyli:
\frac{d}{dx}\int_0^x e^{-t^2}\,dt=e^{-x^2}
  • 1


#102910 Zbiór wektorów

Napisane przez octahedron w 06.09.2012 - 01:14

Wektor zerowy możemy od razu odrzucić i badamy liniową niezależność:
\begin{bmatrix}1&2&3&3\\3&4&7&5\\4&1&5&-2\\5&1&6&-3\\0&1&1&2\end{bmatrix}\quad w_2-3w_1,\,w_3-4w_1,\,w_4-5w_1\\<br />\\\begin{bmatrix}1&2&3&3\\0&-2&-2&-4\\0&-7&-7&-14\\0&-9&-9&-18\\0&1&1&2\end{bmatrix}\quad w_2+2w_5,\,w_3+7w_5,\,w_4+9w_5\\<br />\\\begin{bmatrix}1&2&3&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&1&1&2\end{bmatrix}<br />\\

czyli niezależne są tylko wektory [1,2,3,3] i [0,1,1,2], a baza R^4 ma cztery wektory.
  • 1


#102278 Uzasadnij uogólnione twierdzenie Pitagorasa

Napisane przez octahedron w 21.07.2012 - 12:26

A to pierwsze można w ten sposób?


Nie można, jedynka trygonometryczna bierze się właśnie z tw. Pitagorasa.
  • 1


#102258 Całka oznaczona

Napisane przez octahedron w 18.07.2012 - 21:11

Albo tak:

\int e^{2x}\sin 3x\,dx=\frac{1}{2i}\int e^{2x}\[e^{3ix}-e^{-3ix}\]\,dx=\frac{1}{2i}\[\int e^{x(2+3i)}\,dx-\int e^{x(2-3i)}\,dx\]=\\<br />\\=\frac{1}{2i}\[\frac{1}{2+3i}e^{x(2+3i)}-\frac{1}{2-3i}e^{x(2-3i)}\]=\frac{e^{2x}}{26i}\[(2-3i)e^{3ix}-(2+3i)e^{-3ix}\]=\frac{e^{2x}}{26i}\[2(e^{3ix}-e^{-3ix})-3i(e^{3ix}+e^{-3ix})\]=\\<br />\\=\frac{e^{2x}}{26i}[4i\sin 3x-6i\cos 3x]=\frac{e^{2x}}{13}(2\sin 3x-3\cos 3x)
  • 1


#102254 Funkcja dwóch zmiennych

Napisane przez octahedron w 18.07.2012 - 20:08

x^2+y^2=C\ge 0\\<br />\\f(x,y)=g( C)=Ce^{-C}\\<br />\\g'( C)=e^{-C}(1-C)\\\{C<1\Rightarrow g'( C)>0\\C=1\Rightarrow g'( C)=0\\C>1\Rightarrow g'( C)<0\}\Rightarrow \text{ maksimum dla }C=1\\<br />\\g(0)=0\\<br />\\\lim_{C\to\infty}g( C)=\lim_{C\to\infty}\frac{C}{e^C}=^H\lim_{C\to\infty}\frac{1}{e^C}=0\\<br />\\

czyli f(x,y) osiąga minimum w (0,0) i maksima e^{-1} na okręgu x^2+y^2=1
  • 1


#102241 Wyznaczanie granicy funcji

Napisane przez octahedron w 16.07.2012 - 14:21

No faktycznie, nie zauważyłem.
  • 1


#102234 Matematyka finansowa - zadanie 3

Napisane przez octahedron w 15.07.2012 - 18:36

Inflację mierzy się wzrostem cen, a nie spadkiem wartości pieniądza, zresztą wtedy nie mogłaby przekraczać 100%, a takie przypadki się przecież zdarzały.
  • 1


#102161 Ciało

Napisane przez octahedron w 09.07.2012 - 00:42

Znajdźmy element odwrotny do (a,b)\ne(0,0):

(a,b)\cdot(c,d)=(1,0)\\<br />\\\{ac+2bd=1\\bc+ad=0\.\\<br />\\W=a^2-2b^2\\<br />\\W_c=a\\<br />\\W_d=-b\\<br />\\W=0\Leftrightarrow \|\frac{a}{b}\|=\sqrt{2}<br />\\

czyli jeśli mamy liczby rzeczywiste, to można znaleźć takie (a,b), dla którego nie ma elementu odwrotnego, więc K nie jest wtedy ciałem. W przypadku liczb wymiernych zawsze W\ne 0, czyli taki element istnieje. Pozostałe własności ciała łatwo sprawdzić.
  • 1


