Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

- zdjęcie

octahedron

Rejestracja: 01 Mar 2011
Offline Ostatnio: Mar 19 2013 15:10
*****

Moje posty

W temacie: Udowodnić własność z pierścieni

19.03.2013 - 15:11

Z rozdzielności mnożenia względem dodawania:

 

r\cdot 0+r\cdot 0=r\cdot(0+0)=r\cdot 0

 

Dla dodawania istnieje zawsze element odwrotny, więc:

 

r\cdot 0+r\cdot 0+[-(r\cdot 0)]=r\cdot 0+[-(r\cdot 0)]

r\cdot 0=0

 

Analogicznie dla 0\cdot r=0


W temacie: homomorfizm, grupa abelowa dowód

14.03.2013 - 23:50

Niech x,y\in G, z definicji homomorfizmu mamy:

 

\varphi(x\cdot y)=\varphi(x)\cdot\varphi(y)

(x\cdot y)\cdot (x\cdot y)=(x\cdot x)\cdot (y\cdot y)

x\cdot(y\cdot x)\cdot y=x\cdot(x\cdot y)\cdot y

x^{-1}\cdot x\cdot(y\cdot x)\cdot y\cdot y^{-1}=x^{-1}\cdot x\cdot(x\cdot y)\cdot y\cdot y^{-1}

e\cdot(y\cdot x)\cdot e=e\cdot(x\cdot y)\cdot e

y\cdot x=x\cdot y

 

czyli działanie jest przemienne


W temacie: grupa

14.03.2013 - 23:28

1)

(a\otimes b)\otimes c=f\(f^{-1}\(f[f^{-1}(a)\cdot f^{-1}(b)]\)\cdot f^{-1}( c)\)=f\(f^{-1}(a)\cdot f^{-1}(b)\cdot f^{-1}( c)\)=\\=f\(f^{-1}(a)\cdot f^{-1}\(f[f^{-1}(b)\cdot f^{-1}( c)]\)\)=a\otimes(b\otimes c)

 

czyli \otimes jest łączne.

 

2)

G ma element neutralny e, więc:

 

a\otimes f(e)=f\(f^{-1}(a)\cdot f^{-1}\(f(e)\)\)=f\(f^{-1}(a)\cdot e\)=f\(f^{-1}(a)\)=a\\f(e)\otimes a=f\(f^{-1}\(f(e)\)\cdot f^{-1}(a)\)=f\(e\cdot f^{-1}(a)\)=f\(f^{-1}(a)\)=a

 

zatem f(e) jest elementem neutralnym \otimes.

 

3)

Każdy element g\in G ma element odwrotny g^{-1}, stąd:

 

a\otimes f\(\[f^{-1}(a)\]^{-1}\)=f\(f^{-1}(a)\cdot \[f^{-1}(a)\]^{-1}\)=f(e)\\f\(\[f^{-1}(a)\]^{-1}\)\otimes a=f\(\[f^{-1}(a)\]^{-1}\cdot f^{-1}(a)\)=f(e)

 

więc każdy element a\in A ma element odwrotny f\(\[f^{-1}(a)\]^{-1}\)

 

Z 1-3 wynika, że (A,\otimes) jest grupą.


W temacie: funkcja homograficzna

10.10.2012 - 21:51

y=\frac{2x+7}{x+4}=\frac{2x+8-1}{x+4}=\frac{2(x+4)}{x+4}-\frac{1}{x+4}=2-\frac{1}{x+4}

Jest to hiperbola y=-\frac{1}{x} przesunięta o wektor [-4,2], więc jej wierzchołki to (-1-4,1+2)=(-5,3) oraz (1-4,-1+2)=(-3,1), a osi symetri to y-2=x+4\Rightarrow y=x+6 i y-2=-(x+4)\Rightarrow y=-x-2

W temacie: Podobieństwo

10.10.2012 - 21:33

1)\\\.AC\parallel DE\Rightarrow \angle ACB=\angle DEB\\AB\parallel FE\Rightarrow \angle ABC=\angle FEC\}\Rightarrow \Delta FEC\sim\Delta DBE\\<br />\\\frac{|FE|}{|FC|}=\frac{|DB|}{|DE|}\Rightarrow |FE|\cdot|DE|=|AD|^2=|FC|\cdot|DB|\\<br />\\2)\\<br />\\FE\parallel AB\Rightarrow \angle CFE=\angle CAB\Rightarrow \Delta FEC\sim\Delta ABC\\<br />\\\frac{|CF|}{|AC|}=\frac{|FE|}{|AB|}\\<br />\\\frac{|AC|-|AD|}{|AC|}=\frac{|AD|}{|AB|}\\<br />\\1-\frac{|AD|}{|AC|}=\frac{|AD|}{|AB|}\\<br />\\1=\frac{|AD|}{|AC|}+\frac{|AD|}{|AB|}\\<br />\\\frac{1}{|AD|}=\frac{1}{|AC|}+\frac{1}{|AB|<br />\\