Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Co jest większe 2 (pi, e)

Równania i nierówności Układy równań

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4060 postów
3341
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 10.09.2021 - 10:04

Co jest większe

 

e^{\pi}    czy     \pi^e

 

Zauważmy, że jeżeli mamy te same wykładniki to większa podstawa (oczywiście większa od 1) wskazuje kierunek nierówności

 

2^{10}<3^{10}      ponieważ          2<3

 

podobnie jak e^{e\cdot \pi}<\pi^{e\cdot \pi} na tej samej podstawie

 

Jeżeli wyjściowe liczby zapiszemy nieco inaczej tj.

 

\(e^{\frac{1}{e}}\)^{e\cdot \pi}                  \(\pi^{\frac{1}{\pi}}\)^{e\cdot \pi}        więc    musimy dowiedzieć się która "podstawa" jest większa  \(e^{\frac{1}{e}}\) czy \(\pi^{\frac{1}{\pi}}\)

 

Zbadajmy więc przebieg funkcji

 

y=x^{\frac{1}{x}}                łatwiej jeśli przejdziemy na logarytmy bo ciężko się liczy w tej postaci

 

 

ln(y)=ln\(x^{\frac{1}{x}}\)

 

ln(y)=\frac{1}{x}\cdot ln(x)

 

\frac{d(ln(y))}{dx}=\frac{d(\frac{1}{x}\cdot ln(x))}{dx}

 

\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x}+ln(x)\cdot (-\frac{1}{x^2})

 

\frac{dy}{dx}=y\cdot \(\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x}+ln(x)\cdot (-\frac{1}{x^2})\)=x^{\frac{1}{x}}\cdot \(\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x}+ln(x)\cdot (-\frac{1}{x^2})\)

 

\frac{dy}{dx}=x^{\frac{1}{x}}\cdot \frac{1}{x^2}(1-ln(x))

 

z założenia x>0 zatem dwa pierwsze czynniki są większe od zera

 

Pochodna równa zero gdy 1-ln(x)=0   czyli gdy x=e i tam też maksimum lokalne

 

pre_1631269733__x_do_1przez_x.jpg

 

zatem

 

e^{\frac{1}{e}} jest większe niż \pi^{\frac{1}{\pi}}

 

\(e^{\frac{1}{e}}\)^{e\cdot \pi} > \(\pi^{\frac{1}{\pi}}\)^{e\cdot \pi}

 

e^{\pi}>\pi^e

 

e^{\pi}=23.140692632779269005729086367948547380266106242600211993445046409

\pi^e=22.459157718361045473427152204543735027589315133996692249203002554


Użytkownik niki87 edytował ten post 14.09.2021 - 12:11

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55