#102105 Moment bezwładności

Napisane przez octahedron w 02.07.2012 - 21:06

<br />\\\{x=r\cos\varphi\\y=r\sin\varphi\.\\<br />\\z=r^2,\,z=2+r\\<br />\\r^2=2+r\Rightarrow r=2\\<br />\\I_{ox}=\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_{r^2}^{2+r}(z^2+r^2\sin^2\varphi)zr\,dzdrd\varphi<br />\\
  • 1


#102104 Masa linii łańcuchowej

Napisane przez octahedron w 02.07.2012 - 20:54

M=\int_0^t\frac{1}{y}\sqrt{1+\(y'\)^2}\,dx=\int_0^t\frac{1}{t\cosh\(\frac{x}{t}\)}\sqrt{1+\(\cosh\(\frac{x}{t}\)+\sinh\(\frac{x}{t}\)\)^2}\,dx=\int_0^1\frac{1}{\cosh(u)}\sqrt{1+\(\cosh(u)+\sinh(u)\)^2}\,du=\\<br />\\=\int_0^1\frac{2}{e^u+e^{-u}}\sqrt{1+e^{2u}}\,du=\int_0^1\frac{2e^u}{e^{2u}+1}\sqrt{1+e^{2u}}\,du=\int_1^e\frac{2}{\sqrt{1+z^2}}\,dz\\<br />\\\sqrt{1+z^2}=z+t\\<br />\\1+z^2=z^2+2zt+t^2\\<br />\\z=\frac{1-t^2}{2t}\\<br />\\dz=\frac{-2(t^2+1)}{4t^2}\,dt\\<br />\\\int\frac{2}{\sqrt{1+z^2}}\,dz=\int\frac{2}{\frac{1-t^2}{2t}+t}\cdot \frac{-2(t^2+1)}{4t^2}\,dt=\int\frac{-2}{t}\,dt=-2\ln|t|=-2\ln\|\sqrt{1+z^2}-z\|\\<br />\\M=2\ln\|\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{1+e^2}-e}\|<br />\\
  • 1


#102100 Całka podwójna

Napisane przez octahedron w 02.07.2012 - 20:04

\int_0^2\int_{\sqrt{2x-x^2}}^{\sqrt{36-x^2}}y\,dydx+\int_2^6\int_0^{\sqrt{36-x^2}}y\,dydx=\frac{1}{2}\int_0^236-2x\,dx+\frac{1}{2}\int_2^6 36-x^2\,dx=71\frac{1}{3}<br />\\

lub

\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^6 r^2\sin\varphi\,drd\varphi-\int_0^{\pi}\int_0^1 r^2\sin\varphi\,drd\varphi=\int_0^{\frac{\pi}{2}} 72\sin\varphi\,d\varphi-\int_0^{\pi}\frac{1}{3}\sin\varphi\,d\varphi=71\frac{1}{3}
  • 1


#102084 wektory ortogonalne czy ortonormalne

Napisane przez octahedron w 01.07.2012 - 16:57

Ortonormalna nie jest, bo wektory nie mają jednostkowej długości. Natomiast jest ortogonalna:

\vec{a}\cdot\vec{b}=0\\<br />\\\vec{a}\cdot\vec{c}=0\\<br />\\\vec{b}\cdot\vec{c}=0<br />\\
  • 1


#102083 Wyznacz wartości własne i wektory własne

Napisane przez octahedron w 01.07.2012 - 16:49

A_\varphi=\begin{bmatrix}1&-1&2\\0&3&-1\\0&0&4\end{bmatrix}\\\\<br />\\\det(A_\varphi-\lambda I)=\det\begin{bmatrix}1-\lambda&-1&2\\0&3-\lambda&-1\\0&0&4-\lambda\end{bmatrix}=(1-\lambda)(3-\lambda)(4-\lambda)=0\\\\<br />\\\lambda=1:\\\\<br />\\\begin{bmatrix}0&-1&2\\0&2&-1\\0&0&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\Rightarrow\{-y+2z=0\\2y-z=0\\3z=0\.\,\Rightarrow\{y=0\\z=0\.\\\\<br />\\u_1=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\\\\<br />\\\lambda=3:\\\\<br />\\\begin{bmatrix}-2&-1&2\\0&0&-1\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\Rightarrow\{-2x-y+2z=0\\-z=0\\z=0\.\,\Rightarrow\{y=-2x\\z=0\.\\\\<br />\\u_3=\begin{bmatrix}1\\-2\\0\end{bmatrix}\\\\<br />\\\lambda=4:\\\\<br />\\\begin{bmatrix}-3&-1&2\\0&-1&-1\\0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\Rightarrow\{-3x-y+2z=0\\-y-z=0\\0=0\.\,\Rightarrow\{x=z\\y=-z\.\\\\<br />\\u_4=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}\\\\<br />\\<br />\\<br />\\
  • 1