Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka nieoznaczona trygonometryczna 3

całka nieoznaczona rachunek całkowy

  • Zamknięty Temat jest zamknięty
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Uriel

Uriel

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 5 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 16.11.2008 - 14:22

\int\frac{1+sinx}{sinx+cosx}
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 29.07.2015 - 13:52

*
Najwyższa ocena

Podzielmy na dwie całki i trygonometryczne podstawienie

 

u=\tan \left(\frac{x}{2}\right):\quad \quad dx=\frac{2}{1+u^2}du,\:\sin \left(x\right)=\frac{2u}{1+u^2},\:\cos \left(x\right)=\frac{1-u^2}{1+u^2}

 

\int \frac{1}{\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)}dx=\int \frac{1}{\frac{2u}{1+u^2}+\frac{1-u^2}{1+u^2}}\frac{2}{1+u^2}du=\int \:-\frac{2}{\left(u-2\right)u-1}du=-2\int \frac{1}{\left(u-1\right)^2-2}du

 

Dalej już nie jest tak źle

 

A druga

 

\int \frac{\sin \left(x\right)}{\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)}dx=\int \frac{\frac{2u}{1+u^2}}{\frac{2u}{1+u^2}+\frac{1-u^2}{1+u^2}}\frac{2}{1+u^2}du=\int \frac{4u}{-u^4+2u^3+2u+1}du=4\int \frac{1-u}{4\left(u^2-2u-1\right)}+\frac{u+1}{4\left(u^2+1\right)}du=\\4\left(\int \frac{1-u}{4\left(u^2-2u-1\right)}du+\int \frac{u+1}{4\left(u^2+1\right)}du\right)

 

i teraz

 

\int \frac{1-u}{4\left(u^2-2u-1\right)}du

 

v=u^2-2u-1:\quad \quad dv=2\left(u-1\right)du,\:\quad \:du=\frac{1}{2\left(u-1\right)}dv=\frac{1}{4}\int \:-\frac{1}{2v}dv=\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2}\ln \left(u^2-2u-1\right)\right)=-\frac{\ln \left(u^2-2u-1\right)}{8}+C

 

oraz

 

\int \frac{u+1}{4\left(u^2+1\right)}du=\frac{1}{4}\left(\int \frac{u}{u^2+1}du+\int \frac{1}{u^2+1}du\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{\ln \left(u^2+1\right)}{2}+\arctan \left(u\right)\right)+C

 

Zostaje powrót do zmiennej x i mamy mały kosmiczny wynik :)

 


  • 3

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską






Tematy podobne do: Całka nieoznaczona trygonometryczna 3     x