Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Udowodnij indukcyjnie , że dla każdej liczby naturalnej dodatniej liczba...



  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 lukasadek

lukasadek

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 5 postów
0
Neutralny

Napisano 14.10.2008 - 18:31

Udowodnij indukcyjnie , że dla każdej liczby naturalnej dodatniej liczba
a) 4^n+15n-1 jest podzielna przez 9
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.08.2014 - 11:47

Zadanie z posta http://matma4u.pl/to...datniej-liczba/

 

"Udowodnij indukcyjnie , że dla każdej liczby naturalnej dodatniej liczba 4^n+15n-1 jest podzielna przez 9"

 

Swoją drogą naturalnej dodatniej?? A są ujemne naturalne :-)

 

// Nie, ale niektórzy zaliczają 0 do naturalnych, więc sformułowanie jest jak najbardziej uzasadnione. - Ereinion

 

Rozwiązanie:

 

1^{\circ} Dla n=1 mamy

 

4^1+15\cdot 1-1=18 a 18 jest podzielne przez 9 jak wiadomo

 

2^{\circ} Zakładamy, że wyrażenie 4^k+15k-1 jest podzielne przez 9 dla  k\in N

 

Teaz: Sprawdzamy czy wyrażenie 4^{k+1}+15{k+1}-1 jest podzielne przez 9

 

          4^{k+1}+15{k+1}-1=4\cdot 4^k+15k+15-1=4\cdot 4^k+15k+14

 

         I teraz może inaczej niż zazwyczaj (nie będę dowodził wprost, że 4\cdot 4^k+15k+14 jest podzielne przez 9). 

 

         Ponieważ z założenia 4^k+15k-1 jest podzielne przez 9 zatem jeśli różnica wyrażeń \(T(k+1)-T(k)\)

        

         4\cdot 4^k+15k+14-\(4^k-15k-1\) jest podzielna przez 9 to 4\cdot 4^k+15k+14 też jest podzielne przez 9

 

         4\cdot 4^k+15k+14-\(4^k-15k-1\)=3\cdot 4^k+15. I ponownie przeprowadźmy indukcję z pytaniem czy 3\cdot 4^k+15

 

         1^{\circ} Dla k=1 mamy

 

         3\cdot 4^1+15=27 a 27 jest podzielne przez 9 jak wiadomo

 

         2^{\circ} Zakładamy, że wyrażenie 3\cdot 4^m+15 jest podzielne przez 9 dla  m\in N

 

         Teaz: Sprawdzamy czy wyrażenie 3\cdot 4^{m+1}+15 jest podzielne przez 9

 

                  Ponownie zastosuję manewr z różnicą wyrażeń

 

                  3\cdot 4^{m+1}+15-\(3\cdot 4^m+15)\)=3\cdot 4\cdot 4^m+15-3\cdot 4^m-15=12\cdot 4^m-3\cdot 4^m=9\cdot 4^m  a więc podzielne przez 9

 

         A więc skoro 3\cdot 4^{m+1}+15-\(3\cdot 4^m+15)\) jest podzielne przez 9 a z założenia 3\cdot 4^m+15 jest podzielne przez 9, więc

 

         3\cdot 4^{m+1}+15 jest podzielne przez 9, więc

 

4^{k+1}+15{k+1}-1 również podzielne przez 9, co staraliśmy się udowodnić

 

3^{\circ} Na podstawie zasad Indukcji matematycznej wyrażenie 4^n+15n-1 jest podzielne przez 9 dla każdego n\in N

 

 

Bez stosowania manewrów

 \bigwedge_{n\geq 1} \bigvee_{r\in Z}\(4^{n}+15n -1)=9r.

n_{0}=1 , 9|18.

\bigwedge_{n=k\geq 1}\(4^{k}+15k-1 =9s\)\rightarrow \(4^{k+1}+15(k+1)-1= 9t\),

4^{k+1}+15(k+1)-1= 4\cdot 4^{k}+15k+15-1=4\(9s-15k+1\)+15k+14=36s -45k +18=9(4s-5k+2)=9t, t=4s-5k+2\in Z.

c.b.b.o.


Użytkownik Ereinion edytował ten post 24.08.2014 - 20:55

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską