Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Wydzielenie części wymiernej całki

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 896 postów
412
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 03.01.2022 - 09:20

\int{\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}\mbox{d}x}=\frac{P_{1}\left(x\right)}{Q_{1}\left(x\right)}+\int{\frac{P_{2}\left(x\right)}{Q_{2}\left(x\right)}\mbox{d}x}

 

 

Teraz zakładamy że stopnie liczników są mniejsze niż stopnie odpowiadających im mianowników oraz

 

Q_{1}\left(x\right)=NWD\left(Q\left(x\right),Q'\left(x\right)\right)\\</p>\\<p>Q\left(x\right)=Q_{1}\left(x\right)Q_{2}\left(x\right)</p>\\<p>

 

Teraz zróżniczkujmy obustronnie równość

 

\int{\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}\mbox{d}x}=\frac{P_{1}\left(x\right)}{Q_{1}\left(x\right)}+\int{\frac{P_{2}\left(x\right)}{Q_{2}\left(x\right)}\mbox{d}x}

 

\int{\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}\mbox{d}x}=\frac{P_{1}\left(x\right)}{Q_{1}\left(x\right)}+\int{\frac{P_{2}\left(x\right)}{Q_{2}\left(x\right)}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{P_{1}'\left(x\right)Q_{1}\left(x\right)-P_{1}\left(x\right)Q_{1}'\left(x\right)}{Q_{1}^2\left(x\right)}+\frac{P_{2}\left(x\right)}{Q_{2}\left(x\right)}\\</p>\\<p>\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{P_{1}'\left(x\right)Q_{1}\left(x\right)Q_{2}\left(x\right)-P_{1}\left(x\right)Q_{1}'\left(x\right)Q_{2}\left(x\right)+Q_{1}^2\left(x\right)P_{2}\left(x\right)}{Q_{1}^2\left(x\right)Q_{2}\left(x\right)}\\</p>\\<p>\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{P_{1}'\left(x\right)Q_{1}\left(x\right)Q_{2}\left(x\right)-P_{1}\left(x\right)Q_{1}'\left(x\right)Q_{2}\left(x\right)+Q_{1}^2\left(x\right)P_{2}\left(x\right)}{Q_{1}\left(x\right)Q\left(x\right)}\\</p>\\<p>\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{Q_{1}\left(x\right)\left(P_{1}'\left(x\right)Q_{2}\left(x\right)-P_{1}\left(x\right)Q_{2}\left(x\right)\frac{Q_{1}'\left(x\right)}{Q_{1}\left(x\right)}+Q_{1}\left(x\right)P_{2}\left(x\right)\right)}{Q_{1}\left(x\right)Q\left(x\right)}</p>\\<p>

 

 

Teraz pytanie czy zawsze P_{1}\left(x\right)Q_{2}\left(x\right)\frac{Q_{1}'\left(x\right)}{Q_{1}\left(x\right)}

będzie jakimś wielomianem bo mnie w całkach które liczyłem tak wychodziło ale tutaj tego nie widzę

Gdyby to był wielomian to obliczenia można by uprościć

 

 

 

Moje pytanie można by sprowadzić do następującego

Czy istnieje taki wielomian H\left(x\right) że

Q_{2}\left(x\right)Q_{1}'\left(x\right)=Q_{1}\left(x\right)H\left(x\right)


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 03.01.2022 - 10:12

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55