Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Udowodnij...suma promieni kół


  • Zamknięty Temat jest zamknięty
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Jamnowaczek89

Jamnowaczek89

    Wielki Analityk

  • VIP
  • 1107 postów
193
Pomocnik II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 19.09.2008 - 20:04

Od trójkąta ABC odcięto, prostymi równoległymi do boków trójkąta i stycznymi do koła wpisanego w ten trójkąt, trzy trójkąty narożne. Udowodnij, że suma długości promieni kół wpisanych w odcięte trójkąty jest równa długości promienia koła wpisanego w trójkąt ABC.
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 2892 postów
401
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 30.04.2017 - 22:50

a - bok trójkąta ABC naprzeciw wierzchołka A; r_a - promień okręgu wpisanego w odcięty trójkącik z wierzchołkiem A
h_a - wysokość trójkąta ABC z wierzchołka A
p=\fr{a+b+c}{2}
\{S=P_{ABC}=Rp\quad\to\quad R=\fr Sp\\S=\fr12ah_a\quad\to\quad h_a=\fr{2S}{a}  \quad\to\quad \fr{2R}{h_a}=\fr ap
trójkącik z A jest podobny do ABC w skali  k_a=\fr{h_a-2R}{h_a}=1-\fr{2R}{h_a}=1-\fr ap
r_a=k_a\cd R=\(1-\fr ap\)R
podobnie z wierzchołkami B i C
r_a+r_b+r_c=\(1-\fr ap\)R+\(1-\fr bp\)R+\(1-\fr cp\)R=\(1-\fr ap+1-\fr bp+1-\fr cp\)R=\(3-\fr{a+b+c}{p}\)R=\(3-2\)R=R

  • 0