Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Sprowadzenie równania liniowego drugiego rzędu do równania Riccatiego

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 895 postów
412
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.07.2021 - 01:56

Pomysł jest taki aby sprowadzić równanie liniowe drugiego rzędu do układu dwóch równań pierwszego rzędu z których jedno jest równaniem Riccatiego a drugie jest np równaniem o rozdzielonych zmiennych

 

y''+p\left(x\right)y'+q\left(x\right)y=0\\</p>\\<p>y''=-p\left(x\right)y'-q\left(x\right)y\\</p>\\<p>\begin{cases}y''=-p\left(x\right)y'-q\left(x\right)y\\y'=\frac{y}{z} \end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}\frac{y'z-yz'}{z^2}=-p\left(x\right)\frac{y}{z}-q\left(x\right)y\\y'=\frac{y}{z} \end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}\frac{\frac{y}{z}\cdot z-yz'}{z^2}=-p\left(x\right)\frac{y}{z}-q\left(x\right)y\\y'=\frac{y}{z} \end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}\frac{y-yz'}{z^2}=-p\left(x\right)\frac{y}{z}-q\left(x\right)y\\y'=\frac{y}{z} \end{cases}\</p>\\<p>\begin{cases} y - yz' =-p\left(x\right)yz-q\left(x\right)yz^2\\y'=\frac{y}{z} \end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases} - yz' =-p\left(x\right)yz-q\left(x\right)yz^2-y\\y'=\frac{y}{z} \end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases} - yz' =-y\left(q\left(x\right)z^2+p\left(x\right)z + 1\right)\\y'=\frac{y}{z} \end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases} z' =q\left(x\right)z^2+p\left(x\right)z + 1 \\y'=\frac{y}{z} \end{cases}\\</p>\\<p>

 

 

Teraz przykład że to może się czasem przydać podczas rozwiązywania równań rożniczkowych

 

