Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Relacje - relacja równoważnościowa -zadanie


  • Zamknięty Temat jest zamknięty
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Lachupakabra

Lachupakabra

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny

Napisano 12.11.2008 - 20:06

Witam,

Mam problem z zadaniem z relacji, wszystko rozumiem wiem jak się to zapisuje tylko nie wiem jak się zabrać. Chciałbym aby wytłumaczył mi to ktoś na tym zadanku:

X- zbior osob danego miasta

S zawiera się XxX

xSy <=> x jest szefem y
xSy <=> x jest przyjacielem y
xSy <=> x jest synem y
xSy <=> x ma taki sam wiek jak y

Czy jest to relacja równoważnościowa?

Wiem że po kolei się to sprawdza czy jest zwrotna, symetryczna lub przechodnia, ale jak się właśnie to dowodzic w kazdym ? proszę o pomoc i z góry dziękuje
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 kumaj

kumaj

    Pierwsza pochodna

  • Użytkownik
  • 85 postów
8
Mały Pomocnik I

Napisano 14.11.2008 - 10:21

tu są cztery różne relacje oznaczone tym samym symbolem. Oznaczmy te przykłady:
A: xSy <=> x jest szefem y
B: xSy <=> x jest przyjacielem y
C: xSy <=> x jest synem y
D: xSy <=> x ma taki sam wiek jak y
opis np. w przykładzie A xSy odczytuj jako skrócony(symboliczby) zapis stwierdzenia, że x jest szefem y-a, czy inaczej y jest jego podwładnym. Dalej na tzw. chłopski rozum.

Relacja równoważności musi być zwrotna, symetryczna i przechodnia.

Zwrotność:
Nie jest z pewnością zwrotna aRa relacja C. Nikt nie może być swoim synem. W takim razie C nie jest relacją równoważności.
B i D są zwrotne (każdy psychicznie zdrowy człowiek jest swoim przyjacielem (mam nadzieję) i jest w swoim wieku).
Mam wątpliwości co do A. Trzeba rozstrzygnąć problem : czy każdy jest swoim szefem? Przyjmijmy jednak, że tak.

Symetryczność (aRb wtedy i tylko wtedy, gdy bRa):
A nie jest symetryczna, bo na ogół jeżeli x jest szefem y-ka, to y nie jest szefem x-a tylko jego podwładnym. Tym samym A nie jest relacją równoważności.
B uznałabym za relację symetryczną (rozumiem, że tzw. fałszywej przyjaźni nie określa się jako przyjaźń)
D nie budzi tutaj wątpliwości: jeśli jesteś w moim wieku to i ja jestem w twoim wieku.
Zostały więc B i D.

Przechodniość (jeżeli aRb i bRc to aRc):
Wprawdzie mówi się czasami, że przyjaciele moich przyjaciół są moimi przyjaciółmi, ale ma to jednak charakter deklaratywny. Możemy ich nawet nie znać. B nie jest przechodnia, a tym samym nie jest relacją równoważności.

Jest natomiast przechodnią relacja bycia w tym samym wieku.

Wniosek: z przedstawionych tu przykładów relacji ostatnia jest relacją równoważności.
Relacja taka dzieli zbiór na rozłączne i dające w sumie całą dziedzinę tej relacji - klasy abstrakcji. Są to zbiory elementów pozostających ze sobą w takiej relacji. W tym przypadku klasą abstrakcji będzie zbiór ludzi urodzonych w tym samym roku.
Czy teraz lepiej? Może coś dopowiedzieć? Powodzenia. kumaj
  • 0