Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Obliczyć rozwiązania ogólne i wszystie rozwiązania bazowe..


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 mazuroooo

mazuroooo

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 4 postów
0
Neutralny

Napisano 26.08.2008 - 14:55

Witam.
Zgłaszam się z uprzejmą prośbą o pomoc w wyliczeniu zadania z macierzy.

Treść zadania:

Znaleźć rozwiązania ogólne i wszystkie rozwiązania bazowe układu równań liniowych

Dane:
\{ X_1 + 4X_2 + 5X_3 + 3X_4 = 1\\  2X_1 + 8X_2 + 11X_3 + 2X_4 = 3\\  3X_1 + 12X_2 + 7X_3 + 4X_4 = 5




Zadanie to potrzebne mi jest na poprawkę egzaminu z Matematyki, dlatego naprawdę zależy mi na tym, aby ktoś pomógł mi je wyliczyć ponieważ niestety w tym temacie nie jestem zbytnio obryty...

Z góry dziękuje i pozdrawiam

Michał
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 niki87

niki87

    zła i wredna :)

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 5952 postów
1512
Starszy Wykładowca II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 27.08.2008 - 11:18

najlepiej skorzystać z tw. Kroneckera-Cappelliego
tj. policz rząd macierzy:
x_2
zatem przekształcamy:
\{ x_1+5x_3+3x_4=1-4x_2\\  2x_2+11x_3+2x_4=3-8x_2\\  3x_1+7x_3+4x_4=5-12x_2
teraz mamy układ Cramera:
więc:
W=\left|<br />\\\begin{array} {lcr}<br />\\1& 5 & 3  \\<br />\\2 & 11 & 2  \\<br />\\3 & 7 & 4 \end{array}<br />\\ \right|=-37<br />\\
W_{x_1}=<br />\\\left|<br />\\\begin{array} {lcr}<br />\\1-4x_2& 5 & 3  \\<br />\\3-8x_2 & 11 & 2  \\<br />\\5-12x_2 & 7 & 4 \end{array}<br />\\ \right|=148x_2-82<br />\\
W_{x_3}=\left|<br />\\\begin{array} {lcr}<br />\\1& 1-4x_2 & 3  \\<br />\\2 & 3-8x_2 & 2  \\<br />\\3 & 5-12x_2 & 4 \end{array}<br />\\ \right|=3<br />\\
W_{x_4}=\left|<br />\\\begin{array} {lcr}<br />\\1& 5 & 1-4x_2  \\<br />\\2 & 11 & 3-8x^2  \\<br />\\3 & 7 & 5-12x_2\end{array}<br />\\ \right|=10<br />\\
stąd:
\{ x_1=\frac{W_{x_1}}{W}=\frac{-82+148x_2}{-37}=\frac{82}{37}-4x_2\\  x_2=x_2\\  x_3=\frac{W_{x_3}}{W}=\frac{3}{-37}=-\frac{3}{37}\\x_4=\frac{W_{x_4}}{W}=-\frac{10}{37}

taki sam efekt dostaniemy rozwiązując ten układ metodą eliminacji Gaussa:
<br />\\\left[<br />\\\begin{array} {cccc|}<br />\\1 & 4 & 5&3&1  \\<br />\\2 & 8 & 11&2&3  \\<br />\\3 & 12 & 7&4&5 \end{array}<br />\\ \right]W_2-2W_2,W_3-3W_1\to  \left[<br />\\\begin{array} {cccc|}<br />\\1 & 4 & 5&3&1  \\<br />\\0 & 0 & 1&-4&1  \\<br />\\0 & 0 & -8&-5&2 \end{array}<br />\\ \right]W_1-5W_2,W_3+8W_2\to \left[<br />\\\begin{array} {cccc|}<br />\\1 & 4 & 0&23&-4  \\<br />\\0 & 0 & 1&-4&1  \\<br />\\0 & 0 & 0&-37&10 \end{array}<br />\\ \right] \frac{-1}{37}W_3\to \\<br />\\ \left[<br />\\\begin{array} {cccc|}<br />\\1 & 4 & 0&23&-4  \\<br />\\0 & 0 & 1&-4&1  \\<br />\\0 & 0 & 0&1&-\frac{10}{37} \end{array}<br />\\ \right]W_2+4W_3,W_1-23W_3\to  \left[<br />\\\begin{array} {cccc|}<br />\\1 & 4 & 0&0&-\frac{82}{37}  \\<br />\\0 & 0 & 1&0&-\frac{3}{37}  \\<br />\\0 & 0 & 0&1&-\frac{10}{37} \end{array}<br />\\ \right]<br />\\

stąd rozwiązanie to:
\{ x_1=\frac{82}{37}-4x_2\\  x_2=x_2\\  x_3=-\frac{3}{37}\\x_4=-\frac{10}{37}
\begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3\\x_4  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{82}{37} \\0 \\-\frac{3}{37}\\-\frac{10}{37} \end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}4\\1 \\0\\0 \end{pmatrix}
i takiej oto postaci są wszystkie rozwiązania tego układu :)
  • 0

MimeTex
Regulamin
Klikając Dołączona grafika mówisz DZIĘKUJĘ