Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
- - - - -

Metoda Ostrogradskiego - dowód


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4183 postów
3406
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.09.2022 - 00:40

Autor : Mariusz M

 

\int{\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}\mbox{d}x}=\frac{P_{1}\left(x\right)}{Q_{1}\left(x\right)}+\int{\frac{P_{2}\left(x\right)}{Q_{2}\left(x\right)}\mbox{d}x}

 

 

Teraz zakładamy że stopnie liczników są mniejsze niż stopnie odpowiadających im mianowników oraz

 

Q_{1}\left(x\right)=NWD\left(Q\left(x\right),Q'\left(x\right)\right)\\</p>\\<p>Q\left(x\right)=Q_{1}\left(x\right)Q_{2}\left(x\right)</p>\\<p>

 

Teraz zróżniczkujmy obustronnie równość

 

\int{\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}\mbox{d}x}=\frac{P_{1}\left(x\right)}{Q_{1}\left(x\right)}+\int{\frac{P_{2}\left(x\right)}{Q_{2}\left(x\right)}\mbox{d}x}

 

\int{\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}\mbox{d}x}=\frac{P_{1}\left(x\right)}{Q_{1}\left(x\right)}+\int{\frac{P_{2}\left(x\right)}{Q_{2}\left(x\right)}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{P_{1}'\left(x\right)Q_{1}\left(x\right)-P_{1}\left(x\right)Q_{1}'\left(x\right)}{Q_{1}^2\left(x\right)}+\frac{P_{2}\left(x\right)}{Q_{2}\left(x\right)}\\</p>\\<p>\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{P_{1}'\left(x\right)Q_{1}\left(x\right)Q_{2}\left(x\right)-P_{1}\left(x\right)Q_{1}'\left(x\right)Q_{2}\left(x\right)+Q_{1}^2\left(x\right)P_{2}\left(x\right)}{Q_{1}^2\left(x\right)Q_{2}\left(x\right)}\\</p>\\<p>\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{P_{1}'\left(x\right)Q_{1}\left(x\right)Q_{2}\left(x\right)-P_{1}\left(x\right)Q_{1}'\left(x\right)Q_{2}\left(x\right)+Q_{1}^2\left(x\right)P_{2}\left(x\right)}{Q_{1}\left(x\right)Q\left(x\right)}\\</p>\\<p>\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{Q_{1}\left(x\right)\left(P_{1}'\left(x\right)Q_{2}\left(x\right)-P_{1}\left(x\right)Q_{2}\left(x\right)\frac{Q_{1}'\left(x\right)}{Q_{1}\left(x\right)}+Q_{1}\left(x\right)P_{2}\left(x\right)\right)}{Q_{1}\left(x\right)Q\left(x\right)}</p>\\<p>

Niech H\left(x\right) = Q_{2}\left(x\right)\frac{Q_{1}'\left(x\right)}{Q_{1}\left(x\right)}

 

Moja hipoteza jest taka że H\left(x\right) zawsze będzie wielomianem

Jarek skoro razem piszemy o metodzie Ostrogradskiego to spróbuj potwierdzić bądź obalić moją hipotezę

 

Przyjmując że moja hipoteza jest prawdziwa będziemy mieli

 

</p>\\<p>\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{Q_{1}\left(x\right)\left(P_{1}'\left(x\right)Q_{2}\left(x\right)-P_{1}\left(x\right)Q_{2}\left(x\right)\frac{Q_{1}'\left(x\right)}{Q_{1}\left(x\right)}+Q_{1}\left(x\right)P_{2}\left(x\right)\right)}{Q_{1}\left(x\right)Q\left(x\right)}</p>\\<p>\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{Q_{1}\left(x\right)\left(P_{1}'\left(x\right)Q_{2}\left(x\right)-P_{1}\left(x\right)H\left(x\right)+Q_{1}\left(x\right)P_{2}\left(x\right)\right)}{Q_{1}\left(x\right)Q\left(x\right)}</p>\\<p>\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{P_{1}'\left(x\right)Q_{2}\left(x\right)-P_{1}\left(x\right)H\left(x\right)+Q_{1}\left(x\right)P_{2}\left(x\right)}{Q\left(x\right)}\\</p>\\<p>P\left(x\right) = P_{1}'\left(x\right)Q_{2}\left(x\right)-P_{1}\left(x\right)H\left(x\right)+Q_{1}\left(x\right)P_{2}\left(x\right)\\</p>\\<p>

 

Teraz metodę Ostrogradskiego można by nieco uprościć

 

Zakładamy że całka jest w postaci

 

\int{\frac{P(x)}{Q(x)}\mbox{d}x} = \frac{P_{1}\left(x\right)}{Q_{1}\left(x\right)} + \int{\frac{P_{2}\left(x\right)}{Q_{2}\left(x\right)}\mbox{d}x}

 

gdzie

 

 \deg{P(x)} < \deg{Q(x)} \\<br>\\ \deg{P_{1}(x)} < \deg{Q_{1}(x)} \\</p>\\<p> \deg{P_{2}(x)} < \deg{Q_{2}(x)} \\</p>\\<p>

 

Obliczamy mianowniki Q_{1}\left(x\right) , Q_{2}\left(x\right) oraz pomocniczy wielomian H\left(x\right) gdzie

Q_{1}\left(x\right) = GCD\left(Q(x),Q'(x)\right) \\</p>\\<p>Q_{2}\left(x\right) = \frac{Q(x)}{Q_{1}(x)} \\</p>\\<p>H\left(x\right) = Q_{2}\left(x\right)\cdot\frac{Q_{1}'\left(x\right)}{Q_{1}\left(x\right)}</p>\\<p>

 

 

Teraz obliczamy liczniki stosując metodę współczynników nieoznaczonych

które można wyznaczyć rozwiązując układ równań liniowych powstały np po porównaniu współczynników przy wielomianach

 

</p>\\<p>P\left(x\right) = P_{1}'\left(x\right)Q_{2}\left(x\right)-P_{1}\left(x\right)H\left(x\right)+Q_{1}\left(x\right)P_{2}\left(x\right)\\</p>\\<p>

 

Uproszczenia tego można dokonać tylko pod warunkiem że moja hipoteza jest prawdziwa

jednak wykazanie jej prawdziwości bądź obalenie zostawiam tobie

 

 

 


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55