Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

x^y=y^x, x nie równe y

Równania i nierówności Układy równań

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4060 postów
3341
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.08.2021 - 09:35

zobacz

 

http://matma4u.pl/to...-x-nie-równe-y/

 

x^y=y^x

 

Od czegoś trzeba zacząć więc może podstawmy coś :dancer2:

 

y=bx    dla odmiany b

 

x^{xb}=(bx)^x

 

(x^b)^x=(bx)^x

 

\((x^b)^x\)^{\frac{1}{x}}=\((bx)^x\)^{\frac{1}{x}}

 

x^b=bx     więc     \frac{x^b}{x}=b     

 

i dalej        x^{b-1}=b

 

zatem    podnosząc obustronnie do potęgi \frac{1}{b-1} mamy

 

\(x^{b-1}\)^{\frac{1}{b-1}}=b^{\frac{1}{b-1}}

 

x=b^{\frac{1}{b-1}}

 

a skoro y=bx  to

 

y=bx=b\cdot b^{\frac{1}{b-1}}=b^{1+\frac{1}{b-1}}=b^{\frac{b}{b-1}}

 

\{x=b^{\frac{1}{b-1}}\\ y=b^{\frac{b}{b-1}}

 

aby nie było za trywialnie ani za trudno sprawdźmy dla b=4

 

x=b^{\frac{1}{b-1}}=4^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{4}

 

y=b^{\frac{b}{b-1}}=4^{\frac{4}{3}}=4\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{256}

 

i

 

x^y= (\sqrt[3]{4})^{\sqrt[3]{256}}

 

y^x=(\sqrt[3]{256})^{\sqrt[3]{4}}     proszę się pobawić w przekształcanie :)


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 02.09.2021 - 01:36

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4060 postów
3341
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.09.2021 - 01:37

Dla ułatwienia obliczeń przekształćmy w coś bardziej "zjadliwego"

 

\{x=b^{\frac{1}{b-1}}\\ y=b^{\frac{b}{b-1}}

 

Niech

 

\frac{1}{b-1}=\frac{r}{s}         więc         b-1=\frac{s}{r}        i         b=\frac{s+r}{r}

 

oraz    \frac{b}{b-1}=\frac{s+r}{r}\cdot \frac{r}{s}=\frac{s+r}{s}

 

Dlatego też

 

\{x=b^{\frac{1}{b-1}}\\ y=b^{\frac{b}{b-1}}

 

\{x=(\frac{s+r}{r})^{\frac{r}{s}}\\ y=(\frac{s+r}{r})^{\frac{s+r}{s}}    

 

i dla s=1

 

\{x=(\frac{1+r}{r})^r\\ y=\(\frac{1+r}{r}\)^{1+r}  

 

zatem dla r=3

 

\{x=(\frac{4}{3})^3\\ y=\(\frac{4}{3}\)^{4} 

 

x^y=\(\(\frac{4}{3}\)^3\)^{(\frac{4}{3})^4}=\(\frac{4}{3}\)^{3\cdot \frac{256}{81}}=\(\frac{4}{3}\)^{\frac{256}{27}}

 

y^x=\(\(\frac{4}{3}\)^4\)^{(\frac{4}{3})^3}=\(\frac{4}{3}\)^{4\cdot \frac{64}{27}}=\(\frac{4}{3}\)^{\frac{256}{27}}

 

 

dla r=1 mamy wynik całkowity nawet :)

 

\{x=(\frac{1+r}{r})^r\\ y=\(\frac{1+r}{r}\)^{1+r}

 

\{x=(\frac{1+1}{1})^1=2\\ y=\(\frac{1+1}{1}\)^{1+1}=4

 

2^4=4^2


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 02.09.2021 - 10:37

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską