Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Udowodnij podzielność przez 8.


  • Zamknięty Temat jest zamknięty
7 odpowiedzi w tym temacie

#1 Innees

Innees

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 6 postów
0
Neutralny

Napisano 27.10.2007 - 11:16

Udowodnij, że:
8|5^{n+1}+2\cdot3^n+1
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 antynomia

antynomia

    Operator całkujący

  • VIP
  • 313 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 27.10.2007 - 12:35

Proponuje z kongruencji.

5^{n+1} rozpisz sobie kilka początkowych wyrazów, 25, 125, 625 itd. i zobacz jakie reszty mod \  8 wychodzą. Zauwazyż pewną prawidłowość dla n - nieparzystych i n-parzystych.

To samo dla 2\cdot 3^n, też coś zauważysz.

Potem rozważasz 2 przypadki:
n - nieparzyste
n - parzyste
i w obu okaże się, że 5^{n+1}+2 \cdot 3^n+1 \equiv 0 \ (mod\ 8)
  • 0
:arrow: regulamin
:arrow: poradnik MimeTeX-a
:arrow: Możesz dać innemu użytkownikowi pochwałę klikając na znak Dołączona grafika przy jego poście.

#3 Innees

Innees

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 6 postów
0
Neutralny

Napisano 27.10.2007 - 15:07

Dzięki za pomysł :)

A jak można to zrobić z indukcji matematycznej?

Bo w dowodzie zawsze na końcu wyciągałam liczbę przez którą ma się dzielić przed nawias... A w tym przykładzie nie można wyciągnąć 8. Chyba, że gdzieś mam błąd a go nie widzę...
  • 0

#4 antynomia

antynomia

    Operator całkujący

  • VIP
  • 313 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 27.10.2007 - 15:59

Nie sądze by można to było zrobić z indukcji.
  • 0
:arrow: regulamin
:arrow: poradnik MimeTeX-a
:arrow: Możesz dać innemu użytkownikowi pochwałę klikając na znak Dołączona grafika przy jego poście.

#5 Przemyslaw Lyzwa

Przemyslaw Lyzwa

    Operator całkujący

  • VIP
  • 315 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.10.2007 - 16:06

Lemat to pomocnicze twierdzenie. Wprowadza się go najczęściej aby dowód innego twierdzenia był prostszy. Więc wprowadzę pewien lemat.

Lemat: 2|_{5^{n+1}+3^n}

Dowód lematu (indukcyjny):
Założenie: 5^{n+1}+3^n=2k\qquad k\in\mathbb{N}
Spr. dla n=1: 5^{1+1}+3^1=28=2\cdot 14
Teza: 5^{n+2}+3^{n+1}=2m\qquad m\in\mathbb{N}
Dowód:
5^{n+2}+3^{n+1}=5\cdot 5^{n+1}+3\cdot 3^n=(1+4)\cdot 5^{n+1}+(1+2)\cdot 3^n=\\=5^{n+1}+4\cdot 5^{n+1}+3^n+2\cdot 3^n=5^{n+1}+3^n+4\cdot 5^{n+1}+2\cdot 3^n =\text{ Zal }=2k+4\cdot 5^{n+1}+2\cdot 3^n=2\cdot (k+2\cdot 5^{n+1}+3^n)=2m\qquad\qquad c.n.d.

A teraz dowód naszego twierdzenia:

Założenie: 5^{n+1}+2\cdot 3^n +1=8k\qquad k\in\mathbb{N}
Spr. dla n=1: 5^{1+1}+2\cdot 3^1+1=32=8\cdot 4
Teza: 5^{n+2}+2\cdot 3^{n+1} +1=8m\qquad m\in\mathbb{N}
Dowód:
5^{n+2}+2\cdot 3^{n+1} +1= 5\cdot 5^{n+1}+3\cdot 2\cdot 3^n +1=\\<br />=(1+4)\cdot 5^{n+1}+(1+3)\cdot 2\cdot 3^n +1=5^{n+1}+4\cdot 5^{n+1}+2\cdot 3^n +4\cdot 3^n +1=\\ =5^{n+1}+2\cdot 3^n +1+4\cdot 5^{n+1}+4\cdot 3^n =\text{ Zal }=8k +4\cdot (5^{n+1}+ 3^n)=\text{ Lemat }=8k +4\cdot 2p=8(k+p)=8m\qquad\qquad c.n.d.

Zapis =\text{ Zal }= oznacza, że korzystam z założenia, a zapis =\text{ Lemat }=, że z Lematu.
  • 0
Na przykład nigdy nie zostaniemy matematykami, nawet znając na pamięć cudze dowody, jeśli nasz umysł nie jest zdolny do samodzielnego rozwiązywania jakichś problemów..." .
Kartezjusz
e^{2\pi i}-1=0

#6 Innees

Innees

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 6 postów
0
Neutralny

Napisano 27.10.2007 - 16:35

Dziękuje Ci bardzo :) :)
  • 0

#7 Przemyslaw Lyzwa

Przemyslaw Lyzwa

    Operator całkujący

  • VIP
  • 315 postów
1
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.10.2007 - 16:42

Nie mam problemu.
Studiuję matematykę to sobie poradziłem, bo chyba wiesz jak się studiuje matematykę:
Zaliczyć pierwszy rok, a potem przez indukcję :wink:
PS. Właśnie sobie uświadomiłem, że jestem na 6 roku matematyki :!:
  • 0
Na przykład nigdy nie zostaniemy matematykami, nawet znając na pamięć cudze dowody, jeśli nasz umysł nie jest zdolny do samodzielnego rozwiązywania jakichś problemów..." .
Kartezjusz
e^{2\pi i}-1=0

#8 Innees

Innees

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 6 postów
0
Neutralny

Napisano 27.10.2007 - 16:48

Gratuluje :) i zazdroszczę :wink:
Ja jestem na I roku... Dopiero się uczę "myślenia" hehe :)
  • 0