f''+\left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}}\right)f'+\frac{2}{x^2+1}f = 0\\</p>\\<p>\begin{cases}z'=\frac{2}{x^2+1}z^2+\left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}}\right)z+1\\f'=\frac{f}{z} \end{cases}\\</p>\\<p>z'=\frac{2}{x^2+1}z^2+\left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}}\right)z+1\\<br>\\z_{1}=\sqrt{x^2+1}\\</p>\\<p>\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=2+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-3+1\\</p>\\<p>\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\\</p>\\<p>z = \sqrt{x^2+1}+\frac{1}{u}\\</p>\\<p>\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{u'}{u^2}=\frac{2}{x^2+1}\left(\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{u}\right)^2+\left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}}\right)\left(\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{u}\right)+1\\</p>\\<p>\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{u'}{u^2}=\frac{2}{x^2+1}\left(x^2+1+2\frac{\sqrt{x^2+1}}{u}+\frac{1}{u^2}\right)+\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-3+\frac{x}{x^2+1}\cdot\frac{1}{u}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}}\cdot\frac{1}{u}\right)+1\\</p>\\<p>\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{u'}{u^2}=2+\frac{4}{\sqrt{x^2+1}}\cdot \frac{1}{u}+\frac{2}{x^2+1}\cdot\frac{1}{u^2}+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-3+\frac{x}{x^2+1}\cdot\frac{1}{u}-\frac{3}{\sqrt{x^2+1}}\cdot\frac{1}{u}+1\\</p>\\<p>-\frac{u'}{u^2}=\left(\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)\cdot\frac{1}{u}+\frac{2}{x^2+1}\cdot\frac{1}{u^2}\\</p>\\<p>-\frac{u'}{u^2}-\left(\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)\cdot\frac{1}{u}=\frac{2}{x^2+1}\cdot\frac{1}{u^2}</p>\\<p>u'+\left(\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)u=-\frac{2}{x^2+1}\\</p>\\<p>u'+\left(\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)u=0\\</p>\\<p>u'=-\left(\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)u\\</p>\\<p>\frac{u'}{u}=-\left(\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=t-x\\</p>\\<p>x^2+1=t^2-2tx+x^2\\</p>\\<p>1=t^2-2tx\\</p>\\<p>2tx=t^2-1\\</p>\\<p>x=\frac{t^2-1}{2t}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2t\cdot 2t-2\left(t^2-1\right)}{4t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{t^2+1}{2t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=t-\frac{t^2-1}{2t}\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=\frac{t^2+1}{2t}\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mbox{d}x}=\int{\frac{2t}{t^2+1}\cdot\frac{t^2+1}{2t^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mbox{d}x}=\int{\frac{1}{t}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\mbox{d}x}=\ln{\left|x+\sqrt{x^2+1}\right|}\\</p>\\<p>\ln{\left|u\right|}=\ln{\left|\frac{1}{\sqrt{x^2+1}\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)}\right|}+C_{1}\\</p>\\<p>\ln{\left|u\right|}=\ln{\left|\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}\left(\left(x^2+1\right)-x\right)}\right|}+C_{1}\\</p>\\<p>\ln{\left|u\right|}=\ln{\left|\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}}\right|}+C_{1}\\</p>\\<p>u\left(x\right)=C\left(x\right)\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)\\</p>\\<p>C'\left(x\right)\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)+C\left(x\right)\left(\frac{-\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}\right)+\left(\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)C\left(x\right)\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)=-\frac{2}{x^2+1}\\</p>\\<p>C'\left(x\right)\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)+\frac{-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}C\left(x\right)+C\left(x\right)\left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{x^2}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{x}{x^2+1}\right)=-\frac{2}{x^2+1}\\</p>\\<p>C'\left(x\right)\left(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)-\frac{1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}C\left(x\right)+C\left(x\right)\frac{1}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}=-\frac{2}{x^2+1}\\</p>\\<p>C'\left(x\right)\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}}=-\frac{2}{x^2+1}\\</p>\\<p>C'\left(x\right)=-\frac{2}{\sqrt{x^2+1}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)}\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=t-x\\</p>\\<p>x^2+1=t^2-2tx+x^2\\</p>\\<p>1=t^2-2tx\\</p>\\<p>2tx=t^2-1\\</p>\\<p>x=\frac{t^2-1}{2t}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2t\cdot 2t-2\left(t^2-1\right)}{4t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{t^2+1}{2t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=t-\frac{t^2-1}{2t}\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=\frac{t^2+1}{2t}\\</p>\\<p>-2\int{\frac{1}{\frac{t^2+1}{2t}\cdot\frac{t^2+1-t^2+1}{2t}}\cdot\frac{t^2+1}{2t^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>-2\int{\frac{2t^2}{t^2+1}\cdot\frac{t^2+1}{2t^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>-2\int{\mbox{d}t}=-2\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C_{1}\\</p>\\<p>u\left(x\right)=\left(-2\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C_{1}\right)\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2+1}}\\</p>\\<p>u\left(x\right)=\frac{-2+C_{1}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)}{\sqrt{x^2+1}}\\</p>\\<p>z\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}+\frac{\sqrt{x^2+1}}{-2+C_{1}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)}</p>\\<p>z\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}\cdot\frac{-1+C_{1}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)}{-2+C_{1}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)}</p>\\<p>z\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}\cdot\frac{x+\sqrt{x^2+1}-C_{1}}{2x+2\sqrt{x^2+1}-C_{1}}\\</p>\\<p>f'=f\cdot\frac{2x+2\sqrt{x^2+1}-C_{1}}{\sqrt{x^2+1}\left(x+\sqrt{x^2+1}-C_{1}\right)}</p>\\<p>\frac{f'}{f}=\frac{2x+2\sqrt{x^2+1}-C_{1}}{\sqrt{x^2+1}\left(x+\sqrt{x^2+1}-C_{1}\right)}</p>\\<p>\frac{\mbox{d}f}{f}=\frac{2x+2\sqrt{x^2+1}-C_{1}}{\sqrt{x^2+1}\left(x+\sqrt{x^2+1}-C_{1}\right)}\mbox{d}x\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=t-x\\</p>\\<p>x^2+1=t^2-2tx+x^2\\</p>\\<p>1=t^2-2tx\\</p>\\<p>2tx=t^2-1\\</p>\\<p>x=\frac{t^2-1}{2t}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2t\cdot 2t-2\left(t^2-1\right)}{4t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{t^2+1}{2t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=t-\frac{t^2-1}{2t}\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+1}=\frac{t^2+1}{2t}\\</p>\\<p>\int{\frac{2t-C_{1}}{t-C_{1}}\cdot\frac{2t}{t^2+1}\cdot\frac{t^2+1}{2t^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{2t-C_{1}}{t\left(t-C_{1}\right)}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{2t-C_{1}}{t^2-C_{1}t}\mbox{d}t}=\ln{\left|t^2-C_{1}t\right|}+\ln{C_{2}}\\</p>\\<p>\ln{\left|f\right|}=\ln{\left|\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^2-C_{1}\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right|}+\ln{C_{2}}\\</p>\\<p>f=C_{2}\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^2-C_{2}C_{1}\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)<br>\\
 

 

 

Jak widać sposób ten nie zawsze upraszcza rozwiązanie równań liniowych drugiego rzędu

choć czasem znalezienie całki szczególnej równania Riccatiego jest łatwiejsze niż znalezienie całki szczególnej równania liniowego drugiego rzędu

 

Zastanówcie się dlaczego akurat tak zostało dobrane to drugie równanie

Pobawcie się tym sposobem sprowadzania równania liniowego drugiego rzędu

To nie jest jedyna możliwość przekształcenia równania liniowego drugiego rzędu w układ równań różniczkowych pierwszego rzędu z których jedno jest równaniem Riccatiego

Spróbujcie znaleźć inne


  • 2

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55