Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Całkowanie ... funkcji trygonometrycznych


  • Zamknięty Temat jest zamknięty
5 odpowiedzi w tym temacie

#1 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.09.2008 - 14:54

Teraz zabieram się za proste funkcje trygonometryczne ... i na samym początku mam problem z następującym zadankiem:

Oblicz całkę nieoznaczoną korzystając z metody całkowania przez części:

\int{cos^2xdx}


A więc ... zacząłem w ten sposób:

\int {cosx\cdot cosxdx}=\[\mbox{f(x)=cos x         f'(x)=-sin x\\g'(x)=cos x        g(x)=sin x}\]=cosx\cdot sinx-\int{-sinx\cdot sinxdx}=\\<br /><br />=cosx\cdot sinx+\int{sinx\cdot sinxdx}=\[\mbox{f(x)=sin x         f'(x)=cosx\\g'(x)=sin x        g(x)=-cos x}\]=\\<br /><br />=cosx\cdot sinx+sinx\cdot(-cosx)-\int{cosx\cdot(-cosx)dx}= cosx\cdot sinx+sinx\cdot(-cosx)+\int{cosx\cdot cosxdx}=\\

=cosx\cdot sinx-sinx\cdot cosx+\int{cosx\cdot cosxdx}=\bl \int{cosx\cdot cosxdx}

Co ja mam zrobić dalej? :| Wyszło mi dokładnie to samo co na początku ... Spróbowałem jeszcze dla pewności ( pewności to ja nie wiem, ale dla praktyki na pewno :P ) metodą podstawiania:

\int{(cosx)^2dx}=\[\mbox{u=cosx        u'=-sinx\\du=-sinxdx}\]=-\frac{1}{sinx}\int{(cosx)^2\cdot(-sinx)dx}=-\frac{1}{sinx}\int{u^2du}=\\<br /><br />-\frac{1}{sinx}\cdot\frac{1}{3}u^3\mbox{    }\Rightarrow\mbox{    }-\frac{1}{sinx}\cdot\frac{1}{3}(cosx)^3

Niestety, nie zgadza się ... ;)

Każda wskazówka, gdzie popełniłem błąd etc. będzie dla mnie bardzo przydatna ... :) i bardzo bym prosił o zrobienie tego przykładu zarówno pierwszą, jak i drugą metodą.

Pozdrawiam, Tomalla :mrgreen:
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 niki87

niki87

    zła i wredna :)

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 5953 postów
1512
Starszy Wykładowca II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 23.09.2008 - 22:43

a więc:
najpierw sposób dla tych co są dobrze zorientowani w trygonometrii :mrgreen: :mrgreen:
\int cos^2xdx=\int \frac{cos2x+1}{2}dx=\frac{1}{2}\int cos2x+1dx=\\<br />\\\frac{1}{2}\int cos2xdx+\frac{1}{2}\int 1dx=\left[\begin{array}{c}t=2x\\dt=2dx\end{array}\right]=\frac{1}{2}\int \frac{1}{2}\cdot 2cos2xdx+\frac{1}{2}x=\\<br />\\\frac{1}{4}\int costdt+\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}sint+\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}sin2x+\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}\cdot 2sinxcosx+\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}(x+sinxcosx)+C
teraz metodą przez części:
\int cos^2x=\left[\begin{array}{cc}f(x)=cosx&f'(x)=-sinx\\g'(x)=cosx&g(x)=sinx\end{array}\right]=sinxcosx+\int sin^2x=\\<br />\\sinxcosx+\int 1-cos^2x=sinxcosx+\int 1-\int cos^2x=sinxcosx+x+\int cos^2x
zatem:
\int cos^2x=sinxcosx+x-\int cos^2x \Rightarrow\\<br />\\ 2\int cos^2x=sinxcosx+x \Rightarrow \int cos^2x=\frac{1}{2}(sinxcosx+x)+C
  • 0

MimeTex
Regulamin
Klikając Posted Image mówisz DZIĘKUJĘ


#3 tadpod

tadpod

    Wielki Analityk

  • $Jr Admin
  • 7153 postów
3155
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.09.2008 - 09:05

no właśnie,
niki87 zrobiła to wręcz wzorowo i chyba nasz młody kolega nie będzie miał pytań :? ;) ;
proponuję więc koledze poznać kilka podstawowych wzorów z trygonometrii, np. \frac{1}{4}(2x+sin2x)+C=
 = \re \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}sin2x+C . ... pozdrawiam . ... 8)
  • 0

#4 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.09.2008 - 19:44

Co do tego to masz rację ; pytań nie mam żadnych - wszystko dokładnie i przejrzyście wytłumaczone - naprawdę dzięki niki87!

Po zastosowaniu tych wzorów na kwadrat cosinusa i kilka innych, wszystko stało się jasne! Ja i trygonometria ... ;) ... chyba nigdy się nie nauczę tych wzorów. Bardzo dużo ich jest i nigdy nie wiem, który z nich zastosować :P

Naprawdę Wam dziękuję!

Pozdrawiam, Tomalla :wink:
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=

#5 niki87

niki87

    zła i wredna :)

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 5953 postów
1512
Starszy Wykładowca II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 24.09.2008 - 19:56

chłopie.. tych wzorów to się najczęściej uczą ludzie w szkołach średnich, więc nie przejmuj się, ze jeszcze ich nie znasz... masz duużo czasu na ich opanowanie. I tak umiesz już duużooo więcej niż powinieneś na poziomie gimnazjum
  • 0

MimeTex
Regulamin
Klikając Posted Image mówisz DZIĘKUJĘ


#6 Tomalla

Tomalla

    =-.-= Spatter Guy =-.-=

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3211 postów
1037
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.09.2008 - 14:56

Powiem szczerze ; jestem typem "maniaka", który chce wiedzieć wszystko na dany temat w jak najkrótszym czasie ... i założę się, że te wzory redukcyjne ( dobrze to nazwałem? ) z trygonometrii nie dadzą mi spokoju przez najbliższy miesiąc :) Ale do jednego mam żal: dopiero przed chwilą zdałem sobie sprawę, że cos^2x=1-sin^2x to przecież z jedynki trygonometrycznej, którą znałem ... czyli mogłem rozwiązać tą całkę :? Ale ... praktis mejks perfekt :) i im więcej przykładów rozwiążę, tym lepiej będę sobie z nimi radził :wink: .

Pozdrawiam Tomalla :D
  • 0
________
Nie rozwiązuję zadań poprzez PMy!
Nie zaśmiecać mi skrzynki odbiorczej wiadomościami typu "pomóż mi w następnym zadaniu" etc.
Tego typu wiadomości będę po prostu ignorował i od razu usuwał.


=-.-= ToMaLlA - General Modder in games with QuaKe 3 and DooM III EnGiNes =-.-=