Udowodnij indukcyjnie , że dla każdej liczby naturalnej dodatniej liczba...
#1
Napisano 14.10.2008 - 18:31
a) jest podzielna przez 9
Napisano 25.09.2011 - 17:55
#2
Napisano 24.08.2014 - 11:47
Zadanie z posta http://matma4u.pl/to...datniej-liczba/
"Udowodnij indukcyjnie , że dla każdej liczby naturalnej dodatniej liczba jest podzielna przez 9"
Swoją drogą naturalnej dodatniej?? A są ujemne naturalne
// Nie, ale niektórzy zaliczają 0 do naturalnych, więc sformułowanie jest jak najbardziej uzasadnione. - Ereinion
Rozwiązanie:
Dla n=1 mamy
a 18 jest podzielne przez 9 jak wiadomo
Zakładamy, że wyrażenie jest podzielne przez 9 dla k\in N
Teaz: Sprawdzamy czy wyrażenie jest podzielne przez 9
I teraz może inaczej niż zazwyczaj (nie będę dowodził wprost, że jest podzielne przez 9).
Ponieważ z założenia jest podzielne przez 9 zatem jeśli różnica wyrażeń
jest podzielna przez 9 to też jest podzielne przez 9
. I ponownie przeprowadźmy indukcję z pytaniem czy
Dla k=1 mamy
a 27 jest podzielne przez 9 jak wiadomo
Zakładamy, że wyrażenie jest podzielne przez 9 dla m\in N
Teaz: Sprawdzamy czy wyrażenie jest podzielne przez 9
Ponownie zastosuję manewr z różnicą wyrażeń
a więc podzielne przez 9
A więc skoro jest podzielne przez 9 a z założenia jest podzielne przez 9, więc
jest podzielne przez 9, więc
również podzielne przez 9, co staraliśmy się udowodnić
Na podstawie zasad Indukcji matematycznej wyrażenie jest podzielne przez 9 dla każdego
Bez stosowania manewrów
c.b.b.o.
Użytkownik Ereinion edytował ten post 24.08.2014 - 20:55
Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. Nad kreską