Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Bardzo ciekawe zadanie


  • Zamknięty Temat jest zamknięty
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Piotrek

Piotrek

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 2 postów
0
Neutralny

Napisano 20.11.2008 - 01:15

mam do rozwiązania równanie różniczkowe postaci:

x''(t)+3x'(t)+2x(t)=cos(t)

x(o)=0 , x'(0)=1

czy może mi ktoś z tym pomóc?

z góry dziękuję, pozdrawiam
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3137 postów
424
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 30.12.2015 - 13:57

x''(t)+3x'(t)+2x(t)=\cos t          x(0)=0 ,\  x'(0)=1
rozwiązanie ogólne
r^2+3r+2=0\quad\to\quad r=-1\ \vee\ r=-2
x_o(t)=ae^{-t}+be^{-2t}
rozwiązanie szczególne przewidujemy postaci  
x_s(t)=A\sin t+B\cos t
x'_s(t)=A\cos t-B\sin t
x''_s(t)=-A\sin t-B\cos t
podstawiam do naszego równania
-A\sin t-B\cos t+3(A\cos t-B\sin t)+2(A\sin t+B\cos t)=\cos t
(A-3B)\sin t+(3A+B)\cos t=\cos t\quad\to\quad \{A-3B=0\\3A+B=1    \quad\to\quad \{A=\fr3{10}\\B=\fr1{10}
x_s(t)=\fr3{10}\sin t+\frac1{10}\cos t
x(t)=x_o(t)+x_s(t)=ae^{-t}+be^{-2t}+\fr3{10}\sin t+\frac1{10}\cos t
x'(t)=-ae^{-t}-2be^{-2t}+\fr3{10}\cos t-\frac1{10}\sin t
x(0)=ae^{-0}+be^{-2\cd0}+\fr3{10}\sin 0+\frac1{10}\cos 0=a+b+\fr1{10}
x'(0=-ae^{-0}-2be^{-2\cd0}+\fr3{10}\cos 0-\frac1{10}\sin 0=-a-2b+\fr3{10}
\{a+b+\fr1{10}=0\\-a-2b+\fr3{10}=1   \quad\to\quad \{a=-\fr7{10}\\b=\fr6{10}
x(t)=-\fr7{10}e^{-t}+\fr6{10}e^{-2t}+\fr3{10}\sin t+\frac1{10}\cos t

  • 0