Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Różnica kwadratów i układ równań


  • Zamknięty Temat jest zamknięty
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 tommy

tommy

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 6 postów
0
Neutralny

Napisano 01.12.2007 - 18:18

1. Przestaw liczbę 27 w postaci różnicy kwadratów dwóch licz naturalnych. Na ile sposobów można to zrobić? Dlaczego?

I tutaj mam tak: 27=6^2- 3^2, i nie wiem czy są jeszcze inne rozwiązania

2. Za pomocą układów równań znajdź wszystkie przedstawienia liczby 264 w postaci różnicy kwadratów.
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Przemyslaw Lyzwa

Przemyslaw Lyzwa

    Operator całkujący

  • VIP
  • 315 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.12.2007 - 18:22

Używaj mimeTeXa
pisz 6^2 a nie "6 do kwadratu".
Zapoznaj się z poradnikiem mimeTeX'a

aby uzyskać zapis 6^2
wpisz
[TeX]6^2[/TeX]

  • 0
Na przykład nigdy nie zostaniemy matematykami, nawet znając na pamięć cudze dowody, jeśli nasz umysł nie jest zdolny do samodzielnego rozwiązywania jakichś problemów..." .
Kartezjusz
e^{2\pi i}-1=0

#3 Gralcio

Gralcio

    Kombinator

  • VIP
  • 235 postów
37
Mały Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.12.2007 - 19:15

1. Przestaw liczbę 27 w postaci różnicy kwadratów dwóch licz naturalnych. Na ile sposobów można to zrobić? Dlaczego?

I tutaj mam tak: 27=6^2- 3^2, i nie wiem czy są jeszcze inne rozwiązania


Mamy: 27=a^{2}-b^{2}=(a-B)(a+B)
Rozbicia 27 na dwa czynniki są następujące: 27 i 1, 9 i 3, 3 i 9, 1 i 27
Dalej, muszą istnieć liczby naturalne a,b spełniające układ równań:
\{ a-b = c_{1} \\ a+b = c_{2},
gdzie c_{1}, c_{2} to kolejne rozbicia głównej liczby na dwa czynniki.

Następnie podstawiamy wszystkie pary czynników do tego układu i dla każdej takiej pary wyliczamy a,b. Te pary rozwiązań, które są liczbami naturalnymi, są rozwiązaniami naszego zadania.
Uwaga: Ponieważ dla a,b będących liczbami naturalnymi, zachodzi a+b\ge a-b, możemy rozpatrywać tylko te pary, w których c_{2}\ge c_{1}, a pozostałe odrzucić.

Trzeba więc rozpatrzyć jedynie pary: 3 i 9, 1 i 27
Dla tej pierwszej pary otrzymujemy parę rozwiązań: a=6, b=3 (to jest to rozwiązanie, które uzyskałeś). Są to liczby naturalne i jest to poprawne rozwiązanie zadania.
Dla drugiej pary otrzymujemy: a=14, b=13. Są to liczby naturalne i jest to również poprawne rozwiązanie zadania.
Z braku innych rozkładów liczby 27 na dwa czynniki, są to jedyne rozwiązania.

2. Za pomocą układów równań znajdź wszystkie przedstawienia liczby 264 w postaci różnicy kwadratów.


To robimy analogicznie, ponieważ 264=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11, więc mamy do sprawdzenia pary c_{1}, c_{2}:
* 2, 132
* 3, 88
* 4, 66
* 6, 44
* 8, 33
* 11, 24
* 12, 22
Pozostaje tylko poprzeliczać układy, ale to już możesz zrobić samodzielnie.

Pozdrawiam,
G.
  • 0